2020高考数学二轮复习三解析几何教学案

专题三解析几何

［江苏卷5年考情分析］

小题考情分析大题考情分析

1.直线与圆、圆与圆的位

本单元主要考查直线与椭圆（2015年、2017

置关系（5年4考）

常考点年、2018年、2019年）的位置关系、弦长问题、

2.圆锥曲线的方程及几

面积问题等；有时考查直线与圆（如2016年），经

何性质（5年5考）

常与向量结合在一起命题.

偶考点直线的方程、圆的方程

第一讲I小题考法一一解析几何中的基本问题

考点（一）直线、圆的方程

主要考查圆的方程以及直线方程、圆的基本量的计算.

［题组练透］

4

1.（2019•江苏高考）在平面直角坐标系立"中，P是曲线y=x+;（x>0）上的一个动点,

则点。到直线x+y=0的距离的最小值是

解析：法一：由题意可设《两，施+!）（加>0）,则点P到直线x+y=0的距离d=

XQ+XO+—2XO+—2/2AO•—

XQXQ/xo4

4=——=4,当且仅当2加=一,

飞2刘

即施=4时取等号.故所求最小值是4.

/4、44

法二：设《照，—+%o（Ab>0）,由尸x+-得y'=1——,则曲线在点〃处的切线的斜率

\-XoJXX

为a=l一错误!.令1—错误！=一1,结合司>0得荀=错误！，...P（错误！，3错误!），曲线y

4

=x+;（x>0）上的点P到直线x+y=0的最短距离即为此时点P到直线x+y=0的距离，故

I镜+3/

-=4.

答案：4

2.（2019•苏州期末）在平面直角坐标系中，过点4（1,3）,6（4,6）,且圆心在直

线x-2y-l=0上的圆的标准方程为.

解析：法一：根据圆经过点4(1,3),6(4,6),知圆心在线段力6的垂直平分线上，由

\x-2y-]=0,

点4(1,3),夙4,6),知线段的垂直平分线方程为x+y—7=0,则由,得

[x+y—7=0,

x'^-5

{,「2,即圆心坐标为(5,2),所以圆的半径(5-1)?+(2—3)?=平,故圆的标准

方程为(k5)?+5—2)2=17.

法二：因为圆心在直线*一2/-1=0上，所以圆心坐标可设为(2a+l,a),又圆经过点

4(1,3),6(4,6),所以圆的半径r=y](2a+l-l)2+(a-3)2=

7(2a+l-4)°+(a—6)”,解得a=2,所以r=，T7,故圆的标准方程为G-5)2+(y-2)2

=17.

法三：设圆心的坐标为(a,6),半径为r(r>0),因为圆心在直线x—2y—1=0上，且

圆经过点4(1,3),8(4,6),

Ja-2A-l=0,

所以i(a—1)2+(A—3)2=(a—4)°+(/>—62)—r,

得a=5,6=2,r=g故圆的标准方程为(x—5尸+(y-2尸=17.

答案：(X—5)2+3—2)2=17

3.(2019•扬州期末)若直线A：x—2y+4=0与乙：的一4什3=0平行，则两平行直

线4,人间的距离为.

m-43

解析：法一：若直线7i：x—2y+4=0与7：必r—4y+3=0平行，则有：=-尹7，求

21—L4

得勿=2,故两平行直线间的距离为一点二=号.

勺2+(-4)2

m—43

法二：若直线入：x—2y+4=0与A：4y+3=0平行，则有：=-产7，求得加=2,

1—24

所以直线及2x—4p+3=0,在小x—2y+4=0上取一点(0,2),则两平行直线九4间

的距离就是点(0,2)到直线乙的距离，即1二,*2+)=号.

勺2一+(—4)2

答案:当

［方法技巧］

1.求直线方程的两种方法

直接法选用恰当的直线方程的形式，由题设条件直接求出方程中系数，写出结果

待定先由直线满足的一个条件设出直线方程，使方程中含有待定系数，再由题

系数法设条件构建方程，求出待定系数

2.圆的方程的两种求法

通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和

几何法

方程

代数法用待定系数法先设出圆的方程,再由条件求得各系数，从而求得圆的方程

考点(二)

直线与圆、圆与圆的位置关系

主要考查直线与圆、圆与圆的位置关系，以及根据直线与圆的位置关系求相关的最值与

范围问题.

［典例感悟］

［典例］(1)(2018•无锡期末)过圆产+/=16内一点尸(-2,3)作两条相互垂直的

弦然和5且则四边形/曲的面积为.

(2)(2018•南通、泰州一调)在平面直角坐标系水加中,已知点4(—4,0),6(0,4),

从直线46上一点一向圆/+/=4引两条切线AC,PD,切点分别为C,〃设线段切的中点

为M,则线段4〃长的最大值为

［解析］⑴设。到的的距离为小,。到位的距离为d,则由垂径定理可得片=/一尚

,/=行一仔j,由于故d=d,且4=d=坐勿三^^,所以(离'=/—才=16

得力4相，从而四边形力物的面积为S=f8X徵=；X相x［^=19.

(2)法一(几何法)：因为［(一4,0),8(0,4),所以直线46的方程为尸x+4,所以可

设P(a,z+4),yi),〃(如㈤，所以此'的方程为xix+y1y=4,外的方程为Ex+y2y

=4,将。(…+4)分别代入闱如的方程，得{a鼠x\++((a小+4))M片=4,,贝慎线"的方程为

%+y=0,

ax+(a+4)y=4,即a(x+y)=4—4y,所以《所以直线切过定点M—1,1),

4—4y=0,

又因为QI小口，所以点〃在以恻为直径的圆上(除去原点).又因为以创,为直径的圆的

方程为("^+卜一号工,因为{在该圆外，所以加的最大值为4+，+®+乎

=3,\^2.

法二(参数法)：同法一可知直线切的方程为ax+(a+4)p=4,即a(x+y)=4—4%得

a==^.又因为0,R"三点共线，所以ay-(a+4)x=0,得a=-.因为a==工，

x十yy-xx-vyy-x

所以点M的轨迹方程为(x+J+(y—呢=；(除去原点)，因为/在该圆外，所以4V的最大

值为\/(-4+或+®+平=36

［答案］⑴19(2)3*

［方法技巧］

解决关于直线与圆、圆与圆相关问题的策略

(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找

解题途径，减少运算量.

(2)解决直线与圆相关的最值问题：一是利用几何性质，如两边之和大于第三边、斜边大

于直角边等来处理最值；二是建立函数或利用基本不等式求解.

(3)对于直线与圆中的存在性问题，可以利用所给几何条件和等式，得出动点轨迹，转化

为直线与圆、圆与圆的位置关系.

［演练冲关］

1.(2019•南通、泰州等七市一模)在平面直角坐标系x0中，圆0：x+y—l,圆G

(x-4)2+/=4.若存在过点尸(勿，0)的直线1,直线,被两圆截得的弦长相等，则实数勿的

取值范围是.

解析：由题意知，直线/的斜率存在且不为0,设直线)的方程为m)(衣工0),

km'

圆心0,。到直线/的距离分别为血小,则由直线/与圆。相交得d=T^Vl,得/,〈I

+£由直线/被两圆截得的弦长相等得错误!=错误!，则湘误!一福误!=3,即错误!一

士=3,化简得加=噂一蔡，则历〈卷一卷3一1),即3/2+8〃L16V0,所以一4V/?T<].

"十1OOrtOOO

答案:J，

2.(2019•南京盐城一模)设仁{(x,向]3x+4介7},点飞机过点。引圆(叶1尸+

/=?(r>0)的两条切线PA,即(48均为切点)，若//期的最大值为则r的值为—

0

解析：由题意知点P位于直线3x+4y—7=0上或其上方，记圆(x+l)2+/=/(r>0)

-3-7!

的圆心为G则以-1,0),C到直线3x+4广-7=0的距离d==2,连接尸G则PC^2.

•\j32+4'

设NAPB=9,则5呵9=两r因为?所Ji以(5力8、耐=而r：=5r=51,所以ri

答案：1

3.(2019•苏北三市一模)在平面直角坐标系X0中，己知圆G：x-\-y-\-2mx—(4z»+6)y

—4=0(〃eR)与以G(—2,3)为圆心的圆相交于/(为，/),B(xz,㈤两点，且满足"一层=

北一4，则实数/的值为.

解析：由题意得G(一卬，27+3),G(—2,3).由后一%=搂一/，得%；+£="+/即

0A=0B,所以△的3为等腰三角形，所以线段的垂直平分线经过原点。，又相交两圆的圆

心连线垂直平分公共弦49,所以两圆的圆心连线GG过原点。，所以0G〃弦，所以一3面=

—2(2必+3),解得勿=一6.

答案：一6

4.(2019•常州期末)过原点。的直线/与圆丁+/=1交于尺。两点，点/是该圆与x

轴负半轴的交点，以为直径的圆与直线1有异于0的交点N,且直线4v与直线/一的斜率

之积等于1,那么直线/的方程为.

解析：易知4(—1,0).因为闻是圆。的直径，所以/匹力。以四为直径的圆与直线/

有异于。的交点M则加LA&所以心=一;=一；，又直线4V与直线/0的斜率之积等于

1,所以必流俨=1,所以k*=—kpo,所以N04P=NA0P,所以点P为0A的垂直平分线与圆0

的交点，则彳一看±阴，所以直线/的方程为尸土值.

答案：y=±/x

5.(2018•南京、盐城、连云港二模)在平面直角坐标系xOy中，已知46为圆C：(x

+4)2+(y—a)z=16上的两个动点，且/1笈=2/1.若直线/：y=2x上存在唯一的一个点只

使得万+其=/，则实数a的值为

解析：法一：设力〃的中点为欣照，㈤，P（x,y）,则由AB=2y[llf得O/=^/16—11=y15,

即点"的轨迹为（照+4）4（%—a）2=5.又因为PA+PB=0C,所以PM=；0C,即（照一x,

xo=x-2,2

a则动点P的轨迹方程为（x+2）?+。一外=5,又因为直

{y=y+

a

—4--

线/上存在唯一的一个点P,所以直线/和动点〃的轨迹（圆）相切，则力7/=小，

^2+（-1）v

解得a=2或a=—18.

法二：由题意，圆心C到直线46的距离d=4而元=乖，则46中点

〃的轨迹方程为（x+4¥+（y-a）"=5.由7万+其=左，得2可=下,

所以PM//~0C.如图，连结。/并延长交1于点N,则CM=2CQ24.故问

题转化为直线1上存在唯一的一个点N,使得GV=2乖，所以点C到直线1的距离为

2，4^77^=2季,解得a—2或a=-18.

y]2十（—1）

答案：2或一18

考点（三）

圆锥曲线的方程及几何性质

主要考查三种圆锥曲线的定义、方程及几何性质，在小题中以考查椭圆和双曲线的几何

性质为主.

[题组练透]

2

1.（2019•江苏高考）在平面直角坐标系Q中，若双曲线f一方=1（力0）经过点（3,4）,

则该双曲线的渐近线方程是.

21

解析：因为双曲线V一方=1（力0）经过点（3,4）,所以9—了=1（8>0）,解得b=木,

2

即双曲线方程为V—5=1,其渐近线方程为夕=土/X.

答案：y=±y[2x

2.(2019•苏州期末)在平面直角坐标系xa中，中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的

一条渐近线经过点(一3,1),则该双曲线的离心率为.

22

解析：由题意，设双曲线的方程为5—・=l(a>0,6>0),由双曲线的一条渐近线过点

ab

o1

(-3,1),得一7=一鼻，可得9a2=//=02一—，得10a2=cS所以可得该双曲线的离心率e

b3

答案：Vib

2

3.(2017•江苏高考)在平面直角坐标系x0中，双曲线卷一/=1的右准线与它的两条

渐近线分别交于点RQ,其焦点是£,R,则四边形百图0的面积是_______.

解析:由题意得，双曲线的右准线x=|与两条渐近线尸土号的交点坐标为他土叫

不妨设双曲线的左、右焦点分别为£,小

则6(—2,0),K⑵0),

故四边形E形0的面积是

•PQ\=1x4X^3=2^/3.

答案：244.(2019•南通、扬州等七市一模)在平面直角坐标系x片中，已知抛物线/

2

=2内初>0)的准线为/,直线/与双曲线今一/=1的两条渐近线分别交于力，6两点，AB=

乖,则P的值为

解析：抛物线”=2pxS>0)的准线为直线，7：*=一早不妨令4点在第二象限，则直

线/与双曲线"一/=1的两条渐近线分别交于点/(一'力《一5一9，则用

=§=#,p=2乖.

答案：2乖

［方法技巧］

应用圆锥曲线的性质的两个注意点

(1)明确圆锥曲线中a,b,c,e各量之间的关系是求解问题的关键.

(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出。和a的值，而是根据题目给出的

椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c,a,。的方程或不等式，通过解方程或不等式求

得离心率的值或范围.

［必备知能•自主补缺］__________________________________________________________

(-)主干知识要记牢

1.直线九4x+旦y+G=O与直线%4x+8y+C=0的位置关系

(1)平行=4氏-46=0且BC-B£/Q；

(2)重合04氏—45=0且BC-BC=Q；

(3)相交=4氏一/f抠#0；

(4)垂直=44+6以=0.

2.直线与圆相交

(1)几何法

由弦心距〃、半径r和弦长的一半构成直角三角形，计算弦长/8=2"?一/

(2)代数法

设直线7=4了+加与圆相交于点弘N,Mix、,必)，N(及，%)，将

直线方程代入圆方程中，消去y得关于x的一元二次方程，求出无+型和小•热，则松:=

yjl+k'•、(矛1+及)2—4小♦」.

3.判断两圆位置关系时常用几何法

即通过判断两圆心距离4a与两圆半径兄r(ar)的关系来判断两圆位置关系.

(1)外离：Q“〉A+r；

(2)外切：Q“=7?+r；

(3)相交：R—KQOKR+r；

(4)内切：(X01.—R—r；

(5)内含：0W@O«R-r.

4.椭圆、双曲线中，a,b,c之间的关系

(1)在椭圆中：a=l)+c,离心率为e=?=

(2)在双曲线中：/=/+次离心率为e=/=417^.

/声b

(3)双曲线f一方=1(a>0,b>0)的渐近线方程为尸土-x.注意离心率e与渐近线的斜率

aba

的关系.

(二)二级结论要用好

1.过圆。：V+/=r2上一点P(Xo,%)的圆的切线方程是Abx+为尸

2.过圆。外一点〃做圆。的切线，切点分别为4以求切线时要注意

斜率不存在的情况)如图所示，则

(1)AB,C,力四点共圆，且该圆的直径为/T；

(2)该四边形是有两个全等的直角三角形组成；

小、ZBCA./BPAr

⑶cos---=sin---=两

⑷直线力8的方程可以转化为圆。与以为直径的圆的公共弦，且〃(照，㈤时，直线

力8的方程为Xox+必尸产.

3.椭圆焦点三角形的3个规律

y,

设椭圆方程是F+R=1(a>6>0),焦点A(一。，0),B(c,0),点夕的坐标是(即，％).

ab

(1)三角形的三个边长是用=4+£照，P&=a-ex。,F\F?=2c,e为椭圆的离心率.

(2)如果△用月中NE阳=o,则这个三角形的面积SZ\M£=c|%|-y.

sinZEPE

⑶椭圆的离心率e=.之•一/4厂夕

sinZ^iAr+sinZ/^n/7

4.双曲线焦点三角形的2个结论

P(XQ,㈤为双曲线孑一了=1(a>0,力>0)上的点，△困K为焦点二角形.

(1)面积公式

［t)

S=c\y()\=-ri22sin0=-----万(其中/;="，PA=及,AF\PFz=0).

ZH

tan-

(2)焦半径

若P在右支上，PR=exo+a*PJ=ex。一组若P在左支上，PR=-exo—a,PF2=~ex.

+a

5.抛物线/=2px(p>0)焦点弦48的3个结论

2

(1)照•XB=\；

(2)%•ye=­p\

(3)48=玉+四+〃.

［课时达标训练］._______________________________________________________________

A组一一抓牢中档小题

1.若直线/】：RX+P+8=0与A：4x+(加一5)y+2/=0垂直，贝！|卬=

解析：V7,172,，4R+(®-5)=0,：.m=\.

答案：1

2.已知圆。的圆心在x轴的正半轴上，点，"(0,4)在圆。上，且圆心到直线2x—y=0

4A/B

的距离为菅，则圆。的方程为____________.

5

解析：因为圆。的圆心在x轴的正半轴上，设C(a,0),且d>0,所以圆心到直线2x—

y=0的距离"=亲=芈，解得a=2,所以圆C的半径r=|CM=122+(南)？=3,所以

圆。的方程为(*—2-+f=9.

答案：U-2)2+/=9

22

3.(2019•无锡期末)以双曲线卷一个=1的右焦点为焦点的抛物线的标准方程是

□4

解析：由题可设抛物线的方程为/=2px(0>O),双曲线中，c=^/5+4=3,所以双曲线

的右焦点的坐标为(3,0),则抛物线的焦点坐标为(3,0),所以£=3,p=6,所以抛物线的

标准方程为y=12x.

答案：/=12x

4.已知直线/过点尸(1,2)且与圆Gf+/=2相交于46两点，△/回的面积为1,

则直线1的方程为—

解析：当直线斜率存在时，设直线的方程为y=4(x—1)+2,即府一y—4+2=0.因为S

^=^CA•CB-sinZJCB=l,所以;X^X啦XsinN4方=1,所以sinN/G?=1,即

1-^+213

=90°,所以圆心C到直线4?的距离为1,所以=1,解得％=?所以直线方程为

7必+i

3x—4y+5=0；当直线斜率不存在时，直线方程为x=l,经检验符合题意.综上所述，直线

1的方程为3x—4y+5=0或x=\.

答案：3x-4y+5=0或x=l

5.己知圆朋(A—l)2+(y-l)2=4,直线/：x+y-6=0,4为直线/上一点，若圆〃

上存在两点6,C,使得/胡。=60°,则点/的横坐标的取值范围为.

解析：由题意知，过点力的两直线与圆材相切时，夹角最大，当/期。=60°时，|JZ4|

二.吃后―一与式=4.设'(%6—x),所以(x—1尸+(6—x—1)2=16，解得x=l或x

sin/BAMsin30

=5,因此点/的横坐标的取值范围为[1,5].

答案：[1,5]

6.(2018•南京学情调研)在平面直角坐标系x在中，若圆(x—2)2+(y—2产=1上存在

点也使得点M关于x轴的对称点”在直线履+y+3=0上，则实数〃的最小值为.

解析：圆(*-2)2+3—2)2=1关于x轴的对称圆的方程为(“一2尸+3+2)2=1,由题意

12^—2+34

得，圆心(2,—2)到直线M+y+3=0的距离d=斤丁-W1,解得一wWAWO,所以实

y]k-+13

4

数"的最小值为一亍

4

答案：一：

7.(2019•南京四校联考)已知圆0：x+/=l,半径为1的圆材的圆心，"在线段CD：y

=x-4(初m<〃)上移动，过圆。上一点夕作圆M的两条切线，切点分别为4B,且

满足乙4阳=60°,则〃一加的最小值为.

解析：设M(a,a—4)，则圆”的方程为(x—a)°+(y—a+4”=l.连接初°,典

则如=1,PB1MB.因为NAPB=60°,所以/栩艺=30°,所以，归=2拙=2,所以点P在以

"为圆心，2为半径的圆上，连接OM,又点。在圆。上，所以点。为圆/+/=1与圆(x—a)，

+(y—a+4)2=4的公共点，所以2—1W〃炼2+1,即1W,+«—4),W3,得

2a2-8a+1520,解得2—乎WaW2+乎.所以A22+乎，辰2-乎，所以心击.

2a2-8a+7W0,乙乙乙乙

答案：书

8.(2019•南京盐城二模)在平面直角坐标系x6?r中，已知点4一1,0),6(5,0).若

圆此(x—4)2+5一向2=4上存在唯一的点尺使得直线处，外在y轴上的截距之积为5,

则实数0的值为一

解析：设点尸(M，%),则直线21的方程为尸扁'(x+1),在y轴上的截距为高，

同理可得直线外在y轴上的截距为一至々，由直线必，力在y轴上的截距之积为5,得一

上展义士=5,化简，得(刖-2)2+/=9(%/0),所以点尸的轨迹是以C(2,0)为圆心，3

为半径的圆(点/(一1,0),6(5,0)除外)，由题意知点一的轨迹与圆"恰有一个公共点，若

A,6均不在圆M上，因此圆心距等于半径之和或差，则声战=5,解得加=土汨；或后彳

=1,无解.若4或6在圆"上，易得m=土木,经检验成立.所以/"的值为土班1或士/.

答案：土版或土木

22

9.(2018•扬州期末)在平面直角坐标系9中，若双曲线当一看=1(a>0,力0)的渐近

au

线与圆x+y-6y+5=0没有交点，则双曲线离心率的取值范围是.

解析：由圆6y+5=0,得圆的标准方程为(y—3)“=4,所以圆心。(0,3),

22

半径r=2.因为双曲线宗一方=1®°，力0)的渐近线bx±ay=0与该圆没有公共点，则圆心

|Z?X0±aX3|■>2,即3a>2c即e=,</又e>L故双曲线离

到直线的距离应大于半径，即9

yj+a

心率的取值范围是

答案:a3

10.在平面直角坐标系X0中，已知圆GV+(y—3)2=2,点力是X轴上的一个动点,

AP,四分别切圆。于R0两点，则线段N长的取值范围是

(0,3，所以尸g24sin，.又cos仁杂,AC^[3,+

解析：设/尸。=9,夕£

[o,乎],所以cos可0,|,sin2=1—cos2e1),因为

8),所以cos夕£

夕W(0,所以sin0e［亭，1),所以

答案:

11.(2019•南京三模)在平面直角坐标系x分中，已知物V是。C(^-1)2+(y-2)2=2

的一条弦，且Cd。％P是助V的中点.当弦必V在圆。上运动时，直线/：x―3y—5=0上存

在两点4B,使得/4必2方恒成立，则线段长度的最小值是

解析：因为妙'是。C：(x—l)2+(y—2>=2的一条弦，且P是"V的中点，所

、历

以PC=^r=l,1产的轨迹方程为(*-1)2+(广-2)z=L圆心。到直线7：x-3y-5=0的

距离为!!=叱6因为直线1上存在两点4B,使得//吟今恒成立，所以/国“

yj二l+^(-3)v2

=2标+2.

答案：2枷+2

12.(2018•苏锡常镇调研)已知直线1-.x-y+2=0与x轴交于点A,点尸在直线/上.圆

C：(x—2)?+/=2上有且仅有一个点6满足ABVBP,则点尸的横坐标的取值集合为—

解析：法一：由四，外，得点6在以力尸为直径的圆。上，所以圆〃与圆C相切.

由题意得力(一2,0),。(2,0).若圆〃与圆。外切，则加'一加=斓；若圆〃与圆。内

切，则的一〃C=也.所以圆心。在以力，C为焦点的双曲线丁一字=1上，即14/—2/=7.又

22

y=x+2,35

点〃在直线,上，由得12%—8^-15=0,解得题=万或X[)=--所以xp=2x)

147-2/=7,f

—M=2X〃+2=5或x尸■小

法二：由题意可得力(一2,0),设P(a,a+2),则4P的中点，产了甘

AP=

y/2«+2)2,故以力尸为直径的圆〃的方程为x

\(Q-2(a+2、2r-|a+2.1

得圆。与圆〃相切(内切和外切)，故,仁一一2)+(丁"=也±一—，解得己=§

或a=5.故点。的横坐标的取值集合为七，5}.

答案:卜5}

22

13.已知椭圆当+£=1(a>6>0)的左焦点为F,直线x=m与椭圆相交于A,6两点.若△/<46

ab

的周长最大时，△E427的面积为皿，则椭圆的离心率为

解析：设直线与x轴交于点〃，椭圆的右焦点为A,由椭圆的对称性可知△的8的

周长为2(q+痴=2(2a-£4+阴，因为故当时，△/•力3的周长最大，

此时直线经过右焦点，从而点46坐标分别为(c,卜，一3，所以△为8的面积为

1nIo.历

-•2c•—,由条件得5•2。•—=abt即b'+c=2bc,b=c,从而椭圆的离心率为e=--.

答案.亚

口>Ts.•2

14.已知46是圆G：/+/=1上的动点，0是圆G：(x—3>+(y—4)?=1

上的动点，则|后+万I的取值范围为.

解析：因为儿6是圆G：3+/=1上的动点，的=事,所以线段

49的中点〃在圆。：/+/=；上，且I万+后|=2］可］.因为点产

是圆C：(*—3)2+(y—4尸=1上的动点,所以5一|w|W|W5+|,

即：W|77|W?,所以7W2|后|W13,从而|万十后|的取值范围是［7,13］.

答案:[7,13]

B组一一力争难度小题

1.（2019•苏锡常镇四市一模）若直线hax+y—4a=0上存在相距为2的两个动点A,

B,圆f+/=l上存在点C,使得为等腰直角三角形。为直角顶点），则实数a的

取值范围为

解析：法一：根据题意得，圆ax?+y=l上存在点G使得点「到直线/的距离为1,

那么圆心。到直线/的距离不大于2,即9W2,解得可9呼，于是a的取值范围

法二：因为△48C为等腰直角三角形。为直角顶点），所以点。在以4?为直径的圆上，

记圆心为M,半径为1,且6%直线1,又点C也在圆O-.?+/=1上，所以。是两圆的交

点，即。K2,所以解得一半WaW乎，于是a的取值范围是J—坐，声]

yjl+a33[.33」

答案:*,闿

2.（2017•全国卷I）已知双曲线G]-1=l（a>0,6>0）的右顶点为4以/为圆心,

6为半径作圆4圆/与双曲线C的一条渐近线交于M,4两点.若/明的三60°,则C的离心

率为________

解析：双曲线的右顶点为“（a,°）,一条渐近线的方程为y=^x，即"一〃尸°，则圆心

A到此渐近线的距离"=丹三等1=妙又因为/扬/¥=60°,圆的半径为b,所以sin

y]Ifc

ab„y[ibab八，22铺

=丁,即a5-所以e

60°?T3•

答案：平

3.（2019•江苏泰州期末）在平面直角坐标系x行中，过圆G：（矛一炉+5+4-4）2=1

上任一点尸作圆G：x?+/=l的一条切线，切点为。，则当|尸0|最小时，k=

解析：由题意得，圆。与圆G外离，如图.因为图为切线，所

以PQLQQ,由勾股定理，得I阕=4|用「一1，要使I阕最小，则需

|「创最小.

显然当点一为GG与圆G的交点时，最小，

此时，|1|=|6创一1,所以当|GG|最小时，12创就最小，|比0|=迎+(-“+4)

=、2(4—2)：+822y/2,

当一=2时，匕G|取最小值,即|阕最小.

答案：2

22

4.(2017•山东高考)在平面直角坐标系x0中，双曲线当一方=l(a>0,6〉0)的右支与

ab

焦点为9的抛物线1=2.(p>0)交于48两点.若AF+BF=4OF,则该双曲线的渐近线方程

为.

解析：设4(为，%)，3(x2,㈤，由抛物线的定义可知

AF=y\+^,BF=y2+^OF=',

由/6+跖=%+々+〃2+]=0+%+/7=4/=2°,得八+%=0.

22

当一｝=1

联立〈,ab消去x,得ay—2plfy+a2Z?2=0,

y=2py,

所以％+%=第，所以:2PB

T=P'

1.b亚

即7=5,故7早

所以双曲线的渐近线方程为y=

答案：y—

5.已知圆G(%-2)2+/=4,线段用1在直线/：y=x+l上运动，点。为线段切■上任

意一点，若圆C上存在两点4B,使得川•PBW0,则线段3长度的最大值是.

解析：过点，作CHL1于H,因为C到/的距离但已=乎>2=八所以直线/与圆C

相离，故点。在圆C外.因为必•改?=|必||PB\cosNAPB^O,所以cos/4公0,所

以5WN4&Kn,圆。上存在两点A,6使得N力阳C[5，nJ,由于点尸在圆C外，故当阳,

阳都与圆。相切时，NAPB最大,此时若N4如=+，则Q/r=24,所以PH=、Pg—C#

,由对称性可得砒"*=2%=币1

答案：/

6.设抛物线f=4y的焦点为“/为抛物线上第一象限内一点，满足""=2,已知〃为

抛物线准线上任一点，当为+"取得最小值时，△以尸外接圆的半径为.

解析：由抛物线的方程x?=4y可知尸(0,1),设4(刖，%),又由4尸=2,根据抛物线的

定义可知/IQ/+曰=%+l=2,解得乃=1,代入抛物线的方程，可得x°=2,即/(2,1).如

图，作抛物线的焦点厂(0,1),关于抛物线准线尸一1的对称点6(0,-3),连接交抛

物线的准线y=-l于点P,此时能使得必+"取得最小值，此时点尸的坐标为(1,-1),

在△阳尸中，AF=2,PF=PA=乖,

由余弦定理得cos/"Q”妥程,

2X-^5X^55

4

则sin/加个=、设△必尸的外接圆半径为R，

5

ApR5

由正弦定理得2上=-^^,=3,所以「彳，

sinZ//T,24

5

即△处尸外接圆的半径A=［

R

答案：4

第二讲I大题考法一一直线与圆

题型(一)

直线与圆的位置关系

主要考查直线与圆的位置关系以及复杂背景下直线、圆的方程.

［典例感悟］

［例1］如图，在m△?1比'中，N4为直角,48边所在直线的方

程为X一3/一6=0,点7(—1,1)在直线/C上，%中点为M(2,0).

(1)求弦边所在直线的方程；

⑵若动圆户过点M—2,0),且与Rt△力回的外接圆相交所得公共弦长为4,求动圆P

中半径最小的圆方程.

［解］(1)因为46边所在直线的方程为x—3y-6=0,IC与46垂直，所以直线的斜

率为-3.

故4。边所在直线的方程为y-l=-3(x+l),

即3x+y+2=0.设。为(加，-3x0-2),因为"为8c中点，所以8(4一m3照+2).