九年级数学人教版（上册）24.2.2 第3课时 切线长定理

24.2直线和圆的位置关系第3课时切线长定理1.掌握切线长的定义及切线长定理.（重点）2.初步学会运用切线长定理进行计算与证明.（难点）学习目标目录页讲授新课当堂练习课堂小结新课导入新课导入教学目标教学重点情境引入同学们玩过空竹和悠悠球吗？在空竹和悠悠球的旋转的那一瞬间，你能从中抽象出什么样数学图形？新课导入前面我们已经学习了切线的判定和性质，已知⊙O和⊙O外一点P，你能够过点P画出⊙O的切线吗？1.猜想：图中的线段PA与PB有什么关系？2.图中还有哪些量？猜想它们之间有什么关系？新课导入讲授新课典例精讲归纳总结1知识点切线长定理下面研究经过圆外一点所作的两条切线之间的关系.如图，过圆外一点P有两条直线PA,PB分别与⊙O相切.经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长.讲授新课如图，连接OA和OB.∵PA和PB是⊙O的两条切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP.又OA=OB,OP=OP.∴Rt△AOP≌Rt△BOP.∴PA=PB,∠APO=∠BPO.讲授新课BPOA切线长定理:

过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等.圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.PA、PB分别切☉O于A、BPA=PB∠OPA=∠OPB几何语言:切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.注意知识要点讲授新课O.P已知，如图PA、PB是☉O的两条切线，A、B为切点.求证：PA=PB，∠APO=∠BPO.证明：∵PA切☉O于点A，∴OA⊥PA.同理可得OB⊥PB.∵OA=OB，OP=OP，∴Rt△OAP≌Rt△OBP，∴PA=PB，∠APO=∠BPO.推理验证AB讲授新课想一想：若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.OP垂直平分AB.证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点∴PA=PB

，∠OPA=∠OPB∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线∴OP垂直平分AB.O.PABM讲授新课想一想：若延长PO交⊙O于点C，连结CA、CB，你又能得出什么新的结论?并给出证明.∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点，∴PA=PB

，∠OPA=∠OPB.∴PC=PC.∴△PCA≌△PCB，

∴AC=BC.CA=CBO.PABC讲授新课证明：延长PO交⊙O于点C，连接AC、BC，典例精析讲授新课

如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C是

AB上一点，过点C作⊙O的切线分别交PA，PB于点

D，E.已知∠APB＝60°，⊙O的半径为，则△PDE的周长为______，∠DOE的度数为______．⌒660°例题1

为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得PA=5cm，求铁环的半径．解析：欲求半径OP，取圆的圆心为O，连OA，OP，由切线性质知△OPA为直角三角形，从而在Rt△OPA中由勾股定理易求得半径．O讲授新课例题2在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°，OQ解：过O作OQ⊥AB于Q，设铁环的圆心为O，连接OP、OA.∵AP、AQ为⊙O的切线，∴AO为∠PAQ的平分线，即∠PAO＝∠QAO.又∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°.即铁环的半径为讲授新课BPOAPA、PB是☉O的两条切线，A,B是切点，OA=3.（1）若AP=4,则OP=

;（2）若∠BPA=60°,则OP=

.56练一练讲授新课2知识点三角形的内切圆图是一块三角形的铁片，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使截下来的圆与三角形的三条边都相切？讲授新课归

纳如图，分别作∠B，∠C的平分线BM和CN，设它们相交于点I，那么点I到AB，BC，CA的距离都相等.以点I为圆心，点I到BC的距离ID为半径作圆，则⊙I与△ABC的三条边都相切，圆I就是所求作的圆.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.讲授新课

如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA,AB分别相切于点D,

E,F,且AB=9，BC=14，CA=13.求AF,BD,CE的长.解：设AF=x，则AE=x.CD=CE=AC-AE=13-x,BD=BF=AB-AF=9-x.由BD+CD=BC,可得（13-x）+（9-x）=14.解得x=4.因此AF=4，BD=5，CE=9.例题3讲授新课1.与三角形三边都相切的圆叫作三角形的内切圆.2.三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.3.这个三角形叫做这个圆的外切三角形.BACI

☉I是△ABC的内切圆，点I是△ABC的内心，△ABC是☉I的外切三角形.知识要点讲授新课BACI问题1如图，☉I是△ABC的内切圆，那么线段OA，OB,OC有什么特点？互动探究线段OA，OB,OC分别是∠A，∠B，∠C的平分线.3知识点三角形的内心的性质讲授新课BACI问题2如图，分别过点作AB、AC、BC的垂线，垂足分别为E、F，G，那么线段IE、IF、IG之间有什么关系？EFGIE=IF=IG讲授新课知识要点三角形内心的性质三角形的内心在三角形的角平分线上.三角形的内心到三角形的三边距离相等.BACIEFG

IA，IB，IC是△ABC的角平分线，IE=IF=IG.讲授新课

如图，△ABC中，∠B=43°，∠C=61°，点I是△ABC的内心，求∠

BIC的度数.解：连接IB，IC.ABCI∵点I是△ABC的内心，∴IB，IC分别是∠B，∠C的平分线，在△IBC中，讲授新课例题4

如图，一个木模的上部是圆柱，下部是底面为等边三角形的直三棱柱.圆柱的下底面圆是直三棱柱上底面等边三角形的内切圆，已知直三棱柱的底面等边三角形的边长为3cm，求圆柱底面圆的半径.该木模可以抽象为几何如下几何图形.例题5讲授新课CABrOD解：如图，设圆O切AB于点D，连接OA、OB、OD.∵圆O是△ABC的内切圆,∴AO、BO是∠BAC、∠ABC的角平分线∵△ABC是等边三角形,∴∠OAB=∠OBA=30o∵OD⊥AB，AB=3cm，∴AD=BD=AB=1.5(cm)∴OD=AD·tan30o=(cm)答:圆柱底面圆的半径为cm.讲授新课

△ABC的内切圆☉O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求AF、BD、CE的长.想一想：图中你能找出哪些相等的线段？理由是什么？BACEDFO讲授新课例题6解:设AF=xcm，则AE=xcm.∴CE=CD=AC-AE=9-x(cm)，

BF=BD=AB-AF=13-x(cm).由

BD+CD=BC，可得

(13-x)+(9-x)=14，∴AF=4(cm)，BD=9(cm)，CE=5(cm).方法小结：关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.解得

x=4.ACEDFO讲授新课比一比名称确定方法图形性质外心：三角形外接圆的圆心内心：三角形内切圆的圆心三角形三边中垂线的交点1.OA=OB=OC2.外心不一定在三角形的内部．三角形三条角平分线的交点1.到三边的距离相等；2.OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB3.内心在三角形内部．ABOABCO讲授新课CABOD1.求边长为6cm的等边三角形的内切圆半径与外接圆半径.解：如图，由题意可知BC=6cm,∠ABC=60°，OD⊥BC，OB平分∠ABC.∴∠OBD=30°，BD=3cm,△OBD为直角三角形.内切圆半径外接圆半径练一练讲授新课变式：求边长为a的等边三角形的内切圆半径r与外接圆半径R的比.sin∠OBD=sin30°=CABRrOD讲授新课ABCODEFABCDEFO2.设△ABC的面积为S，周长为L，△ABC内切圆的半径为r，则S，L与r之间存在怎样的数量关系？讲授新课ABCOcDEr3.如图，直角三角形的两直角边分别是a、b,斜边为c，则其内切圆的半径r为___________（以含a、b、c的代数式表示r）.解析：过点O分别作AC，BC，AB的垂线，垂足分别为D，E，F.F则AD=AC-DC=b-r,BF=BC-CE=a-r,因为AF=AD，BF=BE，AF+BF=c,所以a-r+b-r=c,所以讲授新课当堂练习当堂反馈即学即用A2.如图，已知点O是△ABC

的内心，且∠ABC=60°,∠ACB=80°,则∠BOC=

.1.如图，PA、PB是☉O的两条切线，切点分别是A、B，如果AP=4,∠APB=40°,则∠APO=

,PB=

.BPOA第1题BCO第2题20°4110°当堂练习（3）若∠BIC=100°，则∠A=

度.（2）若∠A=80°，则∠BIC=

度.130203.如图，在△ABC中，点I是内心，（1）若∠ABC=50°，∠ACB=70°，∠BIC=_____.ABCI（4）试探索：∠A与∠BIC之间存在怎样的数量关系？120°当堂练习4.如图所示，已知在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与AC相切于点D.求证：DE∥OC.证明：连接OD，∵AC切⊙O点D，∴OD⊥AC，∴∠ODC=∠B=90°.