2021高中数学第三章指数运算与指数函数 教案北师大版必修第一册

第三章指数运算与指数函数

笫1节指数塞的扩充

3.1.1指数辕的扩充

教材分析

初中学习了整数指数品的运算，本节将整数指数扩充到有理数指数和实数指数，着重是

有理数指数(分数指数)的运算，完成了指数幕运算的扩充，一方面使指数运算知识更加完

整，揭示了开方(根式)运算与乘方(指数式)运算的内在联系，另一方面为学习指数的运

算性质和指数函数的性质奠定了基础。

教学目标与核心素养

(D知识目标：

掌握有理数指数事的含义和运算；掌握根式运算与指数运算的内在联系；正确进行有理

数指数幕的运算；理解实数指数凝的含义。

⑵核心素养目标：

通过实数指数鼎的扩充和相关运算，使学生了解指数运算的发展过程，提高学生数学运

算的核心素养。

教学重难点

(1)正分数指数累的含义和运算；

(2)有理数指数累的运算；

(3)根式与分数指数幕的相互转化。

课前准备

多媒体课件

教学过程

一、知识引入

在初中，学习了整数指数塞的运算及性质

a=a-a-a.....a

n个a

am-an=a^,(am)n=(a-b)n=an-bn

思考讨论:

C

（1）薇甘菊是热带、亚热带地区危害最严重的杂草之一，它侵害田地的面积（单位hm）

与年数（年）的关系式为

S=S（）・1.057’

其中s。为侵害面积的初始值

c=c.1ncylO

如果求10年后侵害的面积，则一°.；如果求：5.5年后侵害的面积,

cc.1ncylS.S

就需要计算=°,这个指数运算与初中所学的指数运算有什么差

异呢？

提示：指数是分数.

32=

（2）对于分数指数幕，该如何运算呢？如

x2

（332=3l=3（百）2=3,可见37=百

提示:«

二、新知识

1、给定正数Q和正整数科"（〃>1,且叫"互素），若存在唯一的正数?使得那=°m,则称'为

m

。的八次哥.

m

b=an

记作这就是正分数指数累.

13

I.则b=2M£6=513£=57

/列如:,则

?注意:

mmkm

“是正整数时，分数指数幕anan=Q石I

①当满足:

32=V3时,an=府读

②与类似，当底数0>°,其中

作“"次根号下也叫根式运算.

85=V8=2V227i=^272=9

例如:

m

ana>0

③根据分数指数晶的定义，分数指数辕的条件是：底数

近为=-3,但不能写成(-27)1=-3

虽然

例1.把下列各式中的正数”写成正分数指数幕的形式:

⑴按=20b4=2s

(2)

bn=3m(rn,n6N)b3T1=TT9m(科？1cN+)

(3)+；(4)

5

A,、b=20sb=24

解：⑴(2)

m9m3m

b=3«b=6=n~

(3)(4)

2、类似负整数指数辕的定义，给定正整数犯,">1'且犯'互素），定义

至此，指数运算的指数已经扩充到有理数了.

那么，指数是无理数的情况呢？以1°&为例说明如下

卬出夜=1.414213…由z

因为，所以

1.4<1.41<1.414<•••<V2<•­•<1.415<1.42<1.5

上式.左边的数称为近的不足近似值，右边的数称为

的过剩近似值

io1-4<101-41<101414<・・・<10^<...<101-415<10142<10LS

借助计算器，可算出10°越来越趋近于同一个数，即

1072=25.954-

一般的，给定正数°,对任意无理数°,心都是一个确定的实数.

fj-a—1

同理“

这样，指数运算的指数已经扩充到全体实数了.

注意：

①给定一个正数”，对任意实数°,指数累心都大于0；

②0的任意正实数鼎都等于0；

③0的0指数幕和负实数指数事都没有意义。

例2.计算：

3113

4227-3弓尸

(1)；(2)；(3)16.

27v=(33)V=3-1=；

⑵3;

G)T=(2-4)+=26=64

⑶

思考讨论(综合练习)

(1)计算下列各式:

e后+弓)-2(2打5-0.厂2+(2氯，loom

(2)用分数指数基表示下列各式(字母均表示正实数).

①标②一―

提示：⑴/+5=。承+*3]

②

(2>_0.1-2+(2冬产+loom=[(|)2]i-Q)-2+吗>「-100=1+1=2

3/-------------11311

⑸介yja-4a=(a-02)3={02)3=02

\^)\JLz・

/-----------,1S13111311

②vab3y/ab5=(ab3•a访。彳=(京=加力彳

三、课堂练习

教材P76,练习1、2.

四、课后作业

教材P77,习题3T：A组第1、2、3,B组第1题.

教学反思

(1)负数的分数指数累，在某些情况下是没有意义的，如(-2>=口，但

(-2)1=V(-2)2

''V'"却是有意义的，避免情况过于复杂，所以对分数指数幕的底数统一要

求为正数，这也是后面指数函数底数要求为正数的原因。

(2)为了便于指数暴的运算，一般都将根式化成分数指数进行运算，这样便于利用指

数运算律进行指数累的运算。

第三章指数运算与指数函数

第2节指数骞的运算性质

3.2.1指数易的运算性质

教材分析

指数寤的指数由整数扩充到了实数，其指数运算的运算性质照样适用。本节内容是实数

指数基的运算性质及利用性质进行综合运算，使学生能够熟练、准确地进行指数式、根式等

的相互转化，能够熟练地利用性质进行数式的化简、求值等综合运算。

教学目标与核心素养

(1)知识目标：

实数指数哥的运算性质及利用性质进行综合运算，使学生能够熟练、准确地进行指数式、

根式等的相互转化，能够熟练地利用性质进行数式的化简、求值等综合运算。

⑵核心素养目标：

通过实数指数基的综合运算，提高学生数学运算的核心素养。

教学重难点

(1)实数指数寡的运算性质；

(2)根式、指数式等的化简、求值以及综合运算。

课前准备

多媒体课件

教学过程

一、复习引入

0

n个aa=l（a工0）

-n

巴1

an=Va^*(a>0),a"=-m白（。〉。）

tin

在初中，学习了整数指数基的运算性质

nnn

am.an=am+n>=flmn(a.b)=a.b

二、新知识

类似的，当指数是实数时，指数运算性质如下:

°,为正实数,“为实数

=（心*=。如，（Q・b）a=Qa•外

例1.计算:

(2-3)lx(V2)-28'^X(V4)3(与十4一；-1

(1);；\o)

(2-3)lx(V2)-2=2-3XIX2?X(-2)=2Tx2T=2-2=；

解：⑴I

333

8一亨X(V4)=(2)-lX2=2%3=2

⑵

(1)2+4_?-l_l=3_2XI+22X(~2)-1=3T+2-1—1=一T

⑶

例2.计算：

（i）一无⑵-形;

⑶（2企产；（4）［（历产.

城…［（注厂句一2=（近疗（网=近

解：⑴：

(2-1严)2=(2-1)2=2-2=1

⑵4

(2夜)-0=2遮x(->/5)=2-21

⑶4

⑷[(g)&]&=(企)&日=(々)2=2

例3.化简（式中的字母均为正实数）:

(J)T.(a-2)+=a4+(T)x(-1)=J

⑵

3x日,(2x~&yz)=6/~&yz=6”

⑶

•(4厂。)=-ya~a=4x

(4)

10«=3,10月=4q10"匕100rT10—2a,10号

例4.已知'，求

l()a+A=10ffx10^=3X4=12

解：；

IO2=10ax10-6=3xi=-

44

■*

10-2a=(10a)-2=3-2=

10T=(10小=4；

例5.已知实数区叫且。＞°力＞°,求证：5）一而

证明：根据指数辕的定义和运算性质,

《L=(QbT)。=aa-(b-1)01=aa-b-a=^

思考讨论（综合练习）

（1）计算下列各式（式中的字母为正数）：

7岭-3旧-6#+我轲m+m-1+2

①5；②nt2+m-2

Y24y-"2—3

(2)若一，求/+广2—2的值.

7V3-3V24-63E+V3V5

提示：（1）①79

=7-35-3-31-85-6-(3-2)5+35•(3叶

11_21_1_

=7,3?—6,33—2•3•3?+3，口

1111

=7,33—6,33—2・33+3§

=0

111_111

m+m~l+2_(m^)2+(m~^)2+2m^m~^_(m^+m-?)2

=m2+m-2

②mN+nTNm7+m-7

X2+x-2=3n，再平方

⑵由两边平方得

x2+x~2=47

又

X2+X~2—3=+(x~2)—3=fx2+x~^\(x+x-1-1)—3=15

x7+x_T-3_IS_1

所以X2+JT2-2~47-2-3

三、课堂练习

教材P79,练习1、2.

四、课后作业

教材P79,习题3-2：A组第1〜6题，B组第1、2题.

教学反思

在指数寤的运算中，一般都将根式化成分数指数进行运算，这样便于利用指数运算性质

进行运算，另外在运算过程中注意运算顺序。

第三章指数运算与指数函数

第3节指数函数

3.3.1指数函数的概念

3.3.2指数函数的图象和性质(1)

教材分析

指数函数是继研究了函数的概念和性质之后在高中阶段研究的又一个基本初等函数，通

过指数函数及图象与性质的研究，可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得

到较系统的函数知识和研究函数的方法，凸显了函数图象在研究函数性质时的重要作用，同

时培养学生的函数应用意识，为今后学习其它的初等函数奠定了基础。

教学目标与核心素养

(1)知识目标:

掌握指数函数的定义；通过指数函数的图象，归纳出指数函数的性质；利用指数函数的

性质在不等式、方程问题中的应用。

(2)核心素养目标:

通过指数函数概念、图象和性质的学习，使学生掌握研究函数的一般方法，提高学生的

数学抽象和逻辑推理能力。

教学重难点

(1)指数函数的概念；

(2)指数函数的图象和性质；

(3)指数函数性质以及利用指数函数的单调性比较实数大小、解不等式等方面的应用。

课前准备

多媒体课件

教学过程

一、引入

曾经有人断言，一张A4纸，不可能将其对折超过8次，是不是这样呢？

让我们来计算一下，一张标准A4纸，规格为长29.7cm,宽21cm,厚度大约0.01cm,

(1)4=1-8528=256

折叠8次,纸的长度变为29.7X2cm,厚度变为0.01Xcm,

这时纸的长度己经小于厚度了，无法再折叠了。

Ii

■

?思考讨论：

假设一张厚度0.01cm的A4纸可以无限折叠下去，那么折叠30次的高度大约是多少？

折叠50次呢？

提示：折叠30次，厚度为0.01X230*107X107cm=107km大约是葭个

珠穆朗玛峰的高度了；折叠50次，厚度为

9501IQY=1X1。8

0.01X11,51Ucmkm,约为L13亿km,地球与太阳的距离约

L5亿km,已接近地球与太阳的距离了。

二、新知识

1、形如y=Q'(”>°且@#1)的函数称为指数函数.

其中是自变量，且

y=2X

例如：y，：3等等

?注意：

①指数函数的定义域为R,值域为（°，+8）；

②当”=°时，=即指数函数的图象过定点（叫；

③若Q=L指数函数y=Q'即为图象为经过点（°'］）与

“轴平行的直线.

2、指数函数y=标的图象和性质

1）作出指数函数y=2'的图象.

列表、描点、连线得函数7v=2*的图象如图

X…-3-2-10123…

111

y=2X•••1248•••

842

同理可作出指数函数y=3、的图象

①定义域为R，值域为(°，+8),图象过定点(0，1)；

②函数在A上是增函数，当'T+8时yr+8,当“一一8时

yt0

*♦

③对于指数函数>=嗪、”(八6>1］，当时

0<t?<bx<1*x=0.(f=bx=1x>0.

»3nj,3IrJ

炉>炉>1

例1.比较下列各题中两个数的大小：

(1)5。•岑7-0-1S7-0.1

(2),

解：由指数函数，=上当时，D

0>i函数在上单增

小0.8>0.7.5°8>5°;

⑸-0.15<-0.1.7-015<7-0J

X

例2.(1)求使不等式4,>32成立的实数X的集合；

(2)已知方程"Z,求实数”的值；

解：⑴不等式">32,即22r>2：由函数丫=2"在R上单增，得及>5,所以实数”的集

/S、

合人d为（52'+8）

_7

(2)方程,0^-1=243,印3"=3：得女-2=5,所以

y=

2）作出指数函数2的图象

y=G）x

列表、描点、连线得函数的图象如图

注意:

y=a*0<a<1,

•般的，指数函数，当时

RO'+8）,图象过定点(0,1).

①定义域为值域为

②函数在R上是减函数，当"T+8时yT0,当"一8时

y->+8

③对于指数函数和y=b\ovavb<l),当

出>炉>1,当％=0时cf=bx=1当x>

0v出v炉v1

例3.比较下列各题中两个数的大小：

6尸8")-28(1尸3*尸

(1)55(2)33.

解：由指数函数当时，函数在R上单调递减

-1.8>-2fi.(1)-1-8<(1)-2€

\1/,♦•

⑵一0.3v1.3.(1)"°-3>(^)1,2

思考讨论(综合练习)

⑴解不等式23-入V0.5—；

⑵已知函数的=3("为常数且"1)的图象经过点

4(0,1),5(3,8)

①求函数"外的解析式；

Q(x)=/㈤T

②若函数/w+i,求双外的值域.

?3-2xvnex-1o3-2x々ol-x

提示：(1)不等式Ub，即'V/

•・・函数'=2”为增函数，...3-2"1-。解得x>2

不等式的解集为(2,+8)

品解得展

⑵①图象经过点"。1），氏3,切，得

的解析式为fM=2"

2X>02X+1>1一赤€（_2,0）

g（»二6（—1，i）

二、课堂练习

教材P84,练习1、2、3.

四、课后作业

教材P89,习题3-3：A组第3、4、5、6,B组第1、2、3题.

教学反思

利用函数的性质解决方程、不等式等问题，是函数思想的重要应用，指数函数的图象有

别与初中学习的函数图象，熟练掌握指数函数两种情况的图象和性质，是解决复合函数问题

的基础。

第三章指数运算与指数函数

第3节指数函数

3.3.2指数函数的图象和性质（2）

上一节学习了指数函数的图象和基本性质，本节将进一步研究指数函数的性质及应用,

特别是函数图象变换和简单的复合函数问题，进一步深化学生对指数函数概念、图象和性质

的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，提高分析和解决函数的综

合性问题的能力。

教学目标与核心素养

(D知识目标：

进一步掌握指数函数的图象和性质；掌握指数型函数的图象变换方法；利用指数函数的

性质解决简单的复合函数问题。

⑵核心素养目标：

通过指数函数图象和性质的应用，使学生感悟函数思想方法在解决相关数学问题中的重

要作用，提高学生的数学抽象和逻辑推理能力。

教学重难点

(1)指数函数的图象和性质的综合应用；

(2)指数型函数的图象变换、简单的复合函数问题。

课前准备

多媒体课件

教学过程

1、指数函数的性质:

XT+8gy7+8XT+8y70

当时当时，

“T-8yt0XT—8y7+8

当时当时

2、函数图象的变换

_y=(-)x

指数函数与2的图象间的关系

在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图：

y==2~x_2,

函数2与函数的图象关于,轴对称，即函数

y=f(-X)与函数y=f⑴的图象关于，轴对称。

f注意：

常见的几种函数图象变换：

向左(a>0)或向右(a<0)平移同个单鸟

①函数y=f(刈的图象*函数

y=〃x+Q)的图象

向上(b>0)或向下(b<0)平移|训个单性

函数y=fw的图象*函数

y=fa)+b的图象；

②函数y="—x)与函数幻的图象关于端对称

函数、=一'(刈与函数、=，(")的图象关于“轴对称；

③函数图象是函数的图象原,轴上方的部分不

变，将“轴下方的部分对称到“轴上方，

函数，="出）的图象是函数的图象原'轴右侧的

部分不变，去掉原，轴左侧的部分，再将原、轴右侧的部分对称

到、轴左侧.

例4.求下列函数的值域：

y=6)ftE[T+8)

y=21

（1）(2)

解：（i）指数函数"乃=2、在“上单增，i一”cR,...函数y=21T的值域（o,+8）

D

3xe[-1,+oo)

⑵指数函数在上单减，V

2x—16[―3,+co)

工函数y（3）当女[-1,+8）时，值域（0,27]

例5,比较下列各题中两个数的大小：

⑴二。眈⑵一步1,

解：⑴由指数函数y”的性质，底数1‘>1,-Id即1吵6>1

底数08<1,°-81-6<0-8°,即°森<】，

1.8°6>0.816

7<1(1)-1>1

（2）由指数函数y=Q的性质,底数7.7/

3123

3>13-5<16)书>3不

底数

P注意:

指数式的大小比较，一般先将底数（或指数）变成相同，再利用指数函数的单调性进行比较,

如果无法同底数或同指数，一般通过中间式或中间量（如0、1等）进行比较。

例6.己知比较和小的大小，并说明理由.

解.：设函数y=Q"（Q>o）

若a>1,则函数单增，Q<2,