2021-2022学年北京市东城区文汇中学九年级（上）期中数学试卷【含解析】

第1页（共1页）2021-2022学年北京市东城区文汇中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，每题2分，共16分）1．（2分）下列交通标志中，是中心对称图形的是（）A．禁止驶入 B．靠左侧道路行驶 C．向左和向右转弯 D．环岛行驶2．（2分）抛物线y＝（x﹣2）2﹣4的顶点坐标为（）A．（4，2） B．（2，4） C．（﹣2，4） D．（2，﹣4）3．（2分）已知点A（﹣1，m）与点B（3，n）都在反比例函数（k＞0）的图象上，那么m与n的关系是（）A．m＜n B．m＞n C．m＝n D．不能确定4．（2分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转35°得到△DEC，边ED、AC相交于点F，若∠A＝30°，则∠EFC的度数为（）A．65° B．15° C．75° D．115°5．（2分）如图，点D、E分别在△ABC的AB、AC边上，下列条件中：①∠ADE＝∠C；②＝；③＝．使△ADE与△ACB一定相似的是（）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③6．（2分）抛物线y＝﹣3x2经过平移得到抛物线y＝﹣3（x+1）2﹣2，平移的方法是（）A．向左平移1个，再向下平移2个单位 B．向右平移1个，再向下平移2个单位 C．向左平移1个，再向上平移2个单位 D．向右平移1个，再向上平移2个单位7．（2分）运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线可以看作是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度y（单位：m）与足球被踢出后经过的时间x（单位：s）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了3个时刻的数据，根据函数模型和所给数据，可推断出足球飞行到最高点时的时刻x是（）A．4 B．4.5 C．5 D．68．（2分）设m是非零实数，给出下列四个命题：①若﹣1＜m＜0，则＜m＜m2；②若m＞1，则＜m2＜m；③若m＜＜m2，则m＜0；④若m2＜m＜，则0＜m＜1．其中命题成立的序号是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．③④二、填空题（每题2分，共16分）9．（2分）点A的坐标为（2，﹣3），它关于坐标原点O对称的点的坐标为．10．（2分）将y＝x2﹣4x+7化为y＝a（x﹣h）2+k的形式：．11．（2分）反比例函数（k≠0）的图象经过点A（1，2），B（2，y1），C（3，y2），则y1y2．（填“＜，＝，＞”）12．（2分）中国“一带一路”倡议给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2017年年人均收入300美元，预计2019年年人均收入将达到y美元．设2017年到2019年该地区居民年人均收入平均增长率为x，那么y与x的函数关系式是．13．（2分）如图，P是反比例函数图象上一点，且矩形PAOB的面积为4，则反比例函数的解析式是．14．（2分）如图，直角三角形纸片ABC，AC边长为10cm，现从下往上依次裁剪宽为4cm的矩形纸条，若剪得第二张矩形纸条恰好是正方形，那么BC的长度是cm．15．（2分）平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（2，4），B（3，0），在第一象限内以原点O为位似中心，把△OAB缩小为原来的，则点A的对应点A'的坐标为．16．（2分）小云计划户外徒步锻炼，每天有“低强度”“高强度”“休息”三种方案，下表对应了每天不同方案的徒步距离（单位：km）．若选择“高强度”要求前一天必须“休息”（第一天可选择“高强度”）．则小云5天户外徒步锻炼的最远距离为km．日期第1天第2天第3天第4天第5天低强度86654高强度121315128休息00000三、解答题（17-22题每题5分，23-26题每题6分，27、28题每题7分）17．（5分）如图，在正方形网格中，将格点△ABC绕某点顺时针旋转角α（0°＜α＜180°）得到格点△A1B1C1，点A与点A1，点B与点B1，点C与点C1是对应点．（1）请通过画图找到旋转中心，将其标记为点O；（2）直接写出旋转角α的度数．18．（5分）已知：如图，点C在∠MON的边OM上．求作：射线CD，使CD∥ON，且点D在∠MON的角平分线上．作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线OM，ON于点A，B；②分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，交于点Q；③画射线OQ；④以点C为圆心，CO长为半径画弧，交射线OQ于点D；⑤画射线CD．射线CD就是所求作的射线．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明：∵OD平分∠MON，∴∠MOD＝．∵OC＝CD，∴∠MOD＝．∴∠NOD＝∠CDO．∴CD∥ON（）（填推理的依据）．19．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线y＝过点A（1，1），与直线y＝4x交于B，C两点（点B的横坐标小于点C的横坐标）．（1）求k的值；（2）求点B，C的坐标；（3）若直线x＝t与双曲线y＝交于点D（t，y1），与直线y＝4x交于点E（t，y2），当y1＜y2时，写出t的取值范围．20．（5分）如图，E是平行四边形ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F，AE＝1，CD＝2．（1）求证：△EBC∽△CDF．（2）求S△AEF：S△CDF．21．（5分）二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x…﹣4﹣3﹣2﹣1012…y…50﹣3﹣4﹣305…（1）求这个二次函数的表达式；（2）求当﹣4≤x≤0时，y的取值范围．22．（5分）为迎接国庆节，某商店购进了一批成本为每件30元的纪念商品．经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求该商品每天的销售量y与销售单价x的函数关系式；（2）若商店按不低于成本价，且不高于60元的单价销售，求获得利润w（元）与销售单价x（元）的函数关系式；（3）求当获得利润w最大时，销售单价x为多少？23．（6分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣a﹣3与x轴分别交于P（x1，0），Q（x2，0）（x1≠x2）．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）当a＝1时，求x1+x2；（3）当|x1+x2|＞3时，求a的取值范围．24．（6分）如图，在▱ABCD中，连接DB，F是边BC上一点，连接DF并延长，交AB的延长线于E，且∠EDB＝∠A．（1）求证：△BDF∽△BCD；（2）如果BD＝3，BC＝9，求的值．25．（6分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象G经过点A（3，2），直线l：y＝kx﹣1（k≠0）与y轴交于点B，与图象G交于点C．（1）求m的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A，C之间的部分与线段BA，BC围成的区域（不含边界）为W．①当直线l过点（2，0）时，直接写出区域W内的整点个数；②若区域W内的整点不少于3个，结合函数图象，求k的取值范围．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝﹣x+3与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C．（1）求C点坐标；（2）求抛物线对称轴；（3）若抛物线与线段BC有一个公共点，结合图象，求a的取值范围．27．（7分）已知如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（α＞90°），F为BC中点，D为BC延长线上一点，以点A为中心，将线段AD逆时针旋转α得到线段AE，连接CE，DE．（1）补全图形并比较∠BAD和∠CAE的大小；（2）用等式表示CE，CD，BF之间的关系，并证明；（3）过F作AC的垂线，并延长交DE于点H，求EH和DH之间的数量关系，并证明．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于线段AB和点C，若△ABC是以AB为一条直角边，且满足AC＞AB的直角三角形，则称点C为线段AB的“关联点”，已知点A的坐标为（0，1）．（1）若B（2，1），则点D（3，1），E（2，0），F（0，﹣3），G（﹣1，﹣2）中，是AB关联点的有；（2）若点B（﹣1，0），点P在直线y＝2x﹣3上，且点P为线段AB的关联点，求点P的坐标；（3）若点B（b，0）为x轴上一动点，在直线y＝2x+2上存在两个AB的关联点，求b的取值范围．

2021-2022学年北京市东城区文汇中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，每题2分，共16分）1．（2分）下列交通标志中，是中心对称图形的是（）A．禁止驶入 B．靠左侧道路行驶 C．向左和向右转弯 D．环岛行驶【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可．【解答】解：A．是中心对称图形，故此选项符合题意；B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；C．不是中心对称图形，故此选项不合题意；D．不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：A．【点评】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．2．（2分）抛物线y＝（x﹣2）2﹣4的顶点坐标为（）A．（4，2） B．（2，4） C．（﹣2，4） D．（2，﹣4）【分析】形如y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），据此可以直接求顶点坐标．【解答】解：抛物线y＝（x﹣2）2﹣4的顶点坐标为（2，﹣4）．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的性质．二次函数的顶点式方程y＝a（x﹣k）2+h的顶点坐标是（k，h），对称轴方程是x＝k．3．（2分）已知点A（﹣1，m）与点B（3，n）都在反比例函数（k＞0）的图象上，那么m与n的关系是（）A．m＜n B．m＞n C．m＝n D．不能确定【分析】根据反比例函数图象的增减性来比较m与n的大小．【解答】解：∵k＞0，∴反比例函数（k＞0）的图象位于第一、三象限，∴点A（﹣1，m）位于第三象限，点B（3，n）位于第一象限，∴m＜n．故选：A．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．4．（2分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转35°得到△DEC，边ED、AC相交于点F，若∠A＝30°，则∠EFC的度数为（）A．65° B．15° C．75° D．115°【分析】将△ABC绕点C顺时针旋转35°得到△DEC，得∠ACD＝35°，∠A＝∠D＝30°，于是得到结论．【解答】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转35°得到△DEC，∴∠ACD＝35°，∠A＝∠D＝30°，∴∠EFC＝∠ACD+∠D＝35°+30°＝65°，故选：A．【点评】本题主要考查了旋转的性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．5．（2分）如图，点D、E分别在△ABC的AB、AC边上，下列条件中：①∠ADE＝∠C；②＝；③＝．使△ADE与△ACB一定相似的是（）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似对①进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似对②③进行判断．【解答】解：∵∠DAE＝∠BAC，∴当ADE＝∠C时，△ADE∽△ACB；当＝时，△ADE∽△ACB．故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定：三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．6．（2分）抛物线y＝﹣3x2经过平移得到抛物线y＝﹣3（x+1）2﹣2，平移的方法是（）A．向左平移1个，再向下平移2个单位 B．向右平移1个，再向下平移2个单位 C．向左平移1个，再向上平移2个单位 D．向右平移1个，再向上平移2个单位【分析】先确定两个抛物线的顶点坐标，再利用点平移的规律确定抛物线平移的情况．【解答】解：抛物线y＝﹣3x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y＝﹣3（x+1）2﹣2的顶点坐标为（﹣1，﹣2），而点（0，0）向左平移1个，再向下平移2个单位可得到（﹣1，﹣2），所以抛物线y＝﹣3x2向左平移1个，再向下平移2个单位得到抛物线y＝﹣3（x+1）2﹣2．故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．7．（2分）运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线可以看作是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度y（单位：m）与足球被踢出后经过的时间x（单位：s）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了3个时刻的数据，根据函数模型和所给数据，可推断出足球飞行到最高点时的时刻x是（）A．4 B．4.5 C．5 D．6【分析】由题意得出点（3，18）、（5，20）、（7，14）在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上，再用待定系数法求出抛物线解析式，进而配成顶点式，即可得出结论．【解答】解：由题意得，点（3，18）、（5，20）、（7，14）在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上，∴，∴，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+9x＝﹣（x﹣）2+，∴当x＝时，足球飞行达到最高点，故选：B．【点评】此题是二次函数的应用，主要考查了待定系数法，配方法，利用待定系数法求出抛物线的解析式是解本题的关键．8．（2分）设m是非零实数，给出下列四个命题：①若﹣1＜m＜0，则＜m＜m2；②若m＞1，则＜m2＜m；③若m＜＜m2，则m＜0；④若m2＜m＜，则0＜m＜1．其中命题成立的序号是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．③④【分析】判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．【解答】解：①若﹣1＜m＜0，则＜m＜m2，当m＝﹣时，，是真命题；②若m＞1，则＜m2＜m，当m＝2时，，原命题是假命题；③若m＜＜m2，则m＜0，当m＝﹣时，，原命题是假命题；④若m2＜m＜，则0＜m＜1，当m＝时，，是真命题；故选：B．【点评】此题考查命题于定理，关键是根据不等式的性质解答即可．二、填空题（每题2分，共16分）9．（2分）点A的坐标为（2，﹣3），它关于坐标原点O对称的点的坐标为（﹣2，3）．【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接写出答案．【解答】解：∵点A的坐标为（2，﹣3），∴它关于坐标原点O对称的点的坐标为（﹣2，3），故答案为：（﹣2，3）．【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是熟练掌握点的变化规律．10．（2分）将y＝x2﹣4x+7化为y＝a（x﹣h）2+k的形式：y＝（x﹣2）2+3．【分析】利用配方法整理即可得解．【解答】解：y＝x2﹣4x+7＝x2﹣4x+4﹣4+7＝（x﹣2）2+3，故将y＝x2﹣4x+7化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为：y＝（x﹣2）2+3．故答案为：y＝（x﹣2）2+3．【点评】本题考查二次函数的三种形式，正确运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键．11．（2分）反比例函数（k≠0）的图象经过点A（1，2），B（2，y1），C（3，y2），则y1＞y2．（填“＜，＝，＞”）【分析】求得系数k＝2，根据反比例函数的性质得出图象在第一、三象限内，在每个象限内，y随x的增大而减小，再比较即可．【解答】解：∵反比例函数（k≠0）的图象经过点A（1，2），∴k＝1×2＝2＞0，∴图象在第一、三象限内，在每个象限内，y随x的增大而减小，∵2＜3，∴y1＞y2，故答案为＞．【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质，能熟记反比例函数的性质是解此题的关键．12．（2分）中国“一带一路”倡议给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2017年年人均收入300美元，预计2019年年人均收入将达到y美元．设2017年到2019年该地区居民年人均收入平均增长率为x，那么y与x的函数关系式是y＝300（x+1）2．【分析】是关于增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设2017年到2019年该地区居民年人均收入平均增长率为x，那么根据题意可用x表示2019年年人均收入，然后根据已知可以得出关系式．【解答】解：设2017年到2019年该地区居民年人均收入平均增长率为x，那么根据题意得2019年年人均收入为：300（x+1）2，y与x的函数关系式是为：y＝300（x+1）2．故答案为y＝300（x+1）2．【点评】考查了根据实际问题列二次函数关系式，对于平均增长率问题，一般形式为a（1+x）2＝b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．13．（2分）如图，P是反比例函数图象上一点，且矩形PAOB的面积为4，则反比例函数的解析式是．【分析】根据反比例函数k的几何意义可得|k|＝4，再根据图象在二、四象限可确定k＝﹣4，进而得到解析式．【解答】解：∵S矩形PAOB＝4，∴|k|＝4，∵图象在二、四象限，∴k＜0，∴k＝﹣4，∴反比例函数解析式为y＝﹣，故答案为：y＝﹣．【点评】此题主要考查了反比例函数k的几何意义，关键是掌握y＝（k≠0）图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．14．（2分）如图，直角三角形纸片ABC，AC边长为10cm，现从下往上依次裁剪宽为4cm的矩形纸条，若剪得第二张矩形纸条恰好是正方形，那么BC的长度是20cm．【分析】根据矩形的性质，可知：DE∥BC，进而可得出△ADE∽△ACB，根据相似三角形的性质即可求出BC的长度．【解答】解：在图中标上字母，如图所示．根据矩形的性质，可知：DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，∴＝，∴BC＝•DE＝×4＝20cm．故答案为：20．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及正方形的性质，根据矩形的性质结合相似三角形的判定定理找出△ADE∽△ACB是解题的关键．15．（2分）平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（2，4），B（3，0），在第一象限内以原点O为位似中心，把△OAB缩小为原来的，则点A的对应点A'的坐标为（1，2）．【分析】根据位似变换的性质解答．【解答】解：以原点O为位似中心，把△OAB缩小为原来的，A（2，4），∴A的对应点A'的坐标为（2×，4×），即（1，2），故答案为：（1，2）．【点评】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．16．（2分）小云计划户外徒步锻炼，每天有“低强度”“高强度”“休息”三种方案，下表对应了每天不同方案的徒步距离（单位：km）．若选择“高强度”要求前一天必须“休息”（第一天可选择“高强度”）．则小云5天户外徒步锻炼的最远距离为36km．日期第1天第2天第3天第4天第5天低强度86654高强度121315128休息00000【分析】根据“高强度”要求前一天必须“休息”，则如果“高强度”的距离比前一天+当天的“低强度”距离短的话，则没有必要选择“高强度”，因此只有第一天和第三天适合选择“高强度”计算出此时的距离即可．【解答】解：∵“高强度”要求前一天必须“休息”，∴当“高强度”的徒步距离＞前一天“低强度”距离+当天“低强度”距离时选择“高强度”能使徒步距离最远，∵15＞6+6，12＞6+5，∴适合选择“高强度”的是第三天和第四天，又∵第一天可选择“高强度”，∴方案①第一天选择“高强度”，第二天“休息”，第三天选择“高强度”，第四天和第五天选择“低强度”，此时徒步距离为：12+0+15+5+4＝36（km），方案②第一天选择“高强度”，第二天选择“低强度”，第三天选择“休息”，第四天选择“高强度”，第五天选择“低强度”，此时徒步距离为：12+6+0+12+4＝34（km），综上，徒步的最远距离为36km．【点评】本题主要考查最优路线选择，找出适合选择“高强度”的时间是解题的关键．三、解答题（17-22题每题5分，23-26题每题6分，27、28题每题7分）17．（5分）如图，在正方形网格中，将格点△ABC绕某点顺时针旋转角α（0°＜α＜180°）得到格点△A1B1C1，点A与点A1，点B与点B1，点C与点C1是对应点．（1）请通过画图找到旋转中心，将其标记为点O；（2）直接写出旋转角α的度数．【分析】（1）连接CC1、AA1，再分别作两线段的中垂线，两中垂线的交点即为所求；（2）连接CO、C1O，结合网格特点可得旋转角∠COC1＝α＝90°．【解答】解：（1）如图所示，点O即为所求；（2）如图所示，∠COC1＝α＝90°．【点评】本题主要考查作图﹣旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义和性质．18．（5分）已知：如图，点C在∠MON的边OM上．求作：射线CD，使CD∥ON，且点D在∠MON的角平分线上．作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线OM，ON于点A，B；②分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，交于点Q；③画射线OQ；④以点C为圆心，CO长为半径画弧，交射线OQ于点D；⑤画射线CD．射线CD就是所求作的射线．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明：∵OD平分∠MON，∴∠MOD＝∠NOD．∵OC＝CD，∴∠MOD＝∠CDO．∴∠NOD＝∠CDO．∴CD∥ON（内错角相等两直线平行）（填推理的依据）．【分析】（1）根据要求作出图形即可．（2）根据等腰三角形的性质以及角平分线的定义证明∠CDO＝∠DON即可．【解答】解：（1）如图，射线CD即为所求作．（2）∵OD平分∠MON，∴∠MOD＝∠NOD．∵OC＝CD，∴∠MOD＝∠CDO，∴∠NOD＝∠CDO．∴CD∥ON（内错角相等两直线平行）．故答案为：∠NOD，∠CDO，内错角相等两直线平行．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形，属于中考常考题型．19．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线y＝过点A（1，1），与直线y＝4x交于B，C两点（点B的横坐标小于点C的横坐标）．（1）求k的值；（2）求点B，C的坐标；（3）若直线x＝t与双曲线y＝交于点D（t，y1），与直线y＝4x交于点E（t，y2），当y1＜y2时，写出t的取值范围．【分析】（1）根据待定系数法即可求得；（2）解析式联立，组成方程组，解方程组即可求得；（3）根据图象即可求得．【解答】解：（1）∵双曲线y＝过点A（1，1），∴k＝1×1＝1；（2）解得或，∴B（﹣，﹣2），C（，2）；（3）观察函数的图象，当y1＜y2时，t的取值范围为﹣＜t＜0或t＞．【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．20．（5分）如图，E是平行四边形ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F，AE＝1，CD＝2．（1）求证：△EBC∽△CDF．（2）求S△AEF：S△CDF．【分析】（1）由平行四边形的性质可知∠B＝∠D，BE∥CD．再根据平行线的性质即可得出∠E＝∠DCF，即证明△EBC～△CDF．（2）由∠E＝∠DCF，∠AFE＝∠DFC，即可判定△AFE～△DFC，再根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，BA∥CD．∵点E是边BA延长线上一点，∴BE∥CD，∴∠E＝∠DCF，∴△EBC∽△CDF．（2）解：∵∠E＝∠DCF，∠AFE＝∠DFC，∴△AFE∽△DFC，∴．【点评】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质．掌握判定三角形相似的条件是解答本题的关键．21．（5分）二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x…﹣4﹣3﹣2﹣1012…y…50﹣3﹣4﹣305…（1）求这个二次函数的表达式；（2）求当﹣4≤x≤0时，y的取值范围．【分析】（1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为（﹣1，﹣4），则可设顶点式y＝a（x+1）2﹣4，然后把点（0，﹣3）代入求出a即可；（2）画二次函数图象，求得x＝﹣4和0时的函数值，然后根据函数的图象可知顶点在其范围内，即可求解．【解答】解：（1）二次函数的顶点坐标为（﹣1，﹣4），设二次函数的解析式为：y＝a（x+1）2﹣4，把点（0，﹣3）代入y＝a（x+1）2﹣4得a＝1，∴抛物线解析式为y＝（x+1）2﹣4；（2）如图：当x＝﹣4时，y＝5；x＝0时，y＝﹣3，当x＝﹣1时，y＝﹣4．∴当自变量x的取值范围是﹣4≤x≤0时，对应函数值y的取值范围是﹣4≤y≤5，故答案为：﹣4≤y≤5．【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．数形结合是解题的关键．22．（5分）为迎接国庆节，某商店购进了一批成本为每件30元的纪念商品．经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求该商品每天的销售量y与销售单价x的函数关系式；（2）若商店按不低于成本价，且不高于60元的单价销售，求获得利润w（元）与销售单价x（元）的函数关系式；（3）求当获得利润w最大时，销售单价x为多少？【分析】（1）将点（30，100）、（45，700）代入一次函数表达式，即可求解；（2）利用每件利润乘以件数列出函数w＝（x﹣30）（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800写出自变量范围30≤x≤60即可；（3）将函数配方得：w＝﹣2（x﹣55）2+1250根据开口方向﹣2＜0，且30≤x≤60．，可得当x＝55时，w取得最大值，此时w＝1250即可．【解答】解：（1）设销售量y与销售单价x之间的函数关系式为y＝kx+b，将点（30，100）、（45，70）代入，得：，解得，∴函数的关系式为：y＝﹣2x+160，（2）每件利润为（x﹣30）元，∴w＝（x﹣30）（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800，且30≤x≤60，（3）将函数配方得：w＝﹣2（x﹣55）2+1250，∵﹣2＜0，且30≤x≤60，∴当x＝55时，w取得最大值，此时w＝1250．∴销售单价定为55元时，该商店每天获得的利润最大，最大利润是1250元．【点评】此题主要考查了二次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式，二次函数的顶点式，最值等知识，解答时求出函数的解析式是关键．23．（6分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣a﹣3与x轴分别交于P（x1，0），Q（x2，0）（x1≠x2）．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）当a＝1时，求x1+x2；（3）当|x1+x2|＞3时，求a的取值范围．【分析】（1）把解析式化成顶点式即可求得抛物线的顶点坐标；（2）利用抛物线的对称性求得即可；（3）根据题意得到＝﹣＝a，即可求得x1+x2＝2a，由|x1+x2|＞3得到|2a|＞3，解得a＞或a＜﹣．【解答】解：（1）抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣a﹣3＝（x﹣a）2﹣a﹣3，∴抛物线的顶点坐标为（a，﹣a﹣3）；（2）当a＝1时，抛物线为y＝x2﹣2x﹣3，∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴分别交于P（x1，0），Q（x2，0）（x1≠x2），∴＝﹣＝1，∴x1+x2＝2；（3）∵抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣a﹣3与x轴分别交于P（x1，0），Q（x2，0）（x1≠x2），∴＝﹣＝a，∴x1+x2＝2a，∵|x1+x2|＞3，∴|2a|＞3，解得a＞或a＜﹣．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，熟知二次函数的对称性是解题的关键．24．（6分）如图，在▱ABCD中，连接DB，F是边BC上一点，连接DF并延长，交AB的延长线于E，且∠EDB＝∠A．（1）求证：△BDF∽△BCD；（2）如果BD＝3，BC＝9，求的值．【分析】（1）由平行四边形的性质可得出∠A＝∠C，结合∠EDB＝∠A可得出∠EDB＝∠C，再由∠DBF＝∠CBD即可证出△BDF∽△BCD；（2）由△BDF∽△BCD，利用相似三角形的性质可求出BF的长度，由DC∥AE可得出△DFC∽△EFB，再利用三角形的性质及AB＝DC即可求出的值．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AE，∠A＝∠C．∵∠EDB＝∠A，∴∠EDB＝∠C．∵∠DBF＝∠CBD，∴△BDF∽△BCD；（2）解：∵△BDF∽△BCD，∴＝，即＝，∵BF＝5．∵DC∥AE，∴△DFC∽△EFB，∴＝，即＝．又∵AB＝DC，∴＝．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）利用“两角对应相等，两个三角形相似”证出△BDF∽△BCD；（2）牢记相似三角形对应边的比相等．25．（6分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象G经过点A（3，2），直线l：y＝kx﹣1（k≠0）与y轴交于点B，与图象G交于点C．（1）求m的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A，C之间的部分与线段BA，BC围成的区域（不含边界）为W．①当直线l过点（2，0）时，直接写出区域W内的整点个数；②若区域W内的整点不少于3个，结合函数图象，求k的取值范围．【分析】（1）把A（3，2）代入y＝中可得k的值；（2）①将（2，0）代入y＝kx﹣1可得：直线解析式为y＝x﹣1，画图可得整点的个数；②分两种情况：直线l在OA的下方和上方，画图计算边界时k的值，可得k的取值．【解答】解：（1）把A（3，2）代入y＝得m＝3×2＝6；∴m的值为6；（2）①当直线l过点（2，0）时，∴2k﹣1＝0，解得：k＝，∴直线l的解析式为y＝x﹣1，画出图形，如图所示，区域W内的整点有（3，1）一个；②如图，直线l在AB的下方，直线l：y＝kx﹣1过（2，0）时，0＝2k﹣1，解得k＝，当直线l在OA的上方，直线l经过（1，2）时，2＝k﹣1，解得k＝3，观察图象可知：当或k＞3，区域W内的整点不少于3个．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，本题理解整点的定义是关键，并利用数形结合的思想．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝﹣x+3与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C．（1）求C点坐标；（2）求抛物线对称轴；（3）若抛物线与线段BC有一个公共点，结合图象，求a的取值范围．【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征可求点B的坐标，根据平移的性质可求点C的坐标；（2）根据坐标轴上点的坐标特征可求点A的坐标，进一步求得抛物线的对称轴；（3）结合图形，分三种情况：①a＞0；②a＜0，③抛物线的顶点在线段BC上；进行讨论即可求解．【解答】解：（1）与y轴交点：令x＝0代入直线y＝﹣x+3得y＝3，∴B（0，3），∵点B向右平移5个单位长度，得到点C，∴C（5，3）（2）与x轴交点：令y＝0代入直线y＝﹣x+3得x＝3，∴A（3，0），将点A（3，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣3a中得0＝9a+3b﹣3a，即b＝﹣2a，∴抛物线的对称轴直线；（3）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过点A（3，0）且对称轴x＝1，由抛物线的对称性可知抛物线也一定过A的对称点（﹣1，0），①a＞0时，如图1，将x＝0代入抛物线得y＝﹣3a，∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，∴﹣3a＜3，∴a＞﹣1，将x＝5代入抛物线得y＝12a，∴12a≥3，解得a≥∴a≥；②a＜0时，如图2，将x＝0代入抛物线得y＝﹣3a，∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，∴﹣3a＞3，解得a＜﹣1；③当抛物线的顶点在线段BC上时，则顶点为（1，3），如图3，将点（1，3）代入抛物线得3＝a﹣2a﹣3a，解得a＝﹣．综上所述，a≥或a＜﹣1或a＝﹣．【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质以及解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程，待定系数法求抛物线解析式．本题属于中档题，难度不大，但涉及知识点较多，需要对二次函数足够了解才能快捷的解决问题．27．（7分）已知如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（α＞90°），F为BC中点，D为BC延长线上一点，以点A为中心，将线段AD逆时针旋转α得到线段AE，连接CE，DE．（1）补全图形并比较∠BAD和∠CAE的大小；（2）用等式表示CE，CD，BF之间的关系，并证明；（3）过F作AC的垂线，并延长交DE于点H，求EH和DH之间的数量关系，并证明．【分析】（1）根据题意补全图形即可，再根据旋转的性质可知∠BAC＝∠DAE，即∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即得出∠BAD＝∠CAE；（2）由旋转可知AD＝AE，即可利用“SAS”证明△BAD≌△CAE，得出BD＝CE．再由点F为BC中点，即可得出CE﹣CD＝2BF．（3）连接AF，作AN⊥DE，由等腰三角形“三线合一”可知∠AFD＝90°，．即得出∠AFD+∠AND＝180°，说明A、F、D、N四点共圆．再根据圆周角定理可知∠AFN＝∠ADN．再次利用等腰三角形“三线合一”的性质可知EN＝DN，．即得出∠AFN+∠FAC＝90°．再由∠AFH+∠FAC＝90°，即可说明点H与点N重合，即得出结论EH＝DH．【解答】解：（1）如图，即为补全的图形，根据题意可知∠BAC＝∠DAE＝α，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE．（2）由旋转可知AD＝AE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE．∵BD＝BC+CD，∴CE＝BC+CD．∵点F为BC中点，∴BC＝2BF，∴CE＝2BF+CD，即CE﹣CD＝2BF．（3）如图，连接AF，作AN⊥DE，∵AB＝AC，F为BC中点，∴∠AFD＝90°，．根据作图可知∠AND＝90°，∴∠AFD+∠AND＝180°，∴A、F、D、N四点共圆，∴∠AFN＝∠ADN．∵AD＝AE，AN⊥DE，∴EN＝DN，．∴．∵∠AFH+∠FAC＝90°，且点H在线段DE上，∴点H与点N重合，∴EH＝DH．【点评】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，四点共圆，圆周角定理等知识，较难．利用数形结合的思想是解答本题的关键．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于线段AB和点C，若△ABC是以AB为一条直角边，且满足AC＞AB的直角三角形，则称点C为线段AB的“关联点”，已知点A的坐标为（0，1）．（1）若B（2，1），则点D（3，1），E（2，0），F（0，﹣3），G（﹣1，﹣2）中，是AB关联点的有点E，点F；（2）若点B（﹣1，0），点P在直线y＝2x﹣3上，且点P为线段AB的关联点，求点P的坐标；（3）若点B（b，0）为x轴上一动点，在直线y＝2x+2上存在两个AB的关联点，求b的取值范围．【分析】（1）根据以点B为直角顶点，点B与点E横坐标相同，点E在过点B与AB垂直的直线上，△ABE为直角三角形，且AE大于AB；以点A为直角顶点，点A与点F横坐标相同，△AFB为直角三角形，BF大于AB即可；（2）根据点A（0，1）点B（﹣1，0），OA＝OB，∠AOB＝90°，得出△AOB为等腰直角三角形，可得∠ABO＝∠BAO＝45°，以点A为直角顶点，过点A，与AB垂