2022-2023学年北京市朝阳区陈经纶中学八年级（上）期中数学试卷【含解析】

第1页（共1页）2022-2023学年北京市朝阳区陈经纶中学八年级（上）期中数学试卷一、选择题（共30分，每题3分）第1-10题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个．请将选择题答案填写在答题卡的表格中．1．（3分）下列图形中不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）点M（1，2）关于x轴对称点的坐标为（）A．（﹣1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（2，﹣1） D．（1，﹣2）3．（3分）用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（）A． B． C． D．4．（3分）如图，为了估计池塘岸边A，B两点间的距离，小玥同学在池塘一侧选取一点O，测得OA＝12米，OB＝7米，则A，B间的距离不可能是（）A．5米 B．7.5米 C．10米 D．18.9米5．（3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（）A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形6．（3分）如图，△ABC≌△DEF，DF和AC，FE和CB是对应边．若∠A＝100°，∠F＝47°，则∠DEF等于（）A．100° B．53° C．47° D．33°7．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E为AB的中点，若AB＝12，CD＝3，则△DBE的面积为（）A．10 B．12 C．9 D．68．（3分）如图，正方形纸片ABCD：①先对折使AB与CD重合，得到折痕EF；②折叠纸片，使得点A落在EF的点H上，沿BH和CH剪下△BCH．则判定△BCH为等边三角形的依据是（）A．三个角都相等的三角形是等边三角形 B．有两个角是60°的三角形是等边三角形 C．三边都相等的三角形是等边三角形 D．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形9．（3分）如图，网格中的每个小正方形边长均为1，△ABC的顶点均落在格点上，若点A的坐标为（﹣2，﹣1），则到△ABC三个顶点距离相等的点的坐标为（）A．（0，1） B．（1，0） C．（0，0） D．（1，﹣1）10．（3分）老师布置的作业中有这么一道题：如图，在△ABC中，D为BC的中点，若AC＝3，AD＝4．则AB的长不可能是（）A.5B.7C.8D.9甲同学认为AB，AC，AD这条三边不在同一个三角形中，无法解答，老师给的题目有错误．乙同学认为可以从中点D出发，构造辅助线，利用全等的知识解决．丙同学认为可以从点C作平行线，构造辅助线，利用全等的知识解决．你认为正确的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．乙和丙二、填空题（共24分，每题3分）11．（3分）盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，使窗框不变形，这样做的数学原理是°12．（3分）等腰三角形的两边长为4和6，则此等腰三角形的周长为．13．（3分）如图，点A、E、B、F在同一条直线上，AC∥DF，AC＝DF，要使△ABC≌△FED，则可以补充一个条件：．14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，BD为∠ABC的平分线，则∠BDC＝．15．（3分）如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠B＝30°，且AD＝1，那么BD＝．16．（3分）如图，△ABC中，DE、FG分别是AB、AC的垂直平分线，BC＝4cm，∠BAC＝100°．则△ADF的周长是cm，∠DAF＝°．17．（3分）如图，∠A＝∠B，AB＝60，E，F分别为线段AB和射线BD上的一点，若点E从点B出发向点A运动，同时点F从点B出发沿射线BD运动，二者速度之比为3：7，当点E运动到点A时，两点同时停止运动．在射线AC上取一点G，使△AEG与△BEF全等，则AG的长为．18．（3分）如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥DC于D，点O是线段AD上一点，点P是BA延长线上一点，若OP＝OC，则下列结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△POC是等边三角形；④AB＝OA+AP．其中正确的是．三、解答题（共46分，第19题4分，第20-25题，每题5分，第26，27题，每题6分）19．（4分）如图，已知∠BAD＝∠CAE，AB＝AD，AC＝AE．求证：∠B＝∠D．20．（5分）如图，AD平分∠CAE，∠B＝30°，∠CAE＝144°，求∠ADB与∠ACD的度数．21．（5分）已知：如图，点B是∠MAN边AM上的一定点（其中∠MAN＜45°），求作：△ABC，使其满足：①点C在射线AN上，②∠ACB＝2∠A．下面是小兵设计的尺规作图过程．作法：①作线段AB的垂直平分线l，直线l交射线AN于点D；②以点B为圆心，BD长为半径作弧，交射线AN于另一点C；③连接BC，则△ABC即为所求三角形．根据小兵设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵直线l为线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD（），（填推理的依据）∴∠A＝∠，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A；∵BC＝BD，∴∠ACB＝∠BDC（），（填推理的依据）∴∠ACB＝2∠A．22．（5分）如图，在△ABC中，D是边AB上一点，E是边AC的中点，作CF∥AB交DE的延长线于点F．若∠B＝∠ACB，CE＝5，CF＝7，求DB的长．23．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l是第一、三象限的角平分线．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（3，0），B（5，3），C（6，1）．（1）若△ABC与△A'B'C'关于y轴对称，画出△A'B'C'；（2）若直线l上存在点P，使AP+BP最小，则点P的坐标为，AP+BP的最小值为．24．（5分）在学习完全等三角形及轴对称的知识后，小明经过思考得出猜想：“如果一个三角形一边上的中点到另两条边的距离相等，那么这个三角形是等腰三角形”．老师说小明的猜想是正确的．请你帮助小明完成以上猜想的证明．已知：求证：证明：25．（5分）如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC，垂足为D，判断AB、CD和BD这三条线段的数量关系（用等式表示），并证明．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，3），点B在x轴上，过点B作BC⊥AB，且BC＝AB．这样得到的点C称为点A关于点B的“伴随点”．（1）如图1，当点B的坐标为（1，0）时，请在图中画出点A关于点B的“伴随点”，并写出“伴随点”的坐标：；（2）在下列各点中：①（2，﹣1），②（﹣3，﹣1），③（5，2），能成为点A关于点B的“伴随点”的是（填序号）；（3）若点B坐标为（a，0），直接写出点A关于点B的“伴随点”的坐标（用a表示）．27．（6分）在△ABC中，∠ABC为锐角，AB＝5，BC＝3，作外角∠PBA的平分线MB，在MB上找一点D，使得DC＝DA，过点D作DE⊥BP交于点E．（1）在图1中，依题意补全图形；（2）直接写出BE的值；（3）如图2，当∠ABC为钝角时，猜想AB，BC，BE之间的数量关系，并说明理由．

2022-2023学年北京市朝阳区陈经纶中学八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共30分，每题3分）第1-10题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个．请将选择题答案填写在答题卡的表格中．1．（3分）下列图形中不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形的定义进行判断即可．【解答】解：根据轴对称图形的定义：轴对称图形沿一条直线对折两边能够完全重合可知，选项A、B、D中的图形都是轴对称图形，只有选项C中的图形不是轴对称图形，符合题意．故选：C．【点评】本题考查了轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．2．（3分）点M（1，2）关于x轴对称点的坐标为（）A．（﹣1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（2，﹣1） D．（1，﹣2）【分析】两点关于x轴对称，那么让横坐标不变，纵坐标互为相反数即可．【解答】解：∵2的相反数是﹣2，∴点M（1，2）关于x轴对称点的坐标为（1，﹣2）．故选：D．【点评】本题考查两点关于x轴对称的坐标的特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．3．（3分）用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（）A． B． C． D．【分析】根据高线的定义即可得出结论．【解答】解：B，C，D都不是△ABC的边BC上的高，故选：A．【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．4．（3分）如图，为了估计池塘岸边A，B两点间的距离，小玥同学在池塘一侧选取一点O，测得OA＝12米，OB＝7米，则A，B间的距离不可能是（）A．5米 B．7.5米 C．10米 D．18.9米【分析】根据三角形的三边关系定理三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得12﹣7＜AB＜12+7，计算出AB的取值范围可得答案．【解答】解：连接AB，根据三角形的三边关系可得12﹣7＜AB＜12+7，即5＜AB＜19，故选：A．【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．5．（3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（）A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形【分析】此题可以利用多边形的外角和和内角和定理求解．【解答】解：设所求多边形边数为n，由题意得（n﹣2）•180°＝360°×2解得n＝6．则这个多边形是六边形．故选：C．【点评】本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征：任何多边形的外角和都等于360°，n边形的内角和为（n﹣2）•180°．6．（3分）如图，△ABC≌△DEF，DF和AC，FE和CB是对应边．若∠A＝100°，∠F＝47°，则∠DEF等于（）A．100° B．53° C．47° D．33°【分析】根据全等三角形的对应角相等、三角形的内角和是180度来解答．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，DF和AC，FE和CB是对应边，∴∠A＝∠FDE，又∵∠A＝100°，∴∠FDE＝100°；∵∠F＝47°，∠FDE+∠F+∠DEF＝180°，∴∠DEF＝180°﹣∠F﹣∠FDE＝180°﹣47°﹣100°＝33°；故选：D．【点评】本题主要考查的是全等三角形的对应角相等，以及三角形的内角和定理．根据相等关系，把已知条件转到同一个三角形中然后利用三角形的内角和来求解是解决这类问题常用的方法．7．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E为AB的中点，若AB＝12，CD＝3，则△DBE的面积为（）A．10 B．12 C．9 D．6【分析】过D作DF⊥AB于F，由角平分线的性质求出DF，根据三角形的面积公式即可求出△DBE的面积．【解答】解：过D作DF⊥AB于F，∵∠C＝90°，∴DC⊥BC，∵BD平分∠ABC，CD＝3，∴DF＝CD＝3，∵点E为AB的中点，AB＝12，∴BE＝6，∴△DBE的面积＝BE•DF＝×6×3＝9，故选：C．【点评】本题主要考查了角平分线的性质，三角形的面积公式，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解决问题的关键．8．（3分）如图，正方形纸片ABCD：①先对折使AB与CD重合，得到折痕EF；②折叠纸片，使得点A落在EF的点H上，沿BH和CH剪下△BCH．则判定△BCH为等边三角形的依据是（）A．三个角都相等的三角形是等边三角形 B．有两个角是60°的三角形是等边三角形 C．三边都相等的三角形是等边三角形 D．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形【分析】根据正方形的性质，翻折变换的性质可得BH＝BC，因为EF是BC的垂直平分线，利用垂直平分线的性质，可得BH＝CH，又根据折叠的性质可知BH＝AB，故BH＝CH＝BC，因此是正三角形．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，由翻折变换可得，AB＝HB，∴BH＝BC，∵EF是BC的垂直平分线，∴BH＝CH，∴BH＝CH＝BC，∴△BHC是正三角形，故选：C．【点评】本题考查翻折变换，直角三角形的边角关系以及等腰三角形的判定，掌握正三角形的判定方法是正确解答的关键．9．（3分）如图，网格中的每个小正方形边长均为1，△ABC的顶点均落在格点上，若点A的坐标为（﹣2，﹣1），则到△ABC三个顶点距离相等的点的坐标为（）A．（0，1） B．（1，0） C．（0，0） D．（1，﹣1）【分析】到△ABC三个顶点距离相等的点是AB与AC的垂直平分线的交点，进而得出其坐标．【解答】解：平面直角坐标系如图所示，AB与AC的垂直平分线的交点为点O，∴到△ABC三个顶点距离相等的点的坐标为（0，0），故选：C．【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．10．（3分）老师布置的作业中有这么一道题：如图，在△ABC中，D为BC的中点，若AC＝3，AD＝4．则AB的长不可能是（）A.5B.7C.8D.9甲同学认为AB，AC，AD这条三边不在同一个三角形中，无法解答，老师给的题目有错误．乙同学认为可以从中点D出发，构造辅助线，利用全等的知识解决．丙同学认为可以从点C作平行线，构造辅助线，利用全等的知识解决．你认为正确的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．乙和丙【分析】延长AD到E使得AD＝ED＝4，利用倍长中线模型证明△ABD≌△ECD（SAS）得到AB＝EC，再由三角形三边的关系即可判断乙同学的说法；过C作CE∥AB交AD的延长线于E，证明△ABD≌△ECD（AAS），得AB＝EC，AD＝ED＝4，再由三角形三边的关系即可判断丙同学的说法．【解答】解：如图，延长AD到E，使得ED＝AD＝4，则AE＝2AD＝8，延长AD到E使得AD＝ED＝4，∵D是BC的中点，∴BD＝CD，在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴AB＝EC，在△ACE中，AE﹣AC＜EC＜AE+AC，即8﹣3＜EC＜8+3，∴5＜EC＜11，∴5＜AB＜11，∴AB的长不可能是5；过C作CE∥AB交AD的延长线于E，则∠BAD＝∠E，∵D是BC的中点，∴BD＝CD，在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（AAS），∴AB＝EC，AD＝ED＝4，∴AE＝2AD＝8，在△ACE中，AE﹣AC＜EC＜AE+AC，即8﹣3＜EC＜8+3，∴5＜EC＜11，∴5＜AB＜11，∴AB的长不可能是5；综上所述，甲说法错误，乙和丙说法正确．故选：D．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质以及三角形三边的关系等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．二、填空题（共24分，每题3分）11．（3分）盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，使窗框不变形，这样做的数学原理是三角形的稳定性°【分析】用木条固定矩形门框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释．【解答】解：加上木条后，原不稳定的四边形中具有了稳定的三角形，故这种做法根据的是三角形的稳定性．故答案为：三角形的稳定性．【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．12．（3分）等腰三角形的两边长为4和6，则此等腰三角形的周长为14或16．【分析】分腰长为4和腰长为6两种情况，再结合三角形三边关系进行验证，再求其周长即可．【解答】解：当腰为4时，则三角形的三边为4、4、6，满足三角形三边关系，此时三角形的周长为14；当腰为6时，则三角形的三边为6、6、4，满足三角形三边关系，此时三角形的周长为16；综上可知该等腰三角形的周长为14或16．故答案为：14或16．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键，注意分类讨论．13．（3分）如图，点A、E、B、F在同一条直线上，AC∥DF，AC＝DF，要使△ABC≌△FED，则可以补充一个条件：AB＝EF．【分析】根据平行线的性质，由AC∥DF，得∠A＝∠F，从而解决此题．【解答】解：补充条件：AB＝EF．∵AC∥DF，∴∠A＝∠F．在△ABC和△FED中，，∴△ABC≌△FED（SAS）．故答案为：AB＝EF．【点评】本题主要考查全等三角形的判定、平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定、平行线的性质是解决本题的关键．14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，BD为∠ABC的平分线，则∠BDC＝75°．【分析】由AB＝AC，根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠C，再根据三角形内角和定理得到∠ABC＝∠C＝（180°﹣40°）÷2＝70°，然后利用角平分线的定义求出∠DBC，最后根据三角形内角和定理可求出∠BDC．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵∠A＝40°，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣40°）÷2＝70°，而BD为∠ABC的平分线，∴∠DBC＝×70°＝35°，∴∠BDC＝180°﹣70°﹣35°＝75°．故答案为75°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两底角相等．也考查了三角形的内角和定理．15．（3分）如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠B＝30°，且AD＝1，那么BD＝3．【分析】利用含30°角的直角三角形的性质求解AB的长，再利用BD＝AB﹣AD计算可求解．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴AB＝2AC，∠A＝90°﹣30°＝60°，∵CD⊥AB，∴∠ACD＝90°﹣60°＝30°，∴AC＝2AD，∴AB＝4AD，∵AD＝1，∴AB＝4，∴BD＝AB﹣AD＝4﹣1＝3．故答案为：3．【点评】本题主要考查含30°角的直角三角形的性质，求解AB的长是解题的关键．16．（3分）如图，△ABC中，DE、FG分别是AB、AC的垂直平分线，BC＝4cm，∠BAC＝100°．则△ADF的周长是4cm，∠DAF＝20°．【分析】由在△ABC中，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得AD＝BD，AF＝CF，继而求得∠BAD＝∠B，∠CAF＝∠C，又由∠BAC＝110°，即可求得∠B+∠C，则可得∠BAD+∠CAF的度数，继而求得∠DAF；由AD＝BD，AF＝CF，即可得△ADF的周长＝BC．【解答】解：∵在△ABC中，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，∴AD＝BD，AF＝CF，∴∠BAD＝∠B，∠CAF＝∠C，∵∠BAC＝100°，∴∠B+∠C＝80°，∴∠BAD+∠CAF＝80°，∴∠DAF＝∠BAC﹣（∠BAD+∠CAF）＝20°，∴△ADF的周长＝AD+DF+AF＝BD+DF+CF＝BC＝4cm，故答案为：4，20．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解决问题的关键．17．（3分）如图，∠A＝∠B，AB＝60，E，F分别为线段AB和射线BD上的一点，若点E从点B出发向点A运动，同时点F从点B出发沿射线BD运动，二者速度之比为3：7，当点E运动到点A时，两点同时停止运动．在射线AC上取一点G，使△AEG与△BEF全等，则AG的长为18或70．【分析】设BE＝3t，则BF＝7t，使△AEG与△BEF全等，由∠A＝∠B可知，分两种情况：情况一：当BE＝AG，BF＝AE时，列方程解得t，可得AG；情况二：当BE＝AE，BF＝AG时，列方程解得t，可得AG．【解答】解：设BE＝3t，则BF＝7t，因为∠A＝∠B，使△AEG与△BEF全等，可分两种情况：情况一：当BE＝AG，BF＝AE时，∵BF＝AE，AB＝60，∴7t＝60﹣3t，解得：t＝6，∴AG＝BE＝3t＝3×6＝18；情况二：当BE＝AE，BF＝AG时，∵BE＝AE，AB＝60，∴3t＝60﹣3t，解得：t＝10，∴AG＝BF＝7t＝7×10＝70，综上所述，AG＝18或AG＝70．故答案为：18或70．【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，利用分类讨论思想是解答此题的关键．18．（3分）如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥DC于D，点O是线段AD上一点，点P是BA延长线上一点，若OP＝OC，则下列结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△POC是等边三角形；④AB＝OA+AP．其中正确的是①③④．【分析】①利用等边对等角得：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，则∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD，据此即可求解；②因为点O是线段AD上一点，所以BO不一定是∠ABD的角平分线，可作判断；③证明∠POC＝60°且OP＝OC，即可证得△OPC是等边三角形；④证明△OPA≌△CPE，则AO＝CE，得AC＝AE+CE＝AO+AP．【解答】解：①如图1，连接OB，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∠BAD＝∠BAC＝×120°＝60°，∴OB＝OC，∠ABC＝90°﹣∠BAD＝30°∵OP＝OC，∴OB＝OC＝OP，∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，∴∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD＝30°，故①正确；②由①知：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，∵点O是线段AD上一点，∴∠ABO与∠DBO不一定相等，则∠APO与∠DCO不一定相等，故②不正确；③∵∠APC+∠DCP+∠PBC＝180°，∴∠APC+∠DCP＝150°，∵∠APO+∠DCO＝30°，∴∠OPC+∠OCP＝120°，∴∠POC＝180°﹣（∠OPC+∠OCP）＝60°，∵OP＝OC，∴△OPC是等边三角形，故③正确；④如图2，在AC上截取AE＝PA，∵∠PAE＝180°﹣∠BAC＝60°，∴△APE是等边三角形，∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA，∴∠APO+∠OPE＝60°，∵∠OPE+∠CPE＝∠CPO＝60°，∴∠APO＝∠CPE，∵OP＝CP，在△OPA和△CPE中，，∴△OPA≌△CPE（SAS），∴AO＝CE，∴AC＝AE+CE＝AO+AP，∴AB＝AO+AP，故④正确；故答案为：①③④．【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解决问题的关键．三、解答题（共46分，第19题4分，第20-25题，每题5分，第26，27题，每题6分）19．（4分）如图，已知∠BAD＝∠CAE，AB＝AD，AC＝AE．求证：∠B＝∠D．【分析】利用SAS判定△ABC≌△ADE，再根据全等三角形的对应边相等，对应角相等，即可证得∠B＝∠D．【解答】证明：∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAC＝∠DAE．∵AB＝AD，AC＝AE，∴△ABC≌△ADE（SAS）．∴∠B＝∠D．【点评】本题考查三角形全等的判定与性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．20．（5分）如图，AD平分∠CAE，∠B＝30°，∠CAE＝144°，求∠ADB与∠ACD的度数．【分析】根据角平分线的定义，由AD平分∠CAE，得∠EAD＝＝72°．根据三角形外角的性质，得∠EAD＝∠B+∠ADB，故∠ADB＝∠EAD﹣∠B＝42°．根据平角的定义，得∠CAE＝144°，那么∠BAC＝180°﹣∠CAE＝36°．根据三角形外角的性质，得∠ACD＝∠B+∠BAC＝30°+36°＝66°．【解答】解：∵AD平分∠CAE，∴∠EAD＝＝＝72°．∵∠EAD＝∠B+∠ADB，∴∠ADB＝∠EAD﹣∠B＝72°﹣30°＝42°．∵∠CAE＝144°，∴∠BAC＝180°﹣∠CAE＝36°．∴∠ACD＝∠B+∠BAC＝30°+36°＝66°．【点评】本题主要考查角平分线的定义、三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的定义、三角形外角的性质是解决本题的关键．21．（5分）已知：如图，点B是∠MAN边AM上的一定点（其中∠MAN＜45°），求作：△ABC，使其满足：①点C在射线AN上，②∠ACB＝2∠A．下面是小兵设计的尺规作图过程．作法：①作线段AB的垂直平分线l，直线l交射线AN于点D；②以点B为圆心，BD长为半径作弧，交射线AN于另一点C；③连接BC，则△ABC即为所求三角形．根据小兵设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵直线l为线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等），（填推理的依据）∴∠A＝∠ABD，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A；∵BC＝BD，∴∠ACB＝∠BDC（等边对等角），（填推理的依据）∴∠ACB＝2∠A．【分析】（1）根据要求作出图形即可．（2）利用线段的垂直平分线的性质，以及等腰三角形的性质解决问题即可．【解答】解：（1）如图，△ABC即为所求．（2）∵直线l为线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等），∴∠A＝∠ABD，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A，∵BC＝BD，∴∠ACB＝∠BDC（等边对等角），∴∠ACB＝2∠A．故答案为：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等，∠ABD，等边对等角．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．22．（5分）如图，在△ABC中，D是边AB上一点，E是边AC的中点，作CF∥AB交DE的延长线于点F．若∠B＝∠ACB，CE＝5，CF＝7，求DB的长．【分析】由ASA证△ADE≌△CFE，得CF＝AD＝7，再证AB＝AC＝10，即可得出结论．【解答】解：∵E是边AC的中点，∴AE＝CE＝5，∴AC＝2CE＝10，∵CF∥AB，∴∠A＝∠FCE，在△ADE与△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（ASA），∴CF＝AD＝7，又∵∠B＝∠ACB，∴AB＝AC＝10，∴DB＝AB﹣AD＝10﹣7＝3．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．23．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l是第一、三象限的角平分线．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（3，0），B（5，3），C（6，1）．（1）若△ABC与△A'B'C'关于y轴对称，画出△A'B'C'；（2）若直线l上存在点P，使AP+BP最小，则点P的坐标为（3，3），AP+BP的最小值为5．【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可；（2）作点B关于直线l的对称点B″，连接AB″交直线l于点P，连接PB，此时PA+PB的值最小，最小值为线段AB″的长．【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求；（2）如图，点P即为所求．P（3，3），最小值为5，故答案为：（3，3），5．【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．24．（5分）在学习完全等三角形及轴对称的知识后，小明经过思考得出猜想：“如果一个三角形一边上的中点到另两条边的距离相等，那么这个三角形是等腰三角形”．老师说小明的猜想是正确的．请你帮助小明完成以上猜想的证明．已知：求证：证明：【分析】根据题意写出已知，求证，然后根据题意，作出合适的辅助线，再根据HL可以证明Rt△DEB≌Rt△DFC，从而可以得到∠B＝∠C，再根据等角对等边得到AB＝AC，从而可以判段△ABC的形状．【解答】已知：在△ABC中，点D为BC的中点，点D到边AB和AC的距离相等，求证：△ABC是等腰三角形．证明：作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，则∠DEB＝∠DFC，由题意可得，BD＝CD，DE＝DE，在Rt△DEB和Rt△DFC中，，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，写出已知、求证和证明过程．25．（5分）如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC，垂足为D，判断AB、CD和BD这三条线段的数量关系（用等式表示），并证明．【分析】在CDC截取DH＝DB，连接AH，根据线段垂直平分线的性质得到AB＝AH，即可证得∠AHB＝∠B，根据三角形的外角的性质证得∠HAC＝∠C，即可证得AH＝CH，从而证得AB+BD＝CH+DH＝CD．【解答】解：AB+BD＝CD，证明：在CD上截取DH＝DB，连接AH，∵AD⊥BC，∴AB＝AH，∴∠AHB＝∠B，∵∠B＝2∠C，∴∠AHB＝∠C，∵∠AHB＝∠C+∠HAC，∴∠HAC＝2∠C，∴AH＝CH，∴AB＝CH，∴AB+BD＝CH+DH＝CD．【点评】本题考查的是等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性