高考数学讲义椭圆参考教案

一、椭圆的方程

Q

【例2】设定点£（0,-3）,6（0,3）,动点P满足条件|历|+归周="+5（〃>0）,则点P的

轨迹是（）

A.椭圆B.线段C.不存在D.椭圆或线段

【考点】椭圆的方程

【难度】3星

【题型】选择

【关键字】无

【解析】忸£|+|「后|=。+2》2，^=6,当且仅当。=3时取等号.

当|P用+|P周=6时，点尸的轨迹是线段.一;

当—+|尸鸟|>6时，点尸的轨迹是椭圆.

【答案】D

【例3】设椭圆§+卫=1（。>6>0）的离心率为e=」，右焦点为F（c,0）,方程

a'b2

ai+bx-&）的两个实根分别为办和x2,则点尸（玉，马）（）

A.必在圆f+y2=2内B.必在圆产+产二？上

C.必在圆f+产=2外D.以上三种情形都有可能

【考点】椭圆的方程

【难度】2星

【题型】选择

【关键字】无

11

1h7/-h

【解析】由已知有e=-r=-,于是石2+4=（芭+/）2一2不占=—7+二=二+1<2.

a2a"aa

【答案】A

22

【例4】已知二+"—=1表示焦点在x轴上的椭圆，则，”的取值范围是()

m"2+m

A.%>2或加<-1B.m>—2

C.—\<m<2D.，律>2或一2</n<—1

【考点】椭圆的方程

【难度】2星

【题型】选择

【关键字】2009年，东城一模

［加+2>0.

【解析】由4,解得〃z>2或一2<帆〈一1.

>m+2

【答案】D

v221

【例5】若椭圆上—+上=1的离心率为e=,，则k的值等于.

/+892

【考点】椭圆的方程

【难度】2星

【题型】填空

【关键字】无

【解析】若椭圆的焦点在x轴上，则/=上+8,y=9,d-l,e2=^=—=~,

a~%+84

解得％=4;

若椭圆的焦点在y轴上，则“2=9,C?=9-(%+8)=1-k,e2=-~~-=-,

94

解得z=-3；

4

【答案】k=4或-3.

4

【例6】已知常数a>0,向量c=(0,a)，i=(l,0).经过原点。以c+斯为方向向量的直线

与经过定点A(0,a)以为方向向量的直线相交于点P,其中/UR.试问：

是否存在两个定点E,F,使得|PE|+|P用为定值.若存在，求出E,尸的坐标；

若不存在，说明理由.

【考点】椭圆的方程

【难度】4星

【题型】解答

【关键字】无

【解析】•.•c=(0,a),i=(l,0),Ac+Ai=(A,a),i-2Ac=(l,-2Aa).

因此，直线OP和AP的方程分别为Zy=ax^y-a=-2Acuc.

消去参数4,得点P(x,y)的坐标满足方程y(y-〃)=-2。2/

2

2(y--)

整理得£-+―2-=1.....①

因为a>0,所以得：

⑴当“=贞时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和f;

2

⑵当0<〃<立时，方程①表示椭圆，焦点,，)和尸(一1,q)为

22V222V22

满足题意的两个定点；

(3)当«>—时，方程①也表示椭圆，焦点E(O,-(a+Ja2--))和

22V2

F(0-3)为合乎题意的两个定点.

2V2

注：由于向量可以用一条有向线段来表示，有向线段的方向可以决定解析几何中直

线的斜率，故直线的方向向量与解析几何中的直线有着天然的联系.求解此类问题

的关键是：根据直线的方向向量得出直线方程，再转化为解析几何问题解决.

【答案】⑴当〃=丝时，不存在合乎题意的定点E和F;

2

⑵当0<a<立时，焦点E(-J--a2「)和F(-』J--a2，幺)为满足题意的两个

22V222V22

定点；

(3)当4>立时，焦点£((),(〃+。匚工))和尸(0,5_。二］))为合乎题意的两

22V22V2

个定点.

2)

【例7】过椭圆C：1+吞=1(4>/,>0)上一点尸引圆O：/+/=户的两条切线如、

ar3

PB,切点为A、B,直线钻与工轴、y轴分别相交于M、N两点

⑴设PCT。，%),且Xo%wO,求直线AB的方程；

⑵若椭圆C的短轴长为8,且上方+—J="，求此椭圆的方程；

|0N『16

⑶试问椭圆C上是否存在满足PA•PB=0的点P,说明理由.

【考点】椭圆的方程

【难度】4星

【题型】解答

【关键字】无

1

【解析】⑴直线AB的方程：xox+y0>'=b(xoyo0)；

⑵由题设有6=4,

，从）（b2

由直线AB的方程可得M—,0,N0,—

I/%

于是

/b22)22

_J.2f%一_A-a25

-------------------

\OM|2|ON|2一户+k3『正'

解得a=5,

故椭圆C的方程为工+工=1.

1625

⑶假设存在点P5,%）满足PA.尸8=0,

连结。4、OB,由IPAHP8I,知四边形A4O8为正方形，|OP|=0|OA|.

•••%+y：=2b。.①

又P在椭圆上，:.a2x^+b2yl=a2b2②

b\a2-2b2)a2h2

由①②得七=2

a2-b2

'：a>b>0,：.a2>h2

...当。22>0即a26b时，椭圆C上存在点P满足题设条件;

当笳<2"即时，椭圆C上不存在满足题设的点P.

2

【答案】⑴直线的方程：xox+yQy=b（x0^00）；

（2）—+-^-=1；

1625

⑶当a?》劝2>0即a》回时，椭圆C上存在点P满足题设条件：

当a?<2廿即〃时，椭圆C上不存在满足题设的点P.

【例8】已知A,8,C均在椭圆M:1+y2=i（a>i）上，直线AS、AC分别过椭圆的左右

2

焦点£、F2,当AC•4鸟=0时，有9AK・AE=AM.

⑴求椭圆M的方程；

⑵设P是椭圆M上的任一点，"为圆N:/+（>-2）2=1的任一条直径，求

PEPF的最大值.

【考点】椭圆的方程

【难度】4星

【题型】解答

【关键字】无

【解析】⑴：，即耳鸟为直角三角形，

AC-EK=0ACVFYF2,

/.IAFt|cosN耳A鸟=\AF2\.

2

于是9"；・你=9|4"||牧|以光/646=9|46|2=4片=|A^|2,

/.|AF.|=3|A^|.

a

又|*|+|A"|=2a,：.\AFt\=^a,\AF2\=^.

2

在必耳耳中,\AFS=\AF2^+\F2F,I,

解得〃=2,

故所求椭圆M方程为—+/=1.

2'

(2)PEPF=(NE-NP)■(NF-NP)

------22

=(-NF-NP)(NF-NP)=(—NP『-NF=NP-

从而只需求NP2的最大值.

2

尸是椭E1M上的任一点，设则有专-+为2=1,即年=2—2方.

又N(0,2),所以Nk=毛2+(%-2>=2-2年+(%-2>=-(％+2/+10.

2

而％所以当先=-1时，NP-取最大值9,

故PEP尸的最大值为8.

->

【答案】⑴三+丁=1;

2

⑵PE-PF的最大值为8.

【例9】设椭圆鸟+4=1(。>6>0)的左、右焦点分别为小居，离心率6=也，M、

ab~2

2

N是直线/:x=土上的两个动点，且•居N=0.

C

(1)若|月用|=|耳'卜26,求。、〃的值.

(2)证明：当|MN|取最小值时，耳M+乙N与百鸟共线.

【考点】椭圆的方程

【难度】4星

【题型】解答

【关键字】2008年，四川高考

【解析】(1)由已知，F^-c,0),玛(c,0).

因此M(2c,x),NQc,y2).

法一：

延长NF?交MF、于P,记/交r轴于Q.

由平面几何知识易证RfAMQR丝Rt\F2QN,

.•.|QMT4Q|=3C，\QM\=\F2Q\=C,即血=c,|,y2|=3c.

卜忸止2后，

9c2+c2=20,c2=2,b2—2,a2=4.

a=2,b=A/2.

法二：

VFtMF2N=0,；.(3c,y)(c,%)=。，M%=-3c2co.

又,〃|=,叫=2石,

2

yty2=-3c

联立,9。2+短=2(),消去弘、必得：(20-9。2)(20-。2)=9/,解得c?=2.

c2+W=20

'•a=2,b=5/2.

2

(2)VFtMF2N=(3c,yt)-(c,y2)=0,/.y,y2=-3c<0.

=y；+yj_2yly22一2yly2—2y%=T%%=12c?.

当且仅当y=-y2=Gc或y?=-)i=6c时，取等号.此时|MN|取最小值2j5c.

此时4M+KN=(3c,士&)+(c,岳)=(4c,0)=2Ag.

耳M+gN与尸田共线.

另解:

2

VFtMF2N=O,(3c,y)•(<?,泗)=0，y,y2=-3c.

设MK，N❷的斜率分别为k,-J.

y=«x+c)nM=3仁由，y=一：(x-c)c

由k=%=-7

x=2c

x=2c

1^1=1^-y2l=c-3jt+-226c.当且仅当次=!即％2=_l,/=±也时取等号.

11kk33

即当最小时，k=土弓,

此时耳M+KN=(3c,3履)+(c,-(卜(3c，±Gc)+(c,&)=(4c,0)=2片乙

/,月M+与七工共线.

【答案】(1)a=2,b=y/2.

2

(2)VF}MF2N=(3C,^)-(C,y2)=0,A^y2=-3c<0.

2

|MN『=|>|-y2|=短+y/-2y%2—2y%-2y%=-4y%=12c2.

当且仅当y=-％=也。或%=—y=也。时，取等号.此时|MN|取最小值26c.

此时F{M+F2N=(3c,±\/3c)+(c,V3c)=(4c,0)=2F^F2.

・•・KM+乃N与KK共线.

另解：

VF}MF2N=0,A(3c,y,)-(c,^2)=0,乂乂=-3/.

设MK，N8的斜率分别为k,-1.

由[f(x+c)ny=3人由,

[x=2c

MN|=E-%|=c-3k+，>2>/3c.当且仅当次=1即二=1,女=±且时取等号.

1kk33

即当最小时,左=±.，

此时4M+gN=(3c,3kc)+(c,-*J=(3c,±7^c)+(c,怎)=(4c,0)=2环鸟

耳M+F；N与尸石共线.

二、椭圆的离心率

2222

【例10】椭圆二+与=1和毛+[=k（后＞0）一定具有（）

a~b~a~h~

A.相同的离心率B.相同的焦点

C.相同的顶点D.相同的长轴长

【考点】椭圆的离心率

【难度】1星

【题型】选择

【关键字】无

2222

【解析】将椭圆三+1=大的方程化为标准方程得：着+&=1，不妨设。>人，

故此方程的焦距为2,加-加，长轴长和短轴长分别为2«a、2痴，

离心率为返近三；

yJkaa

22

从而知，它与椭圆[+3=1一定有相同的离心率，选A.

a：b-

【答案】A

【例11】已知匕、鸟是椭圆的两个焦点，过Z且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两

点，若AAB6是正三角形，则这个椭圆的离心率是()

【考点】椭圆的离心率

【难度】2星

【题型】选择

【关键字】无

【解析】由椭圆定义知，正三角形边长为丝，且EE为正三角形的高，2c=—•—,

323

.73

..e=—

3

【答案】B.

【例12】已知耳、入是椭圆的两个焦点，满足M4.^^=0的点M总在椭圆内部，则椭

圆离心率的取值范围是()

16万

A.(0,1)B.(0,-]C.(0,芋)D.[芋，D

【考点】椭圆的离心率

【难度】2星

【题型】选择

【关键字】2008年，江西高考

【解析】满足M4-M"=0的点用在以斗鸟为直径的圆上，故只需即可，从而

_____5

a=y/b2+c2>\[ic,从而e<—.

2

【答案】C

【例13】已知小鸟是椭圆的两个焦点，满足吗g=0的点M总在椭圆内部，则椭

圆离心率的取值范围是()

A.(0,1)B.(0,-]C.(0,1)D.g,l)

【考点】椭圆的离心率

【难度】2星

【题型】选择

【关键字】2008年，江西高考

【解析】满足"4&=0的点M在以大入为直径的圆上，故只需c<6即可，从而

_____5

a=vb2+c2>\[2c,从而e<—.

2

【答案】C

22

【例14】椭圆二+马=1(〃>6>0)的四个顶点为A、B、C、D,若四边形ABC。的内切

CTb-

圆恰好过椭圆的焦点，则椭圆的离心率是()

A.那B.Bc.后-1D石一]

242,4

【考点】椭圆的离心率

【难度】2星

【题型】选择

【关键字】无

\/5-1

【解析】原点O到直线三+2=1的距离等于半焦距,ab_______—cse=_—_____

ab+/a2

【答案】C

222

［15015］设£,K分别是椭圆「+1=1(。>6>0)的左、右焦点，若在直线/』=三上

abc

存在P(其中。=,左-〃),使线段P片的中垂线过点用，则椭圆离心率的取值范

围是

()

A.

【考点】椭圆的离心率

【难度】3星

【题型】选择

【关键字】无

/2\/,2\

【解析】由已知P—,y,所以耳P的中点。的坐标为一，上，

Ic)12c2)

由左一？k-Q

…从，2c2'

kr,p.4°分=-1n)2=2b-

：.丁巾工巾二卜。——！：>o,解得曰<e<l.

当&〜=0时，不存在，此时K为中点，——c=2c=>e=

c

综上得且We<l.

3

利用图象直接分析得到2c>—-c,也可得到正确答案.

C

【答案】D；

【例16］如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P

轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在尸点第二

次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，最终卫星在P点第三次

变轨进入以F为圆心的圆形轨道III绕月飞行，若用2G和2c2分别表示椭轨道【

和II的焦距，用2勾和2%分别表示椭圆轨道I和11的长轴的长，给出下列式子:

①4+C]+。2；®-Cj=a,-C,；③仿。2＞6。2；.

其中正确式子的序号是（）

A.①③B.②③C.①④D.②④

【考点】椭圆的离心率

【难度】3星

【题型】选择

【关键字】2008年，湖北高考

【解析】由题意知4—4=4,一。2=|尸口，又4＞出，于是"士=1一幺＜色二2=1-2

4a,a2a2

=旦＞色.

4«2

【答案】B

【例17】已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为

耳，鸟，且它们在第一象限的交点为P,耳心是以PR为底边的等腰三角形.若

1^1=10,双曲线的离心率的取值范围为（1.2）.则该椭圆的离心率的取值范围

是.

【考点】椭圆的离心率

【难度】3星

【题型】填空

【关键字】2010年，海淀二模

【解析】如图，设桶圆的半长轴长，半焦距分别为q,c,双曲线的半实轴长，半焦距分别

为外，c,|尸用=〃?，|P用=〃，则

〃?+〃=2a{

「"-"=2%=5+c,问题转化为已知i〈工<2,求工的取值范围.

m=10[a2=5-c5-c5+c

n=2c

,wcnl5xcx11

5-<?1+x5+c2x4-124x+2

・・।.111111。J112

.1<x<2,..------<--------------<---------,即一<----------<一.

26241+2210324x+25

【答案】

7

【例18】在△ABC中，AB=BC,cosB=.若以4,8为焦点的椭圆经过点C,则

18

该椭圆的离心率e=.

【考点】椭圆的离心率

【难度】2星

【题型】填空

【关键字】2008年，全国高考

7255

【解析】设A8=BC=1,cosB=一一，则AC?=AS-2AB-BCcosB=—,AC=~,

1893

c,58、，2c3

2a=1+—=—,2c=1,e=

332a-8

3

【答案】-

8

)2

【例19】在平面直角坐标系xO，中，设椭圆1+方=1(a>6>0)的焦距为2c,以点。为

a

圆心，a为半径作圆M.若过点作圆M的两条切线互相垂直，则椭

圆的离心率为.

【考点】椭圆的离心率

【难度】2星

【题型】填空

【关键字】2008年，江苏高考

【解析】依题意，如图，因为两条切线互相垂直,

22

所以得等腰RlAOPB,圆M的半径OB=a,OP=42OB=—,则三=及"，故椭

圆的离心率£=变.

a2

【答案】—

2

22

【例20】已知尸(c,0)是椭圆r+方v=15>10)的右焦点，以坐标原点。为圆心，a为

半径作圆P,过尸垂直于x轴的直线与圆P交于4,8两点，过点A作圆P的切

线交x轴于点若直线/过点M且垂直于4轴，则直线/的方程为

;若|Q4|=|A〃|,则椭圆的离心率等于.

【考点】椭圆的离心率

【难度】3星

【题型】填空

【关键字】2009年，崇文一模

【解析】如图，圆P的方程为d+V=a。，于是A(c,b),

于是直线AM的方程为y-b=-—(x-c),

b

2

令y=0可得M的横坐标为欧+C=d,故直线/为x=£.

CC

2

由|Q4R可得|OM|=0|OA|,即匕=无・正+c2=夜。,

C

从而椭圆的离心率等于注.

2

【答案】x=—,—

c2

22

【例21】设椭圆c：「+马=im>b>o)的左右焦点分别为匕，居，若椭圆上存在一点。,

ab~

使ZFtQF2=120°,试求该椭圆的离心率e的取值范围.

【考点】椭圆的离心率

【难度】3星

【题型】解答

【关键字】无

【解析】记椭圆的焦距为C,由<?=〃2-方\

先研究一般情况：对于椭圆上任意一点P,记N耳尸鸟=6>,求。的取值范围：

设/「耳玛=a,/尸耳E=£,则e=?i-a-力，

且方2c_|Pf；||P用二2c|尸用+|尸马|2a,

sin。sinf)sinasin(a+f3)sina+sin/?sina+sin/?’

工日csin(a+B)、儿八.八/n-0

于是e=—=----------------,设a+Q=2x，a-/?=2y,则nt1=-------,

asina+sin/?2

+sin2xsin2xcosx

有----------------=---------=----=e,

sin(x+y)+sin(x-y)2sinxcosycosy

。的最小值显然为0,只需求。的最大值，也即求x的最小值，

又,故只需求cosx的最大值，显然当y=0即a=夕时，cosx=e最大.

1T_°°Q

此时P点为椭圆的短轴的端点，且cos------=e=sin—,cos0=l-2sin2—=1-2<?2.

222

由题意知：COS120O=—：G[1-2『，1]即可，即i-2/W-g,

解得e》且，故e的取值范围为2,1.

22

或只需N耳8鸟2120。，其中3为椭圆短轴的一个端点，即/耳80260。,

C6

故sinN£8O=—=e2sin600=——.

1a2

【答案】—,1

2

22

【例22】设椭圆C：「+与=1(“>匕>0)的长轴两端点为A、B,若椭圆上存在一点Q,

ab

使ZAQ8=120。，试求该椭圆的离心率e的取值范围.

【考点】椭圆的离心率

【难度】3星

【题型】解答

【关键字】无

【解析】先讨论一般情况，

设P(x0,%)是椭圆上任意一点，不妨设%>0,ZAPB^O,求。的取值范围.

S.B=；x2ax%=jPA"Pqsin6,

又PA,PB=(-a-%，-No>(a-%)，一%)=,小|P@COS6,

两式相除得：tan*22.,又与+乌=i=片=/一4%,

片+¥一。ab-

于是有tan8=-,・.・为£(o,勿，tan0ef-oo,,

OoIc」

且当先=8,即尸为椭圆的短轴的端点时，夕有最大值，夕的最小值为0・

也可以通过APAB来求tan。：

记/PAB=a,/PBA=0,则。=九一2—4，

易知，tana=―,tan〃=一,

玉)+a°一演)

于是tan，=一tan(a+0=-tana+tan^=_2^o,以下同上.

1-tanatanpa-x^-y^

故存在Q点只需tan120°e(-8,-丝，即

-V3W-竺nlabW=>4a2(a2-c2)Oc4,

即3e4+4e2-420ne2逅，即e

3

【答案】

三、椭圆的几何性质

22

【例23】点"是椭圆工+汇=1上一点，它到其中一个焦点6的距离为2,N为M耳的中

2516,

点，。表示原点，贝”ON|=()

3

A.-B.2C.4D.8

2

【考点】椭圆的几何性质

【难度】2星

【题型】选择

【关键字】无

【解析】①设椭圆另一焦点为尸2，则IMI+IM入1=2%而a=5

|河耳|=2,二M5=8,又注意到N、。各为MF、、白乙的中点，

二QV是AWKE；的中位线，|QV|=：|g|=gx8=4

②若联想到第二定义，可以确定点M的坐标，进而求M4中点的坐标，最后利用

两点间的距离公式求出|ON|,但这样就增加了计算量，方法较之①显得有些复杂.

【答案】C:

22

【例24】已知P为椭圆三+匕=1上动点，尸为椭圆的右焦点，点A的坐标为(3,1),则

259

|PF|+|PA|的最小值为()

A.10+夜B.I0-V2C.10+5&D.10-5>/2

【考点】椭圆的几何性质

【难度】3星

【题型】选择

【关键字】无

【解析】易知点A在椭圆内，设椭圆的另一个焦点为尸'，则

|PF|+|PA|=10-(|PFZ|-|E4|),

而|PF'|-|PA|W|A尸'|=5四，二|2尸|+|21及10-5夜，等号仅当4,尸，尸共线.

【答案】D;

YV2

【例25］已知椭圆方程为工+2=1中，耳，£分别为它的两个焦点，则下列说法正确的有

499

()

①焦点在X轴上，其坐标为(±7,0);

②若椭圆上有一点P到F,的距离为10,则P到F2的距离为4；

③焦点在y轴上，其坐标为(0,+2V10)；

④。=49,b=9,c=40.

A.0个B.1个C.2个D.3个

【考点】椭圆的几何性质

【难度】2星

【题型】选择

【关键字】无

【解析】椭圆工+^-=1的焦点在x轴上，a=7,b-3,c=>/40=2>/1（）,

499

故焦点坐标为（±2加，0）,

对于椭圆上任一点尸，有归用+归周=2a=14,故②正确，其它错误.

【答案】B

【例26】椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线

经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、3是它的焦

点，长轴长为2”，焦距为2c,静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿

直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是（）

A.4aB.2（a-c）

C.2（a+c）D.以上答案均有可能

【考点】椭圆的几何性质

【难度】3星

【题型】选择

【关键字】无

【解析】D：

【答案】D;

【例27】P为椭圆三+亡=1上一点，例，N分别是圆（x+3）2+V=4和（x-3）2+V=l

2516

上的点，则+的取值范围是（）

A.[7,13]B.[10,15]C.[10,13]D.[7,15]

【考点】椭圆的几何性质

【难度】3星

【题型】选择

[关键字]2010年，宣武一模

【解析】容易知道耳（-3,0）,乙（3,0）为椭圆的左右焦点，于是归附-2W|PMW,FJ+2,

|明|-1段+1.于是有归用+|尸闾-3W|PM|+|RM尸制+|%|+3.

而归用+1尸周=10.于是|PM|+|/W|w[7,13].

【答案】A:

【例28】过原点O作两条相互垂直的直线分别与椭圆P：5+丫2=1交于A、C与8、D,

则四边形ABCZ）面积的最小值为（）

OA

A.-B.4夜C.2&D.-

33

【考点】椭圆的几何性质

【难度】3星

【题型】选择

【关键字】无

【解析】当两直线中有一条的斜率不存在时，易知两直线为两坐标轴所在的直线，此时

面积为20;

当两条直线的斜率都存在时，设直线AC的方程为y=kx,与椭圆的交点A(4,乂)，

C（-±，-X）,则IAC|="x：+4y：=2+公|xj,

又即券+%k=ln卬=万条，于是

同样的,由直线的方程

1448

因此“8=卓4cliBQ|=:了=T

L/1IoJ

V(l+^)2+l+F2

等号当一r=1即无=±1时取到，

\+k22

又号＜2&,故四边形A8CD面积的最小值是学.

33

【答案】A:

【例29】已知耳、尸2为椭圆]+]=1的两个焦点，过K的直线交椭圆于A、3两点,

若怩川+叵川=12,则|A8|=.

【考点】椭圆的几何性质

【难度】2星

【题型】填空

【关键字】2008年，浙江高考

【解析】忸A|+闺川+内A|+内8|=4a=20,故陷=20-12=8.

【答案】8:

?v2

【例30】已知A(3,2),厂(-4,0),P是椭圆玉+]=1上一点，贝"PA|+|PF|的最大值为

【考点】椭圆的几何性质

【难度】3星

【题型】填空

【关键字】无

【解析】尸为椭圆的左焦点，记尸(4,0),则有|PF|+|PF'|=2a=10,

|PA|+|PF|=|PA|+10-|P尸1=10+|PA|-|PF|,|PA|-|P尸[W|A尸1=6,当且仅当

A,P,U共线，且P点在线段AF的延长线上时取到等号，故归A|+|PF|的最大值

为10+后.

【答案】10+石

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【例31】椭圆三+二=1上的一点P到两焦点的距离的乘积为，〃，则当机取最大值时，点产

925

的坐标是.

【考点】楠圆的几何性质

【难度】3星

【题型】填空

【关键字】无

【解析】记椭圆的二焦点为耳，I，有|「耳|+|「闾=2a=10,

则知m=|尸7讣归周W，尸耳I；.忸闾）=25.

显然当|P娟=|P周=5,即点尸位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25.

故应填（-3,0）或（3,0）.

【答案】（-3,0）或（3,0）.

【例32】设椭圆W+g.=i（a>6>0）的离心率为叵[，尸，A分别是它的左焦点和右顶

a2b22

点，B是它的短轴的一个端点，则/郎等于.

【考点】椭圆的几何性质

【难度】2星

【题型】填空

【关键字】无

【解析】由已知e=£=叵2，即0=避二!易知|8尸产="2.

a22

且IAB|2=|OB|2+\OA\2=h2+a2=a2-c2+a2=^^-a2,

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