2017-2019北京初二数学上学期期中汇编：图形的性质解答题

2017-2019北京初二数学上学期期中汇编：图形的性质解答题

1.（2019秋•海淀区校级期中）如图，已知△ABC中，AB=AC,AO为中线，点P是AO上一点，点Q是4c上

一点，且NBPQ+N8A0=18O。.

（1）若NABP=a,求NPQC的度数（用含a的式子表示）：

（2）求证：BP=PQ.

2.（2019秋•海淀区校级期中）如图，A4BC中，AB=BC,/ABC=120。，点E是AC上一点，连接BE,且/

BEC=50°,。为点B关于直线AC的对称点，连接C。，将线段EB绕点E顺时针旋转40。得到线段EF,连接

DF.

（1）请你在图中补全图形；

（2）请写出NEF。的大小，并说明理由；

（3）连接CF,求证：DF=CF.

3.（2019秋•海淀区校级期中）如图，在△ABC中，NB=NACB,D是边AB上一点,E是边AC的中点，作CF

〃A8交DE的延长线于点/，DB=3,CF=7,求AE.

A

E

D,

B

4.(2019秋•海淀区校级期中)在△ABC的边AC上取一点，使得AB=AQ,若点。恰好在8c的垂直平分线上,

写出/48C与NC的数量关系，并证明.

5.(2019秋•海淀区校级期中)在平面直角坐标系xOy中，我们称横纵坐标都是整数的点为整点，若坐标系内两

个整点A(p,q)、B(m,n)(加刍)满足关于x的多项式f+px+q能够因式分解为(x+w)Cx+n),则称点

8是A的分解点.

例如A(3,2)、B(1,2)满足1+3x+2=(x+1)(x+2),所以8是A的分解点.

(1)在点4(5,6)、A2(0,3)、4(-2,0)中，请找出不存在分解点的点：；

(2)点P、。在纵轴上(尸在。的上方)，点R在横轴上，且点P、。、R都存在分解点，若△PQR面积为

6,请直接写出满足条件的△PQR的个数及每个三角形的顶点坐标；

(3)已知点。在第一象限内，。是C的分解点，请探究△OCO是否可能是等腰三角形？若可能请求出所有满

足条件的点。的坐标；若不可能，请说明理由.

1O2345x-5-4-3-2-1O234

-1-1

6.(2019秋•海淀区校级期中)下面是小康设计的“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程.

已知直线/及直线/外一点P.

求作：直线/的垂线，使它经过点P.

做法：如图，

①以P为圆心，以大于P到直线/的距离的长度为半径画弧，交直线/于A、B两点;

②连接PA、PB；

③作乙4尸8的角平分线PQ.

直线PQ即为所求.

根据小康设计的尺规作图过程：

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明.

证明：,P。平分NAP8,

C.PQVI（）（填推理的依据）

•P

•P

7.（2019秋•海淀区校级期中）如图，在四边形A8C。中，对角线8。平分/ABC,NA=120。，ZC=60°,A8=

17,AD=\2.

（1）求证：AD=DC-,

（2）求四边形ABCQ的周长.

8.（2019秋•西城区校级期中）在探究两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等（“SS4”）是否能判定两个

三角形全等时，我们设计不同情形进行探究：

（1）例如，当NB是锐角时，如图1,BC=EF,ZB=ZE=90°,在射线EM上有点。，使。尸=AC,用尺规

画出符合条件的点£>,则△ABC和△OEF的关系是：

A.全等B.不全等C.不一定全等

我们进一步发现如果能确定这两个三角形的形状，那么“SSA”是成立的.

（2）例如，已知：如图2,在锐角△48C和锐角△DEF中，AC^DF,BC=EF,NB=NE.求证：△ABC丝

△DEF.

9.（2019秋•西城区校级期中）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，类似的，我们定义：至少有

一组对边相等的四边形叫做等边四边形.

（1）如图，在△ABC中，点。，E分别在AB,AC上，设CO,BE相交于点。，若NA=60。，NDCB=NEBC

请你写出图中一个与/A相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形？

2

（2）在aABC中，如果NA是不等于60。的锐角，点。，E分别在A8,AC上，且/。CB=NEBC=L/A.探

2

究：满足上述条件的图形是否存在等对边四边形，并证明你的结论.

10.（2019秋•西城区校级期中）（1）如图1,点A为线段BC外一动点，且8c=〃，AB=h,填空：当点A位于

时，线段AC的长取到最大值，且最大值为；（用含。、。的式子表示）.

（2）如图2,若点A为线段BC外一动点，且BC=6,AB=3,分别以A3,AC为边，作等边△A3。和等边△

ACE,连接CD,BE.

①图中与线段BE相等的线段是线段,并说明理由；

②直接写出线段BE长的最大值为.

（3）如图3,在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4,0）,点8的坐标为（10,0）,点尸为线段AB外一

动点，且P4=4,PM=PB,NBPM=90。，请直接写出线段4M长的最大值为,及此时点P的坐标

为

（提示：等腰直角三角形的三边长。、b、C满足a：b：c=l：1：圾）

11.（2019秋•西城区校级期中）已知：如图，直角△ABC中，AC=BC,ZC=90°,ZCAB=ZABC=45Q.过点

B做射线8£>_LAB于8,点P为BC边上任一点，在射线8。上取一点。，使得PQ=AP.

（1）请依题意补全图形;

（2）试判断AP和P0的位置关系并加以证明.

12.（2019秋•西城区校级期中）如图1,在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴上，点B是第一象限的点，且

轴，且AB=OA,点C是线段0A上任意一点，连接BC,作交x轴于点力.

（1）依题意补全图1;

（2）用等式表示线段OA,AC与。。之间的数量关系，并证明;

（3）连接CD,作NCB。的平分线，交CD边于点H,连接AH,求NBA”的度数.

13.（2019秋•西城区校级期中）几何作图时，我们往往依据以下三个步骤

①画草图分析思路

②设计画图步骤

③回答结论并验证

请你按照以上所述，完成下面的尺规作图:

已知三条线段〃，m,c,求作△ABC,使其BC边上的高A，=/z,中线AB=c.

hm

（1）请先画草图（画出一个即可），并叙述简要的作图思路（即实现的大致作图步骤）；

步骤如下:

草图区

（2）完成尺规作图（不要求写作法，作出一个满足条件的三角形即可）

作图区

14.（2019秋•西城区校级期中）如图，点A,B,C,。在一条直线上，且AC=B。，若Nl=/2,EC=FB.

求证：MACE9△DBF.

证明:

E

15.（2019秋•丰台区校级期中）已知：如图，点E是AABC外角NC4F平分线上的一点.

（1）比大小：BE+ECAB+AC（±AU>'\或“=”）

（2）证明（1）中的结论.

16.（2019秋•海淀区校级期中）已知，如图，ON=EM,且。于O,EM_L4c于E,BM=CN,求证：NB

="

17.（2019秋•西城区校级期中）一块含45。的直角三角板4BC,AB=AC,NBAC=90。，点。为射线CB上一

点，且不与点C，点8重合，连接AQ.过点A作线段的垂线/,在直线/上，截取AE=A。（点E与点C

在直线AD的同侧），连接CE.

图2

(1)当点。在线段CB上时，如图1,线段CE与8。的数量关系为，位置关系为

(2)当点。在线段CB的延长线上时，如图2,

①请将图形补充完整;

②（1）中的结论是否仍成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由.

18.（2019秋•西城区校级期中）已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作和^

BCE,且C4=C£>,CB=CE,NACD=NBCE=a,直线AE与8。交于点尸.

（1）如图1所示，

①求证AE=BD.

②求（用含a的代数式表示）.

（2）将图1中的△AC。绕点C顺时针旋转某个角度（交点尸至少在B。、4E中的一条线段上），得到如图2

所示的图形，若NAFB=150。，请直接写出此时对应的a的大小（不用证明）.

19.（2019秋•海淀区期中）已知：如图NB=40。，NB=NBAD,ZC=ZADC,求ND4c的度数.

20.（2019秋•海淀区期中）如图1,在△ABC中，ZACB=2ZB,/BAC的平分线AO交8C于点。，点”为AO

上一动点，过点H作直线LLAO于H,分别交直线AB、AC、BC、于点ME、M.

（1）当直线/经过点C时（如图2）,求证：BN=CD；

（2）当M是BC中点时，写出CE和C。之间的等量关系，并加以证明；

（3）请直接写出BN、CE、CO之间的等量关系.

AA

21.（2019秋•通州区期中）已知，如图，射线8。平分锐角N48C,且平分钝角NADC,求证：CD=AD.

22.（2019秋•西城区校级期中）如图1所示是一个用四根木条钉成的作图工具，其中AB=A。，BC=DC,两根

木条的连接处是可以转动的，几名同学在一起讨论这个工具的用途.

（1）小明发现用这个工具可以快速作出角平分线

在下面的几种用法中，能作出/MON的平分线的有.（写出所有正确的序号）

①OC是NMON的平分线；②OB是NMON的平分线；③OA是NMON的平分线

（2）对于这个工具的其它用途，小兰发现可以用它作线段的垂直平分线.

请结合图2补全结论并给出证明.

已知：如图2,AB^AD,BC=DC.

求证：垂直平分

（3）对于这个工具的其它用途，小红认为通过多次操作可以用它作平行线.你同意吗？如果同意，请画示意

图说明如何操作；如果不同意，请说明理由.

23.（2019秋•西城区校级期中）已知：如图，ZVIBC中，4。平分/BAC,DE〃/分别交8C、AC于。、C两

点，CE=6,DE=5.过。作OE14B于F.DF=4.

（1）求AE的长；

（2）求△ACD的面积.

24.（2019秋•朝阳区校级期中）已知，如图，在△ABC中，AD平分/54C,AD=AB,CMJ_A。于股，请你通过

观察和测量，猜想线段AB、AC之和与线段AM有怎样的数量关系，并证明你的结论.猜想/B,ZACM,Z

8cM有怎样的数量关系，并证明你的结论.

25.（2019秋•海淀区校级期中）我们曾学过定理“在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边

等于斜边的一半”，其逆命题也是成立的，即“在直角三角形中，如果一直角边等于斜边的一半，那么该直角边

所对的角为30。”.如图，在RtZXABC中，ZC=90°,如果AC=」AB,那么NB=30。.

2

请你根据上述命题，解决下面的问题:

（1）如图1,A,B为格点，以A为圆心，AB长为半径画弧交直线/于点C,则/CAB=°；

（2）如图2,D、尸为格点，按要求在网格中作图（保留作图痕迹）.作RtZXQEF,使点E在直线/上，并且

NDEF=90°,NE£>F=15°；

(3)如图3,在△ABC中，AC=BC,NACB=90。，。为△4BC内一点，AD=AC,CELADTE,且CE=工

2

AC

①求的度数；

②求证：BD=CD.

26.(2019秋嗨淀区校级期中)在等边AABC的外侧作直线AP,NC4P=a,点C关于4P的对称点为。，连接

CD、BD、AD.

(1)如图1,若a=70。，直接写出NBOC的度数；

(2)如图2,若0Va<60。，过点。作。EJ_8。交直线4P于点E,

①依题意补全图形；

②直接写出N4DB的度数(用含a的代数式表示)；

③求证：AE=BD.

D

图2

27.（2019秋•海淀区校级期中）如图，在等边△A8C中，48=8,P是线段8C上一动点（不与8、C重合），

于O,PEJ_AC于E,对于△ABC所在平面内一点M,%=胆，我们把口称为点M的“特征值”.

ME

（1）若BP=CP,则点P的特征值即=；

（2）若8P=3CP,则点A的特征值以=

（3）试确定点。的位置，使得当点P运动时，总有点Q的特征值总为定值，直接写出这个定值，并证

28.（2019秋•海淀区校级期中）在AABC中，AB=AC,/BAC=90。，£＞为直线BC上一动点，以AZ）为边在AO

的右侧作△4OE,AE=AD,ZDAE=90°,连接CE.

（1）如图1,若点。在段BC上.求证：NB=/ACE；

（2）若BC=5,CE=2,直按写出CO的长度.

29.（2019秋•海淀区校级期中）如图，C是线段AB的中点，CD=BE,ZACD^ZB,求证：△ACZ）名△CBE.

DE

30.（2019秋•海淀区校级期中）作图题:

国庆节期间小红外出游玩时看到了映山红拼成的“70”字样，还有两个花坛M.M请帮小红找一处最佳观赏位

置P,满足观赏点P至小'7"字样的两边距离都相等，并且到两个花坛M,N的距离也都相等（尺规作图，保留作

图痕迹并写出结论）.

结论为：.

B

31.（2019秋•海淀区校级期中）如图，B、C、E、尸同一直线上，AB//CD,BF=CE,NA=ND

求证：△ABE丝△OCF

32.（2019秋•海淀区校级期中）如图，点A,F,C,。在同一条直线上，点B和点E在直线的两侧，且AF

=DC,BC//FE,ZA=ZD.

求证：AB—DE.

B

33.（2019秋•海淀区校级期中）已知两个新建的居民小区A,B与两条公路/2位置如图所示.在S区域内建一

个超市M,要求超市到两个新建的居民小区A,8的距离必须相等，超市到两条公路的距离也必须相等.那么

点M应当选在何处？请在图中，用尺规作图找出符合条件的点M（不写已知、求证、作法，只保留作图痕

迹），并测量M4的长（精确到0.1cm）.

34.（2019秋•海淀区校级期中）如图，AABC中，AB=BC,/ABC=90。，/为AB延长线上一点，点E在BC

上，且AE=C/.

（1）求证：AELCF-,

（2）若NBAE=25。，求NACF的度数.

35.（2019秋•海淀区校级期中）阅读下列材料：

小明遇到一个问题：如图1,在△ABC中，/BAC=120。，NABC=40。，试过△ABC的一个顶点画一条直线，

将此三角形分割成两个等腰三角形.他的做法是：如图2,首先保留最小角NC,然后过三角形顶点4画直线

交2C于点。.将N2AC分成两个角，使/D4c=20。，即可被分割成两个等腰三角形.

喜欢动脑筋的小明又继续探究：当三角形内角中的两个角满足怎样的数量关系时，此三角形一定可以被过顶点

的一条直线分割成两个等腰三角形.他的做法是：如图3,先画△AOC,使OA=£>C,延长AO到点8,使4

08c也是等腰三角形.如果。C=BC,那么NC£）B=NABC,因为NCOB=2乙4,所以NA8C=2NA.

于是小明得到了一个结论：当三角形中有一个角是最小角的2倍时，则此三角形一定可以被过顶点的一条直线

分割成两个等腰三角形.

请你参考小明的做法，继续探究：当三角形内角中的两个角满足怎样的数量关系时，此三角形一定可以被过顶

点的一条直线分割成两个等腰三角形.请写出你的探究结论，并证明.

36.(2019秋•海淀区校级期中)定义：如图1,在△ABC和△△£)£：中，AB=AC=AO=AE,当/BAC+/D4E=

180。时，我们称△ABC与△£>/!£互为“顶补等腰三角形"，AABC的边BC上的高线AM叫做△ADE的“顶心

距''，点A叫做“旋补中心”.

(1)特例感知:在图2,图3中，AMC与△D4E互为“顶补等腰三角形”，AM是“顶心距”.

①如图2,当NBAC=90。时，AM与OE之间的数量关系为AM=DE；

②如图3,当/BAC=120。，ED=6时，AM的长为.

(2)猜想论证：

在图1中，当NB4C为任意角时，猜想AM与OE之间的数量关系，并给予证明.

(3)拓展应用

如图4,在四边形ABCZ)中，AD=AB,CD=BC,NB=90。，ZA=60°,CD=M，在四边A8C£)的内部找到

点P,使得△PA。与△PBC互为“顶补等腰三角形”.并回答下列问题.

①请在图中标出点P的位置，并描述出该点的位置为；

②直接写出△P8C的“顶心距”的长为.

37.(2019秋•海淀区校级期中)已知：如图，点A、E、尸、C在同一条直线上，DF=BE,NB=ND,AD//

BC,求证：AE=CF.

D

E

38.（2019秋•海淀区校级期中）如图，点E,F在8c上，BE=CF,AB=DC,AF与。E相交于点

o,请判断aoE尸的形状，并说明理由.

39.（2019秋•朝阳区校级期中）阅读下列材料：

如图1,在四边形ABC。中，已知NACB=NBAO=105。，ZABC=ZADC=45°.求证：CD=AB.

小刚是这样思考的：由己知可得，ZDCA=60°,ND4C=75。，ZCAB=30°,/4CB+ND4c=180。，由求证及

特殊角度数可联想到构造特殊三角形.即过点4作AEJ_AB交8C的延长线于点E,则A8=AE,ZE=ZD.

;在△△£）（?与△CEA中，

2D=NE

-ZDAC=ZECA=75°•••△ACC也△CEA,#CD=AE=AB.

AC=CA

请你参考小刚同学思考问题的方法，解决下面问题：

如图2,在四边形A8C。中，若NACB+/CAC=180。，NB=ND,请问：CO与A8是否相等？若相等，请你

给出证明；若不相等，请说明理由.

40.（2019秋•西城区校级期中）如图①，OA=2,08=4,以4点为顶点、4B为腰在第三象限作等腰直角△

ABC.

（1）点C的坐标为；

（2）如图②，P是），轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，若以P为直角顶点，PA为腰作

等腰直角过点。作轴于点E,则0P-0E的值为；

（3）如图③，已知点F坐标为（-4,-4）,当G在y轴运动时，作等腰直角△尸G4,并始终保持NGFH=

90°,FG与y轴交于点G（0,，〃），"/与x轴交于点“（〃，0）,则，〃与〃的关系为.

41.（2019秋•北京期中）ZXABC是等腰直角三角形，其中/C=90。，AC=BC,。是BC上任意一点（点。与点

B、C都不重合），连接AD,CFA.AD,交A。于点E,交4B于点凡BG_LBC交CF的延长线于点G.

（1）依题意补全图形，并写出与8G相等的线段；

（2）当点。为线段BC中点时，连接。F,求证：NBDF=NCDE；

（3）当点C和点/关于直线AO成轴对称时，直接写出线段CE、DE、AD三者之间的数量关系.

42.（2019秋•朝阳区期中）己知：如图在中，ZBAC=90°.

（1）按要求作出图形：①延长2c到点。，使CD=8C；

②延长CA到点E,使AE=2CA；

③连接A£>,BE.

（2）猜想（1）中线段4。与8E的大小关系，并写出证明思路.

B

C

43.(2019秋•东城区校级期中)如图，在△ABC中，AC=AB,点。在AB上，BC=BD,ZACD=15°,求N8的

度数.

44.(2019秋•西城区校级期中)如图，点A,E,F,C在同一条直线上，AE=CF,过点E,F分别作OELAC,

BFVAC,若AB=CD,求证：BD平分EF.

45.(2019秋•海淀区校级期中)已知，如图：A。是AABC的中线，AE1.AB,AE=AB,AFLAC,AF=AC,连

结EF.试猜想线段A。与EF的关系，并证明.

46.(2018秋•海淀区校级期中)如图，等腰Rtz^ABC中，N4BC=90。，点A、B分别在坐标轴上.

(1)如图①，若A(-2,0),B(0,1),直接写出C点的坐标；

(2)如图②，若x轴恰好平分NBAC,BC交x轴于点M,过C点作CQLx轴于。点，请你探索CD与AM的

数量关系，并证明；

(3)如图③，若点A的坐标为(-6,0),点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB,AB为边在第一、第

二象限作等腰Rt^OB凡等腰Rtz^ABE,连接E尸交y轴于尸点，当点B在y轴的正半轴上运动时，尸8的长度

是否发生改变？若不变，求出PB的值；若变化，求PB的取值范围.

y

B

图1图2图3

47.（2018秋•东城区校级期中）尺规作图：作已知线段的垂直平分线.（要求：不写做法，但要保留作图痕迹）

己知：线段A3,

求作：直线CO是线段A8的垂直平分线.

你的作图依据是

—1

B

48.（2018秋•西城区校级期中）已知：如图，点8、C、E三点在同一条直线上，C。平分NACE,NDBM=N

DAN,于例，DNLAC于N.

求证：（1）求证：/XBDM经丛ADN；

(2)若AC=2,BC=1,求CM的长.

49.（2018秋•西城区校级期中）已知：如图，C是AE的中点，NB=ND,BC//DE,求证：AB=CD.

B

50.（2018秋•西城区校级期中）已知：如图，在AABC中，AQ平分NA4C,EFLA。于点，，交BC延长线于点

G,已知NAC8=70。，ZB=40°,求NG的度数.

51.（2018秋•丰台区校级期中）探索归纳:

（1）如图1,己知△ABC为直角三角形，乙4=90。，若沿图中虚线剪去NA,则Nl+N2=.

（2）如图2,已知△A8C中，/A=40。，剪去NA后成四边形，则/1+/2=.

（3）如图2,根据（1）与（2）的求解过程，你归纳猜想N1+N2与NA的关系是.

（4）如图3,若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究N1+/2与的关系，并说明理由.

52.（2018秋•丰台区校级期中）如图，在△ABC中，NB=NC=45。，点。在BC边上，点E在AC边上，且/

ADE=NAED,连接力E.

（1）当N8AQ=60。时，则NCQE的度数是.

（2）当点。在BC（点8,C除外）边上运动时，设NCDE=a,请用a表示NBAD并说明理由.

53.（2018秋•丰台区校级期中）阅读下列材料并回答问题.

画一个直角三角形，使它的两条直角边分别是3和4,则我们可以量得直角三角形的斜边长为5,并且发现

32+42=52,事实上，在任何个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方.

如果直角三角形中两直角边长分别为a,b斜边长为c,则序+左二/,这个结论就是著名的勾股定理.

请利用这个结论完成下面的活动:

（1）一个直角三角形的两条直角边分别为1,3,那么这个直角三角形的斜边长为.

（2）一个直角三角形的两条边分别为2,3,那么这个直角三角形的另一边长为.

（3）如图，在数轴上画一个直角三角形OBC,ZOCB=90°,且两条直角边0C和BC的长分别是2和1,设原

点为0,以。为原点，斜边长。8为半径画圆交数轴于点A,则线段AC的长度是.

54.（2018秋•西城区校级期中）如图，BE、CF分别是钝角aABC（乙4>90。）的高，在BE上截取8P=AC,在

CF的延长线截取CQ=4B,连结AP、AQ,请推测AP与AQ的数量和位置关系，并加以证明.

55.（2018秋•海淀区校级期中）在/上求作一点使得AM+BM最小，并简要说明理由.

56.（2018秋•海淀区校级期中）如图，在△ABC中，ZACB=90°,AC^BC.。为BC边上任一点，连接AD,过

。作DE_LA。，S.DE=AD.连接BE,探究8E与4B的位置关系，并说明理由.

57.(2018秋•海淀区校级期中)如图1,在等边△ABC中，。为AC边上任一点，连接BQ,延长8。到E,使BE

—AB.设NA8O=a.

(1)则NCAE的大小为(用含a的代数式表示)；

(2)如图2,点尸在NCBE的平分线上，连接EF,CF,若NEC尸=60。，判断的形状并加以证明.

58.(2018秋•西城区校级期中)如图，在△4BC中，ZA=100°,ZABC=40°,8。是△ABC的角平分线.延长

BD至.E,使。E=A£>,连接EC

(1)直接写出NCDE的度数：NCDE=

(2)猜想线段8c与A8+CE的数量关系为,并给出证明.

59.(2018秋•海淀区校级期中)如图，点£>,E分别是三角形AABC边BC上的点，若AB=AC,BE=CD,求

证：AD=AE.

60.(2018秋•西城区校级期中)如图，在等边△ABC中，点P、。在边BC上，并且满足BP=CQ,作点。关于

直线AC的对称点例，连接AP、40、AM,CM.PM,线段PM、AC交于点、N,

(1)当N8AP=15。时，AQAM=；

(2)求证：AP=PM；

(3)若48=4,当点P在边BC上运动时，则线段CN的最大值为

AA

61.（2018秋•西城区校级期中）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题:

在△ABC中，AB=9,AC=5,BC边上的中线AO的取值范围.

（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：

①延长AD到Q使得DQ=AD-,

②再连接80,把48、AC.2Ao集中在AAB。中；

③利用三角形的三边关系可得4<AQ<14,则AO的取值范围是.

感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线''等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的己知条件

和所求证的结论集中到同一个三角形中

（2）请写出图I中AC与B。的位置关系并证明；

（3）思考：已知，如图2,AO是△ABC的中线，AB=AE,AC^AF,NBAE=NE4C=90。，试探究线段A。

与EF的数量和位置关系，并加以证明.

62.（2018秋•海淀区校级期中）如图，E为8C上一点，AC//BD,AC=BE,BC=DB.求证：AB=ED.

63.（2018秋•海淀区校级期中）阅读理解

在平面直角坐标系xOy中，对于图形M和点P,给出如下定义：若在图形M上存在一点Q,使得P，。两点间

的距离小于或等于1,则称P为图形M的关联点.

根据阅读材料，解决下列问题.

己知点A(2,0),以为边作等边△0A8,点B在第一象限.

(1)在点C(0,-1),。(2,2),E(3.5,0)中，△O4B的关联点是：

(2)直线1于4,点尸在直线1上.若尸为aOAB的关联点.

①设点尸的纵坐标为〃，则〃的取值范围是;

②设△E4B的面积为S,则S的最大值为.

64.(2018秋•西城区校级期中)如图1,直线/是直角AABC的斜边BC的垂直平分线，点4与A关于直线/对

称，连接AB、A'C,由轴对称的性质不难得到W8与AC的交点M在直线/上，点尸是直线WB上一点，过点P

作PD〃AC交BC于点、D,过点。作£>Q_LAC于点Q,

(1)若/ABC=65。，则NAC4=；

(2)如图2,当点P与点M重合时，求证：DP+DQ=AB；

(3)①如图3,当点P在线段AB上(不含端点)时，线段。P、DQ、48的数量关系是;

②当点户在线段4B的延长线上时，线段。尸、DQ、AB的数量关系是.

图3备用图

65.(2018秋•海淀区校级期中)已知：线段a,b(如图1),等腰三角形底边长为a,底边上的高的长为A求

作这个等腰三角形.

下面是小明设计的尺规作图过程.

作法：如图2

①在射线0A上截取线段OB=a；

②分别以点。，点8为圈心，大于工08长为半径画弧，两弧交于C,D两点;

2

③连接CC,交0B于点E；

④在直线”上截取线段EF=b；

⑤接。尸，8F.

△08斤即为所求.

根据小明设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明.

证明：V0C=,0D=,

是线段08的垂直平分线.（）（填推理的依据）

66.（2018秋•海淀区校级期中）阅读下面材料:

在数学课上，老师提出如下问题:

a

b

尺规作图：

己知：线段a,b.

求作：等腰△ABC,使AB=AC,BC=a,8c边上的高为江

小涛的作图步骤如下：

如图

（1）作线段8c=/

（2）作线段8C的垂直平分线MN交线段8C

于点。；

（3）在MN上截取线段D4=b,连接AB,AC.

所以△ABC即为所求作的等腰三角形.

老师说：“小涛的作图步骤正确

请回答：得到AABC是等腰三角形的依据是：

①；

②.

67.（2018秋•西城区校级期中）“学农”期间，我们住在北京农学院，a,b分别代表两条道路，点M、N分别代表

宿舍楼和教学楼.为了便于杨枫老师快速便捷地协调指挥，现要建立联络站。点，使。点到两条道路的距离相

等，且到宿舍楼和教学楼的距离也相等.请用直尺和圆规画出所有满足条件的。点位置，不写作法，保留作图

痕迹.并指出杨枫老师应选择的联络站位置.

68.（2018秋•海淀区校级期中）如图，ZAOB=150°,OP平分NAOB,尸。_LOB于点。，PC〃O8交04于点

C,若PO=3,求OC的长.

69.(2018秋•海淀区校级期中)线段AB和CQ交于点E,连接AO,BC,满足AQ〃BC,ZA=ZAED,

(1)如图1,若/。=50。，请直接写出NB的度数.

(2)如图2,作△AOE的高。H,延长OH交8c的延长线于点F,连接AF,求证：EF=AFx

(3)如图3,在(2)的条件下，连接AC,若4B=A尸，请找出图中所有与AC相等的线段.并证明你的结

论.

70.(2018秋•海淀区校级期中)如图，ZVIBC中，AB=AC,A。是BC边上的中线，延长区4到E,过E作E/U

BC于尸交AC于点G.

(1)依题意补全图形；

(2)求证：AE=AG.

71.(2018秋•海淀区校级期中)如图，在△4BC中，AB=AC,点。为AB上一点，连接CZ),

(1)作图：延长CQ,在射线CQ上取点E使得AE=AC,连接AE,作/E4B的平分线AF

交CE于点尸(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；

（2）在（1）条件下，连接BF,求证：NBFC=NBAC.

72.（2018秋•西城区校级期中）如图所示，直线hM/3为围绕区域4的三条公路，为便于公路维护，需在区域

A内筹建一个公路养护处P,要求P到三条公路的距离相等，请利用直尺和圆规确定符合条件的点P的位置

（保留作图痕迹，不写作法）.

73.（2018秋•西城区校级期中）已知：如图，在△ABC中，A8=AC,A8的垂直平分线MN交AC于点£>,交A8

于点E.

（1）求证：△ABO是等腰三角形；

（2）若NA=36。，求NOBC的度数；

（3）若4E=8,△CBO的周长为24,求△ABC的周长.

74.（2018秋•延庆区期中）如图，AB=AC,点。，E分别在AB,AC上，CD,BE交于点F,且NB=NC.

求证：

D,

75.（2018秋•延庆区期中）己知△ABC

请你按下列步骤画图（用圆规、三角板、量角器等工具作图，不写画法）

①在BC的延长线上取一点D.

②连接AD

③过C作射线CM//BA交AO于N.

④分析N4VM与N4CN的数量关系（填或“=”）

NANM/ACN,依据是.

76.（2018秋•延庆区期中）在△ABC中，NA=60。，BD,CE是AABC的两条角平分线，且8。，CE交于点

F.如图，用等式表示BE,BC,CO这三条线段之间的数量关系，并证明你的结论；

小东通过观察、实验，提出猜想：BE+CD=BC.他发现先在8c上截取使BM=BE,连接尸M,再利用

三角形全等的判定和性质证明CM=C。即可.

（1）下面是小东证明该猜想的部分思路，请补充完整：

①在BC上截取使8M=8E,连接FM,则可以证明△8EF与_____全等，判定它们全等的依据

是;

②由NA=60。，BD,CE是AABC的两条角平分线，可以得出°；

（2）请直接利用①、②已得到的结论，完成证明猜想的过程.

77.（2018秋•西城区校级期中）如图，在四边形ABC。中，4c平分NBA。，CEJ_AB于E,且AE=

/（AD+AB）•请你猜想N1和/2有什么数量关系？并证明你的猜想-

解：猜想：.

证明：

78.（2018秋•西城区校级期中）如图，ZVIBC中，AO是/BAC的平分线，E、尸分别为A&AC上的点，连接

DE、DF,ZEDF+ZBAC=ISO°.求证：DE=DF.

79.（2018秋•西城区校级期中）已知：如图，Rt/XABC中，ZBAC=90°.

（1）按要求作出图形：

①延长BC到点。，使CZ）=2C；

②延长CA到点E,使AE=2C4；

③连接4。，BE.

（2）猜想（1）中线段AO与BE的大小关系，并证明你的结论.

解：（1）完成作图

（2）AO与BE的大小关系是

80.（2017秋•西城区校级期中）如图，已知RtZVIBC中，NACB=90。，C4=CB,。是AC上一点，E在BC的

延长线上，且AE=B£>,BQ的延长线与AE交于点F.

（1）若C£>=3,则求CE的长;

（2）求证：BFLAE.

81.（2017秋•西城区校级期中）作图：已知/AOB,试在/AOB内确定一点尸，使尸到。403的距离相等，并

且到M、N两点的距离也相等.

82.（2017秋•海淀区校级期中）如图，有一RtZXABC,ZC=90°,AC=10cm,BC=5cm,一条线段PQ=A8,P

点在AC上，。点在过A点且垂直于AC的射线AM上运动.当△ABC和△APQ全等时，点Q到点A的距离

为.

83.（2017秋•西城区校级期中）已知：Za,m,nCm<n）,求作：△ABC,使得/ABC=/a,AB=m,BC=

n.

a

n

84.（2017秋•西城区校级期中）如图，在△ABC中，AC_LBC于。，CE平分NACB分别交AB、AO于E、尸两

点，KBD=FD,AB=CF.求证：

（1）CELAB-,

（2）AE=BE.

85.（2017秋•海淀区期中）如图，已知等腰三角形ABC中，NBAC=30。，AB=AC,NPA8=a,作点B关于直

线AP的对称点为点。，连接AD,连接BZ）交AP于点G,连接CD交AP于点E,交A3于点F.

（1）如图（1）当a=15。时，①按要求画出图形，②求出NACD的度数，③探究OE与B尸的倍数关系并加以

证明；

（2）在直线AP绕点A顺时针旋转的过程中（0。<“<75。），当AAEF为等腰三角形时，利用下页备用图直接

求出a的值为.

86.（2017秋•西城区校级期中）尺规画图（不用写作法，要保留作图痕迹）

如图1,在一次军事演习中，红方侦察员发现蓝方指挥部在A区内，到铁路与到公路的距离相等，且离铁路与

公路交叉处8点400米，如果你是红方的指挥员，请你在图2所示的作战图上标出蓝方指挥部的位置点P.

87.（2017秋•海淀区期中）如图，已知△ABC和△?!£>£：均为等边三角形，连接CZXBE,作AELCO于点F,

AGLBE于点G,求证：ZVIFG为等边三角形.

88.（2017秋•东城区校级期中）已知：如图，AB=AC,DE//AC