高考理科数学试卷及答案(湖南卷)

高考理科数学试卷及答案（湖南卷）

2012年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理工农医类）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出

的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合乂={-1,0,1},N={x|x2Wx},则MAN=（）

A.{0}B.{0,1}C.{-1,1}D.{-1,0,0}

2.命题“若a=

A.若，则tana=1"的逆否命题是（），则tanarlB.若

,贝（j若tanaW1,贝I」a#D.若tanaW1,

则a=

3.某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可

能是（

4.设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性

相关关系，根据一组样本数据（xi,yi）（i=l,2,n）,用最小二乘法

建立的回归方程为-85.71,

则下列结论中不正确的是（）.••

A.y与x具有正的线性相关关系

B.回归直线过样本点的中心（x,y）

C.若该大学某女生身高增加1cm,则其体重约增加0.85kg

D.若该大学某女生身高为170cm,则可断定其体重比为58.79kg

5.已知双曲线C：x

a22-yb22=l的焦距为10，点P（2,1）在C的渐近线上，则C的方程

为（）A.x2

20-y2

5=1B.

6x25-y220=lC.-=1D.-=120808020x2y2x2y26.函数

的值域为（）

22A.[-2,2]

C.[-1,1]

正

正

,]

7.在AABC中，AB=2,AC=3,AB2BC=1,则BC=()

C.

y/23

8

已知两条直线11：y=m和12:y=(m>0),11与函数

y^log2x的图像从左至右

相交于点于B,12与函数y=|log2x|的图像从左至右相交于C,D.记线

段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a,b.当m变化时，b

a的最小值为()

石

B.C.84D.44

二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共

35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上

（一）选做题（请考生在第9.1011三题中人选两题作答案，如果全

做，则按前两题记分）

在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：

（t为参数）与曲线C2：

为参数，a>0）有一个公共点在x轴上，则a.

10.不等式2x+l|-2|xT|>0的解集为

11.如图2,过点P的直线与。0相交于A,B两点.

若PA=1,AB=2,P0=3,则。0的半径等于.

（二）必做题（12〜16题）

12.已知复数z=（3+i）2（i为虚数单位），则|z[=

不

）的二项展开式中的常数项为.（用数字作答）6

14.如果执行如图3所示的程序框图，输入x=-l,n=3,则输出的数S=

15.函数的导函数的比部分图象

如图4所示，其中，P为图象与y轴的交点，A,C为图象与x轴的两个交

点，B为图象的最低点。

6(1)若，点P的坐标为(0

,2),则

(2)若在曲线段

5f»f¥I*II

板人篇《AlAV10

NUW*，夕A>192J1

ABC与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在4ABC内的概率

为。

16.设N=2n(nGN+,nN2),将N个数xl,x2,,,,xN依次放入编号为

1,2,”，N的N个位置，得到排列P0=xlx2,,xN。将该排列中分别位于奇数与

偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前N

2N2

N

2和后个位置，得到排列Pl=xlx3„xN-lx2x4„xN,将此操作称为C变

换，个数，并对每段作C变换，得到P2；当2WiWn-2时，将Pi分将P1

分成两段，每段

成2i段，每段N

2i个数,并对每段作C变换，得到Pi+1,例如，当N=8时，

P2=xlx5x3x7x2x6x4x8,

此时x7位于P2中的第4个位置。

(1)当N=16时，x7位于P2中的第一个位置；

(2)当N=2n(nN8)时，xl73位于P4中的第___个位置。

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明

过程或演算步骤。

17.(本小题满分12分)

某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集

了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示。

已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%。

(I)确定X,y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数

学期望；

(II)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结

算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过(注：将频率视为概

率)...2.5分钟的概率。

18.(本小题满分12分)

如图5,在四棱锥P-ABCD中，PA_L平面ABCD,AB=4,

BC=3,AD=5,ZDAB=ZABC=90°,E是CD的中点。

(I)证明：CD,平面PAE；

(II)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD

所成的角相等，求四棱锥P-ABCD的体积。

19.(本小题满分12分)

已知数列的各项均为正数，记A(n)=al+a2+,,,,+an,

B(n)=a2+a3+,,”+an+l,C(n)=a3+a4+”,,+an+2,n=l,2,„„0

(1)若al=l,a2=5,且对任意n《N+,三个数A(n),B(n),C(n)组

成等差数列，

求数列｛an｝的通项公式。

(2)证明：数列｛an｝是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任

意n@N+,

三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列。

20.(本小题满分13分)

某企业接到生产3000台某产品的A,B,C三种部件的订单，每台产品

需要这三种部件的数量分别为2,2,1(单位：件)。已知每个工人每天可生

产A部件6件，或B部件3件，或C部件2件。该企业计划安排200名工人

分成三组分别生产这三种部件，生产B部件的人数与生产A部件的人数成正

比，比例系数为k(k为正整数)。

(1)设生产A部件的人数为x,分别写出完成A,B,C三种部件生

产需要的时间；(2)假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k

的值，使完成订单任务的时间最

短，并给出时间最短时具体的人数分组方案。

21.(本小题满分13分)

在直角坐标系xOy中，曲线C1上的点均在圆C2：(x-5)2+y2=9外，

且对C1上任意一点M,M到直线x=-2的距离等于该点与圆C2上点的距离

的最小值。

(I)求曲线C1的方程；

(II)设P(xO,yO)(yOW±3)为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切

线，分别与曲线C1

相交于点A,B和C,Do证明：当P在直线x=-4上运动时，四点A,

B,C,D的纵坐标之积为定值。

22.(本小题满分13分)

已知函数f(x)=eax-x,其中aNO。

(1)若对一切x£R,f(x)Nl恒成立，求a的取值集合；

(2)在函数f(数的图象上取定两点A(xl,f(xl)),B(x2,f(x2))(xl

<x2),记直线

AB的斜率为k,问：是否存在xO£（xl,x2）,使广（xO）＞k成立？若

存在，求xO的取值范围；若不存在,请说明理由。

图s

2012年高考理科数学（湖南卷）参考答案

一、1、B【解析】-1,0,1}，MnN={0,1}.

2.C【解析】因为“若p,则q”的逆否命题为“若，则，所

以“若a=tana=1”的逆否命题是“若tanaWl,贝!JaN3.D

4.D【解析】由回归方程为-85.71知y随x的增大而增大，

所以y与x具有正的线性相关关系，由最小二乘法建立的回归方程得过程知

,所以回归直线过样本点的中心（x,y）,利用

回归方程可以预测估计总体，所以D不正确.5.A【解析】设双曲线C：

又的渐近线为

2

2

2

4

则

4

xa

22

yb

22

=1的半焦距为c,则

ba

ba

x,点P(2,1)在C的渐近线上,

,的方程为

22,即

又

b,

x

2

20

2

y

2

5

=1.

6.B【解析】f(x)=sinx-cos(x+

W

G

6

6

),

6

，f(x)值域为

6

7.A【解析】由下图知

,解得

4

BC8

8.B【解析】在同一坐标系中作出y=m,y=(m>0),图像如下

1

.又由余弦定理知

222

由log2x=m,得

log2x=

m

m

,得

8

依照题意得

8

m

ba

8

m

12

12

12

12

12

二、9.

32

【解析】曲线C1：

直角坐标方程为，与x轴交点为(,0)；

2

3

22

,其与x轴交点为，曲线C2：直角坐标方程为

由，曲线C1与曲线C2有一个公共点在X轴上，知

32

【解析】令,贝I」由

得

的解集为

瓜

11.P0交圆0于C,D,如图,

设圆的半径为R,由割线定理知

即

(-)12.10【解析】

+6-

6i,

-160

【解

析

)6

的展开式项公式

是

r

.由题意知，所以二项展开式

333

中的常数项为

【解析】输入，执行过程如下：

;,所以输出

的是

15.(1)3；(2)

4

6

【解析】(1)，当，点P的坐标为

(0

2

)时

6

2

(2)由图知设曲线段

T

〜与ABC

b

a

设A,B的横坐标分别为a,b.

x轴所围成的区域的面积为S则

ba

,由几何概型知该

点在△

ABC

内的概率为

S

24

16.(1)6；(2)

【解析】⑴当N=16时，

可设为

即为

即

位于P2中的第6

个位置,；

（2）方法同（1），归纳推理知xl73位于P4中的第个位

置.三、17.【解析】（1）由已知，得所以

该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所以收

集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本，将频

率视为概率得

15

1005

X的分布为

\11.592.53

P33111

20104510

3

30

100

14,

X的数学期望为

E(X)1

320

103

.1.9

为该顾客前面

2,)1(II)记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，

第i位顾客的结算时间，则

且

且12

2

且

1)

由于顾客的结算相互独立，且XI,X2的分布列都与X的分布列相同，所

1)

320

320

3

20

3

10

3

10

3

9.2080

故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为

980

18.【解析】解法1(I如图(1)),连接AC,由AB=4,

得又E是CD的中点，所以

平面平面ABCD,所以

而PA,AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD_L平面PAE.(H)过

点B作分别与AE,AD相交于F,G,连接PF.由(I)CD,平面PAE

知，BG_L平面PAE.于是为直线PB与平面PAE所成的角，且

由平面ABCD知，为直线PB与平面ABCD所成的角.

由题意，知因为

PB,所以

由___________知，AD〃BC,又BG〃CD,所以四边形BCDG是平行

四边形，故于是

在RtABAG中,所以

AB2

\]AB2+AG：

于是

1

2又梯形ABCD的面积为

所以四棱锥的体积为

6

.155

解法2：如图(2),以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为x

轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系设则相关的各点坐标为：

A(4,0,0),B(4,0,0),C(4,3,0),D(0,5,0),E(2,4,0),P(0,0,h).

(I)易知因为

所以而AP,AE是平

面PAE

内的两条相交直线，所以平面PAE.

(II)由题设和(I)知，CD,AP分别是平面PAE,平面ABCD的法向量，

而PB与

平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，所以

即

由（I）知,由故

-16+0+0

2y)5$6+力2

0+0+h2

hJ]6+

解得

5

12

,所以四棱锥的体积为

又梯形ABCD的面积为

13

13

5

115

5

19•【解析】

解(1)对任意三个数人8)48),(：(11)是等差数列，所以

Bn

即亦即

故数列是首项为1,公差为4的等差数列.于是

(II)(1)必要性：若数列是公比为

q的等比数列，则对任意，有

由知，A(n),B(n),C(n)均大于0,于是

B(n)A(n)

1

2

)

C(n)B(n)

23

1)

1

即

B(n)A(n)

C(n)B(n)

二q,所以三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列.

(2)充分性：若对于任意，三个数A(n),B(n),C(n)组成公比

为q的等比数列，则

qA(

,qB

n

于是得即

由有B(1即，从而

__________因为，所以

,故数列是首项为al,公比为q的等比数列，

综上所述，数列是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任

意n£N+,三个数

A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列.

20•【解析】

解：(I)设完成A,B,C三种部件的生产任务需要的时间(单位：天)

分别为

Tl(x),T2(x),T3(x),由题设有

6x1000

,T(x)2

x2000

,T(x3

期中均为1到200之间的正整数.

(II)完成订单任务的时间为其定

义域为

易知，易(x),T2(x)为减函数,易(x)为增函数.注意

到

2k

Tl(x),于是

(1)当时,此时

1500

由函数Tl(x),T3(x)的单调性知，当

1000x

时f(x)取得最小值，解得

4009

由于

4009

而

25011

3001311

故当时完成订单任务的时间最短，且最短时间为

250

(2)当时,由于k为正整数，故，此时

易知T(x)为增函数，则

由函数Tl(x),T(x)的单调性知，当

40011

1000x2509

250

时取得最小值，解得

37513

40011

.由于

而

此时完成订单任务的最短时间大于

11

(3)当时，由于k为正整数，故，此时

由函数T2(x),T3(x)的单调性

知，

当

2000x

时f(x)取得最小值，解得

2509

80011

.类似(1)的讨论.此时

完成订单任务的最短时间为，大于

25011

综上所述，当时完成订单任务的时间最短，此时生产A,B,C

三种部件的人数

分别为44,88,68.

21.【解析】(I)解法1：设M的坐标为(x,y),由已知得

J(.r-+

3,

易知圆C2上的点位于直线的右侧.于是，所以

yj(x-5Y+

化简得曲线C1的方程为

解法2：由题设知，曲线C1上任意一点M到圆心C2(5,0)的距离等于

它到直线的

2距离，因此，曲线C1是以(5,0)为焦点，直线为准线的抛物

线，故其方程为

2

(II)当点P在直线上运动时，P的坐标为，又

,则过P且与圆

C2相切得直线的斜率k存在且不为0,每条切线都与抛物线有两个交

点，切线方程为即kx-y+y0+4k=0.于是

15k+v0+4k|

4'+1

2

整理得

设过P所作的两条切线PA,PC的斜率分别为kl,k2,则kl,k2是方程①

的两个实根，故

18y072

y04

.②

由

2

得

设四点A,B,C,D的纵坐标分别为yl,y2,y3,y4,则是方程③的两个实

根，所以

kl

.④

同理可得