七年级数学上册 讲义（北师大版）第05讲 难点探究专题：与一元一次方程有关的综合问题(4类热点题型讲练)（解析版）

第05讲难点探究专题：与一元一次方程有关的综合问题(4类热点题型讲练)目录TOC\o"1-3"\h\u【类型一新定义型运算与一元一次方程的综合问题】 1【类型二绝对值方程与一元一次方程的综合问题】 5【类型三图形规律探究与一元一次方程的综合问题】 8【类型四数轴上的动点与一元一次方程的综合问题】 11【类型一新定义型运算与一元一次方程的综合问题】例题：（2023春·江苏淮安·七年级统考开学考试）定义一种新的运算“”：

例如：．(1)求的值；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据代值求解即可；（2）根据新定义得到方程，解方程即可；【详解】（1）解：．（2）解：解得：．【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用、新定义下的有理数运算，正确计算是解题的关键．【变式训练】1．（2023秋·江苏·七年级专题练习）定义一种新运算“”：，如(1)求的值；(2)若，求x的值；【答案】(1)2(2)【分析】（1）根据所给的新定义进行代值计算即可；（2）根据所给的新定义可得方程，解方程即可．【详解】（1）解：由题意得，；（2）解：∵，∴，∴，解得．【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合计算，解一元一次方程，正确理解所给的新定义是解题的关键．2．（2023春·四川遂宁·七年级校联考阶段练习）定义一种新运算“※”，其规则为．例如：．再如：．(1)计算值为______．(2)若，求的值．【答案】(1)31(2)【分析】（1）利用题中的新定义计算即可求出值；（2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出m的值．【详解】（1）根据题中的新定义得：（2）利用题中的新定义化简得：，解得：【点睛】此题考查定义新运算，一元一次方程，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．3．（2023春·河北衡水·九年级校考期中）对于任意的有理数a、b，定义一种新的运算，规定：，，等式右边是通常的加法、减法运算，如，时，，．(1)求的值；(2)若，求x的值．【答案】(1)7(2)【分析】（1）按照题目规定的新运算法则求解即可；（2）按照题目规定的新运算法则可得关于x的方程，解方程即得答案．【详解】（1）由题意，得：．（2）由题意，得，整理，得，解得．【点睛】本题以新运算为载体，主要考查了有理数的运算和一元一次方程的解法，正确理解新运算法则是解题的关键．4．（2023春·河南新乡·七年级统考期末）对有理数，定义两个新运算：，.例如：，．(1)求的值；(2)求的值；(3)若的值和的值相等，求的值．【答案】(1)(2)(3)．【分析】（1）根据新定义列式计算即可；（2）根据新定义列式计算即可；（3）根据新定义列得方程，解方程即可．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：由题意可得，整理得：，解得：．【点睛】本题考查定义新运算，有理数的运算及解一元一次方程，（3）中结合题意列得方程是解题的关键．5．（2023春·吉林长春·七年级统考期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为0，我们就称这两个方程为“友好方程”．例如：的解为；的解为，所以这两个方程为“友好方程”．(1)若关于x的一元一次方程与是“友好方程”，则m．(2)已知两个一元一次方程为“友好方程”，且这两个“友好方程”的解的差为3．若其中一个方程的解为，求k的值．(3)若关于x的一元一次方程和是“友好方程”，则关于y的一元一次方程的解为．【答案】(1)；(2)或；(3)【分析】（1）分别求得两个方程的解，利用“友好方程”的定义列出关于m的方程解答即可；（2）利用“友好方程”的定义得出两个“友好方程”的解为，，由两个“友好方程”的解的差为3列出关于k的方程解答即可；（3）求得方程的解，利用“友好方程”的定义得到方程的解，将关于y的一元一次方程变形，利用同解方程的定义即可得到的值，从而求得方程的解；【详解】（1）解：∵方程的解为，方程的解为，而方程与是“友好方程”，∴，∴；故答案为：；（2）解：∵“友好方程”的一个解为，则另一个解为，依题意得或，解得或，故k的值为或；（3）解：方程的解为，∵关于x的一元一次方程和是“友好方程”，∴关于x的方程的解为，∵关于y的一元一次方程变形得，∴，∴，∴关于y的一元一次方程的解为：，故答案为：．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义解答是解题的关键，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义解答也是解题的关键．【类型二绝对值方程与一元一次方程的综合问题】例题：（2023秋·全国·七年级课堂例题）先看例题，再解答后面的问题．【例】解方程：．解法一：当时，原方程化为，解得；当时，原方程化为，解得，所以原方程的解为或．解法二：移项，得．合并同类项，得．由绝对值的意义知，所以原方程的解为或．问题：用两种方法解方程．【答案】或【分析】方法一：首先根据得，于是原方程可化为，由此可解出，再根据得，是原方程可化为，由此可解出，综上所述可得原方程得解；方法二：首先移项、合并同类项得，再将的系数化为得，然后利用绝对值的意义可得出的值，进而得原方程得解．【详解】解：解法一：当时，原方程化为，解得；当时，原方程化为，解得，∴原方程的解为或．解法二：移项，得，合并同类项，得，系数化为1，得，由绝对值的意义知，∴原方程的解为或．【点睛】本题考查绝对值的意义，熟练掌握一元一次方程的解法，理解绝对值的意义和进行分类讨论思想的应用是解题的关键．【变式训练】1．（2022秋·全国·七年级专题练习）解下列绝对值方程：(1)(2)【答案】(1)或(2)或【分析】（1）先去绝对值，再解一元一次方程；（2）先去绝对值，再解一元一次方程．【详解】（1）解：∵，∴，即：或，解得：或；（2）解：∵，∴，当时：，解得：；当时：，解得：；综上：或．【点睛】本题考查解绝对值方程．熟练掌握绝对值的意义，以及解一元一次方程的步骤，是解题的关键．2．（2023秋·安徽池州·七年级统考期末）我们知道由，可得或，例如解方程：，我们只要把看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题．解：根据绝对值的意义，得或，所以或．根据以上材料解决下列问题：(1)解方程：；(2)解方程：．【答案】(1)或(2)或【分析】（1）先去绝对值，化成一元一次方程求解即可；（2）先去绝对值，化成一元一次方程求解即可．【详解】（1）解：根据绝对值的意义得或，解得或；（2）解：由绝对值的意义得或，解得或．【点睛】本题考查含绝对值的一元一次方程的解法，理解绝对值的意义是求解本题的关键．3．（2023秋·全国·七年级专题练习）阅读理解：在解形如这类含有绝对值的方程时，解法一：我们可以运用整体思想来解．移项得，，，，或．解法二：运用分类讨论的思想，根据绝对值的意义分和两种情况讨论：①当时，原方程可化为，解得，符合；②当时，原方程可化为，解得，符合．原方程的解为或．解题回顾：本解法中2为的零点，它把数轴上的点所对应的数分成了和两部分，所以分和两种情况讨论．问题：结合上面阅读材料，解下列方程：(1)解方程：(2)解方程：【答案】(1)或(2)或【分析】（1）类比解法一即可求解；（2）类比解法二，分，，三种情况进行讨论，脱去绝对值，解方程，舍去不合题意的方程的解，问题得解．【详解】（1）解：移项得，合并得，两边同时除以得，所以，所以或；（2）解：当时，原方程可化为，解得，符合；当时,原方程可化为，解得，符合；当时，原方程可化为，解得，不符合．所以原方程的解为或．【点睛】本题考查了绝对值方程、一元一次方程的解法，理解题意，能根据题意脱去绝对值是解题关键，注意第（2）问要根据题意分三类进行讨论．【类型三图形规律探究与一元一次方程的综合问题】例题：（2023秋·江苏·七年级专题练习）用大小一样的黑白两种颜色的小正方形纸片，按如图的规律摆放：(1)第5个图案有张黑色小正方形纸片；(2)第n个图案有张黑色小正方形纸片；(3)第几个图案中白色纸片和黑色纸片共有81张？【答案】(1)16(2)(3)20【分析】（1）观察图形，发现：黑色纸片在4的基础上，依次多3个；（2）根据（1）中的规律，用字母表示即可；（3）根据（2）的规律，得出，解之得出n的值即可作出判断．【详解】（1）∵第1个图形中黑色纸片的数量，第2个图形中黑色纸片的数量，第3个图形中黑色纸片的数量，……，∴第5个图片中黑色纸片的数量为，故答案为：16；（2）由（1）知，第n个图案中黑色纸片的数量为，故答案为：；（3）设第n个图案中共有81张纸片，由，解得：，即第20个图案中共有81张纸片．【点睛】本题考查规律型：图形的变化类，解题时必须仔细观察规律，通过归纳得出结论．注意由特殊到一般的分析方法，此题的规律为：第n个图案中有张黑色纸片．【变式训练】1．（2023秋·全国·七年级专题练习）如图，利用黑白两种颜色的五边形组成的图案，根据图案组成的规律回答下列问题：(1)图案④中黑色五边形有______个，白色五边形有______个；(2)图案中黑色五边形有______个，白色五边形有______个；（用含的式子表示）(3)图案中的白色五边形可能为2023个吗？若可能，请求出的值；若不可能，请说明理由．【答案】(1)4，13(2)，(3)可能，【分析】（1）观察可知，除第一个以外，每增加一个黑色五边形，相应的白色五边形增加三个，即可解答．（2）根据观察分析出白色五边形的块数与图形序号之间的关系，并由此猜想数列的通项公式，解答问题．（3）根据通项公式解答出的值即可判断．【详解】（1）∵第1个图形中黑色五边形的个数为1，白色五边形的个数为4；第2个图形中墨色五边形的个数为2，白色五边形的个数为，第3个图形中墨色五边形的个数为3，白色五边形的个数为；∴第4个图形中界色五边形的个数为4，白色五边形的个数为．（2）由（1）可得：第个图形中黑色五边形的个数为，白色五边形的个数为．（3）可能，理由如下：由题意得，解得，故图案中的白色五边形可能为2023个．【点睛】本题考查了图形的变化规律，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．2．（2023秋·全国·七年级专题练习）用同样规格的黑，白两种颜色的正方形瓷砖按如图所示的方式铺宽为米的小路．(1)铺第6个图形用黑色正方形瓷砖块，用白色正方形瓷砖块；(2)按照此方式铺下去，铺第n个图形用黑色正方形瓷砖块，用白色正方形瓷砖块（用含n的代数式表示）；(3)在（2）的基础上，若黑，白两种颜色的瓷砖规格都为（长为米×宽米），若按照此方式铺满一段总面积为平方米的小路时，n是多少？【答案】(1)25，14(2)，(3)16【分析】（1）根据图形算出前几个图形中含有的瓷砖数，找到规律，再代入求解；（2）由（1）的规律填空；（3）根据瓷砖数乘一块瓷砖的面积等于总面积列方程求解．【详解】（1）解：第1个图形中有个黑色正方形瓷砖，有个白色瓷砖；第2个图形中有个黑色正方形瓷砖，有个白色瓷砖；第3个图形中有个黑色正方形瓷砖，有个白色瓷砖；，第个图形中有个黑色正方形瓷砖，有个白色瓷砖；第6个图形中有25个黑色正方形瓷砖，有14个白色瓷砖；故答案为：25，14；（2）由（1）知：第个图形中有个黑色正方形瓷砖，有个白色瓷砖，故答案为：，；（3）第个图形中有个黑色正方形瓷砖，有个白色瓷砖，故第个图形中有个正方形瓷砖；，解得：．【点睛】本题考查了图形的变换类，找到变化规律是解题的关键．3．（2023春·安徽·九年级专题练习）苯是最简单的芳香族化合物，在有机合成工业上有着重要的用途，德国化学家凯库勒发现了苯分子的环状结构．将若干个苯环以直线形式相连可以得到如下类型的芳香族化合物（结构简式中六边形每个顶点处代表个原子，通常省略原子）．已知：个苯的结构式是，结构简式为，分子式是；个苯环相连结构式是，结构简式为，分子式是；个苯环相连结构式是，结构简式为的分子式是；根据以上规律，回答下列问题：(1)个苯环相连的分子式是______；(2)个苯环相连的分子式是______；(3)试通过计算说明分子式为是否属于上述类型的芳香族化合物．【答案】(1)(2)(3)分子式为属于芳香族化合物【分析】（1）根据题意，找出个苯，个苯环，个苯环中原子，原子的数量关系即可求解；（2）根据（1）中原子，原子的数量关系即可确定个苯环的分子式；（3）根据（2）中的分子式即可求解．【详解】（1）解：个苯的结构式中有一个六边形（个原子，个原子），个苯环的结构式中有一个六边形（个原子，个原子）加上一个五边形（个原子，个原子），个苯环的结构式中有一个六边形（个原子，个原子）加上一个五边形（个原子，个原子），再加上一个五边形（个原子，个原子），∴原子的个数是，原子的个数是，∴个苯环结构中原子的个数是，原子的个数是，∴个苯环相连的分子式是，故答案为：．（2）解：由（1）可知，原子的个数是，原子的个数是，∴个苯环相连的分子式是，故答案为：．（3）解：分子式为，∴，解得，；，解得，；即当时，苯环分子式为，∴分子式为属于芳香族化合物．【点睛】本题主要考查数字、图形的规律探究，理解表示的含义，掌握有理数的规律运算是解题的关键．【类型四数轴上的动点与一元一次方程的综合问题】例题：（2023秋·江苏苏州·七年级苏州草桥中学校考阶段练习）已知数轴上A，B，C三点对应的数分别为、3、5，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．点A与点P之间的距离表示为，点B与点P之间的距离表示为．

(1)若，则__________；(2)若，求x的值；(3)若点P从点A出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度向右运动，两点同时出发，经过__________s，P、Q两点之间的距离为4．【答案】(1)1(2)或5(3)1或5【分析】（1）结合数轴，进行求解即可；（2）分点P在点A左侧，点P在点A、B中间，点P在点B右侧，三种情况，列出方程进行求解即可．（3）设后P、Q两点之间的距离为4，分两种情况，当点P在点Q左侧时，当点P在点Q右侧时，分别列出方程，求出结果即可．【详解】（1）解：由点在数轴上的位置，可知，当时，P在点A、B中间，∴，，∴，解得：；故答案为：1；（2）解：∵若点P在点A左侧，，，则，解得：；若点P在点A、B中间：，，则，不符合题意；若点P在点B右侧，，，则，解得：；综上的值为或5．（3）解：设后P、Q两点之间的距离为4，当点P在点Q左侧时，，解得：；当点P在点Q右侧时，，解得：；综上分析可知，经过或，P、Q两点之间的距离为4．故答案为：1或5．【点睛】本题考查整式的加减运算，一元一次方程的应用．熟练掌握数轴上两点间的距离公式，是解题的关键．【变式训练】1．（2022秋·浙江台州·七年级校考期中）已知数轴上有三点，分别代表，，，两只电子蚂蚁甲、乙分别从两点同时相向而行，甲的速度为个单位，乙的速度为个单位．

(1)甲、乙多少秒后相遇？(2)甲、乙出发多少秒后，甲、乙相距个单位？(3)当甲到达点时，乙调头原速返回，当甲、乙在数轴上再次相遇时，相遇点表示的数是多少？（直接写出答案）【答案】(1)甲、乙秒后相遇(2)甲，乙出发后或秒后，甲、乙相距个单位(3)相遇点表示的数是【分析】（1）根据相遇问题，设秒后甲与乙相遇，由此列式求解即可；（2）根据相遇问题，分类讨论，第一种情况：相遇前相距个单位；第二种情况：相遇后相距个单位；根据数量关系列式求解即可；（3）根据甲从的时间，可知乙所处的位置，再根据追击问题，设经过后再次相遇，由数量关系列式即可求解．【详解】（1）解：∵表示的为，表示的是的，∴，设秒后甲与乙相遇，∴，解得，∴甲、乙秒后相遇．（2）解：设秒后甲、乙相距个单位，第一种情况：相遇前相距个单位，∴，解得，；第二种情况：相遇后相距个单位，∴，解得，；∴甲，乙出发后或秒后，甲、乙相距个单位．（3）解：∵表示的为，表示的是的，∴，且甲的速度为个单位，乙的速度为个单位∴甲从的时间为，∴乙走的路程为，则此时乙对应的数值是，∴甲在乙的右边，即甲在的位置，乙在位置，则甲乙相距个单位长度，设经过后再次相遇，∴，解得，，即甲乙用了时再次相遇，∴乙走的路程为，∴相遇点对应的数值是，∴相遇点表示的数是．【点睛】本题主要考查数轴上动点问题，运用一元一次方程解决实际问题，掌握数轴上有理数的关系，两点之间距离的计算方法，一元一次方程解实际问题的方法是解题的关键．2．（2023秋·江西上饶·七年级统考阶段练习）如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．

(1)数轴上点B表示的数是________，点P表示的数是________（用含的式子表示）；(2)动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求：①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？【答案】(1)；(2)①当点P运动5秒时，点P与点Q相遇；②当点P运动1或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度【分析】（1）根据数轴上两点间的距离即可解答；（2）①根据数轴上两点间的距离结合行程问题的特点列出方程求解；②根据数轴上两点间的距离结合行程问题的特点列出方程求解．【详解】（1）∵数轴上点A表示的数为6，∴，则，∵点B在原点左边，∴数轴上点B所表示的数为；∵动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，∴点P运动t秒的长度为，∴P所表示的数为：；故答案为：，；（2）①点P运动t秒时追上点Q，根据题意得，