理学电阻电路的分析方法

第一部分电路分析基础第1章电路的基本概念和定律第2章电阻电路的分析第3章动态电路分析第4章正弦稳态电路分析第2章电阻电路的分析方法电路分析的基本任务是根据已知的激励（独立源）、电路结构及元件参数求出电路的响应（电流、电压）。理论依据是欧姆定律和基尔霍夫定律2.1支路电流法2.2结点电压法2.3网孔电流法2.4叠加定理2.5等效电源定理2.6受控源2.7非线性电阻电路简介支路电流法，简称支路法，是以支路电流为未知量，根据基尔霍夫定律列出求解支路电流的电路方程。求得支路电流后，再结合元件特性求出其它待求量。2.1支路电流法例1:采用支路电流法分析下面电路解：(1)首先，在电路图中标出各支路电流参考方向和回路绕行方向。(2)对结点a、b列出结点电流方程：结点a:+I1+I2-I3=0(1)

结点b:-I1-I2+I3=0(2)2.1支路电流法b21

+US2

-

+US1-I1aI23R3R2R1上面两个方程等价，是非独立的。任意去掉一个方程后，剩余方程是独立的。一般说来n个结点的电路可以有(n-1)独立的KCL方程。(3)以支路电流为变量，列出各回路的KVL方程：回路1:I1R1+I3R3-US1=0(1)

回路2:I3R3+I2R2-US2=0(2)

回路3:I2R2-US2+US1-I1R1=0(3)2.1支路电流法b21

+US2

-

+US1-I1aI23R3R2R1对于有n个结点、b条支路电路，有(n-1)个独立的KCL方程；b-(n-1)个独立的KVL方程。恰好得到b个独立方程。一般按网孔列出的KVL方程都是独立的。(4)独立的KCL方程和KVL方程联立求解，得到各支路电流。利用支路电流法求解步骤：任意选定各支路电流参考方向；按照基尔霍夫电流定律，对（n-1）个独立结点列出KCL方程；以网孔为独立回路，个数为l=b-(n-1），设定回路方向，列出KVL方程。2.1支路电流法例2：2.1支路电流法在图中标出各支路电流的参考方向和回路绕行方向。(2)由KCL，对结点a、b列出结点电流方程：

结点a:-I1+I2+I4=0(1)

结点b:-I2+I3+I5=0(2)例2：2.1支路电流法(3)以支路电流为未知量，列出各网孔的KVL方程：

网孔l1:R1I1+R4I4=us1(4)

网孔l2:R2I2+R5I5-R4I4=0(5)

网孔l3:R3I3-R5I5=us2(6)在电路中选定一个结点为参考点，其余结点与参考点之间的电压称为结点电压。结点电压法，简称结点法，是一种以结点电压为未知量的电路分析法。与支路法比较，这种方法因方程数减少而较为方便，特别适用于多支路少结点电路的分析求解。2.2结点电压法2.2结点电压法例3:采用结点法分析下面电路231I5I4I3I1IS1+US

-R5R4R3R1IS2R2I2解:(1)选结点3为参考点，并标定各支路电流的参考方向。

(2)记结点1、2的电压为U1和U2。则各支路电压与结点电压的关系：（1）2.2结点电压法(3)根据基尔霍夫电流定律列写结点1和2的KCL方程结点1:-I1-I2-I3-I4+IS1+IS2=0

结点2:

I3+I4+I5-IS2=0(4)将式（1）代入KCL方程：整理得：记为：G11U1+G12U2=Is11G21U1+G22U2=Is222.2结点电压法上式称为结点(电压)方程，其中：G11,G22分别称为结点1和2的自电导，是与相应结点连接的全部电导之和，符号取“+”号；G12，G21称为结点1与2的互电导，是连接在结点1与2之间的所有电导之和，符号取“-”号，G12=G21

。Is11,Is22分别称为结点1和2的等效电流源，是流入相应结点的各电流源电流的代数和。G11U1+G12U2=Is11G21U1+G22U2=Is22231I5I4I3I1IS1+US

-R5R4R3R1IS2R2I2利用结点电压法求解步骤：任意选定某一结点为参考结点，并将其余各结点对应于参考结点的电压（结点电压）作为未知量，指定各结点电压的参考方向均从独立结点指向参考结点；列出结点电压方程；联立求解方程组，解得各结点电压；根据解得的各结点电压值求出其他待求量。2.2结点电压法列结点电压方程时应注意以下两点：自电导为正值，互电导为负值。等效电流源是流入相应节点的电流源的代数和，即当电流源流入相应结点时取“+”号，流出时取“-”号；如果两结点之间有电压源-电阻串联支路，应先将它等效变换为电流源-电阻并联支路后，再列出结点方程。2.2结点电压法例4.用结点法求下图电路中各支路的电流。已知US1=9V,US2=4V,IS=3A,R1=2Ω,R2=4Ω,R3=3Ω。2.2结点电压法

解:(1)应用电源模型等效变换法，将电路中的电压源-电阻串联支路等效为电流源-电阻并联电路，如图(b)所示，其中IS1=US1/R1=9V/2Ω=4.5A;IS2=US2/R2=1A。2.2结点电压法(2)取b点为参考点，用Ua表示结点a的结点电压，列出结点电压方程为2.2结点电压法求的Ua=6V，计算流过R3的电流I3=Ua/R3=2A;（3）根据KCL，有：例5.电路如右图所示，求U和I。2.2结点电压法

分析：电路中有一纯电压源支路，它不能应用电源互换方法变换为电流源，故不能直接按规则列写结点方程。

解决方法：指定连接纯电压源支路的两个结点之一作为参考点，这时连接该电压源的另一结点电位可由电压源端电压求得，无需列写该结点电压方程。2.2结点电压法例5.电路如右图所示，求U和I。

解:(1)设结点4为参考点，设结点1、2、3的电位分别为u1、u2和u3，其结点方程为：结点2：结点1：结点3：由于电流源与电阻串联支路可以等效为电流源支路，不应把与电流源相串联的1Ω电阻计入结点1和3的自电导或互电导中。解得:u1=4V,u3=6V2.2结点电压法例5.电路如右图所示，求U和I。(2)

由欧姆定律，得(3)因为电流源、电阻串联支路电压:

u13=u+1×I=u1-u3

所以:

u=u13-1×I=-3V.由独立源和线性元件组成的电路称为线性电路。叠加定理是体现线性电路特性的重要定理。独立电源代表外界对电路的输入，统称激励。电路在激励作用下产生的电流和电压称为响应（电流或电压）。叠加定理的内容是：对于由多个激励共同作用的线性电路，任一时刻、任一支路中产生的响应，等于各独立源单独作用时在该支路所产生响应的代数和。2.4叠加定理例6求下图中电流i和电压u。解：(1)画出各独立源单独作用时的电路模型。2.4叠加定理图(a)为电压源uS单独作用电路，电流源IS置为零(开路)；图(b)为电流源IS单独作用电路，电压源uS置为零(短路)。例6求下图中电流i和电压u。(2)求出各独立源单独作用时的响应。12.4叠加定理图(a)为电压源uS单独作用时，i′=1.5A;u′=7.5V;图(b)为电流源iS单独作用时，i″=-5A;u″=15V;例6求下图中电流i和电压u。12.4叠加定理（3）由叠加定理求得各独立源共同作用时的电路响应，即为各响应分量的代数和。

i=i'+i"=-3.5A;u=u'+u"=22.5V;(i'、i"与i参考方向一致，;u'、u"与u参考方向均一致)使用叠加定理分析电路时，应该注意如下几点：

叠加定理仅适用于计算线性电路中的电流或电压，而不能用来计算功率(功率与独立源之间不是线性关系)。各独立源单独作用时，其余独立源均置为零(电压源短路，电流源开路)，电源的内电阻应保留在电路中。响应分量叠加是代数量的叠加，当分量与总量的参考方向一致时，取“+”号；参考方向相反时，取“-”号。如果只有一个激励作用于线性电路，那么激励增大K倍时，其响应也增大K倍，即电路响应与激励成正比。这一特性，称为线性电路的齐次性或比例性。

2.4叠加定理适用于分析计算单个支路或局部电路中的电流与电压。二端网络：任何一个具有两个端钮的网络，无论其内部结构如何，都称为二端网络；若网络内部含有独立电源，则称为有源二端网络；无论其内部电路如何复杂，有源二端网络对外等效于一个电源。用电压源等效替换有源二端网络的方法称为戴维南定理；用电流源等效替换有源二端网络的方法称为诺顿定理。2.5等效电源定理戴维南定理：任何线性有源二端网络对外电路而言，总可以用一个独立电压源与一个线性电阻相串联的电路来代替。2.5.1戴维南定理戴维南定理：如图(a)、(b)所示，N为线性有源二端网络，R为待求解支路。等效电压源Uoc数值等于N的端口开路电压。串联电阻Ro等于N内部所有独立源置零（电压源短路、电流源开路）时网络两端之间的等效电阻，如图(c)、(d)所示。2.5.1戴维南定理例7.电路如下图（a）所示，已知：R1=5Ω，R2=6Ω，R3=3Ω，US=9V，IS=3A，用戴维南定理计算R3支路电流I3。+-SI1R2R3R3ISUab分析：求R3支路的电流时，先将R3支路以外的部分看做一个有源二端网络，求出该网络的戴维南等效电路，如图(b)示.UOC0R3R3Iab2.5.1戴维南定理+-SI1R2R3R3ISUab解:(1).等效电压源电压UOC等于a、b两端的开路电压，如图(c)所示，由此可求得:UOC=ISR2+US=3A×6Ω

+9V=27V.(2).将图(c)中的理想电压源短路，理想电流源开路，如图(d)所示，由此可得等效电阻:RO=R2=6Ω.(3).由图(b)求待求支路电流:

I3=UOC／（RO+R3）=3AUOC0R3R3Iab+-SI1R2RSUab+-OCU1R2RabOR2.5.1戴维南定理(a)原电路图(b)等效电路图(c)等效电压源(d)等效电阻例8.用戴维南定理计算下图中的电流I。分析：求RL支路的电流时，先将RL支路以外的部分看做一个有源二端网络，求出该网络的戴维南等效电路。2.5.1戴维南定理(b)等效电压源(a)原电路图解:(1).等效电压源电压UOC等于a、b两端的开路电压。自a、b处断开RL支路，设定UOC参考方向如下图所示，应用叠加定理求得有源二端网络的开路电压：2.5.1戴维南定理UOC=U1+U2=8V+0.5A×8Ω

=12V解:(2).求等效电阻RO。将图中的电压源短路，电流源开路，得下图电路，其等效电阻:Ro=8Ω.(3).画出戴维南等效电路，接入RL支路，求得:I=UOC／（RO+RL）=1A2.5.1戴维南定理等效电阻RO的几种求法：

(1)直接法。应用等效变换方法(如串、并联等)直接求出无源二端网络的等效电阻。

(2)开路/短路法等效电阻Ro在数值上等于有源网络N的端口开路电压Uoc与短路电流Isc之比。

(3)外加电源法。对无源二端网络，在两端之间外加一个电压源Us,求该电源提供的电流Is;或者外加一个电流源Is,求该电源两端的电压Us,此时有Ro=Us/Is.2.5.1戴维南定理使用等效电源定理时应注意：(1)由于等效电源定理的证明过程应用了叠加定理，因此要求被等效的有源二端网络必须是线性的，内部允许含有独立源和线性元件。至于待求支路或外接负载电路，则没有任何限制，可以是有源的或无源的、线性的或非线性的。(2)正确计算等效参数Uoc和Ro是应用等效电源定理的关键，应根据实际情况，选用合理方法求解。(画等效电源电路时，应注意等效电源的参考方向。)2.5.1戴维南定理（1）介绍了电阻电路分析的一般方法，主要介绍了之路电流法和结点电压法。（借助于基尔霍夫定律和欧姆定律）（2）重点学习了线性电路的两个重要定理：叠加定理等效电源定理：戴维南定理回顾：诺顿定理：任何线性有源二端网络对外电路而言，总可以用一个独立电流源与一个线性电阻相并联的电路来代替。2.5.2诺顿定理诺顿定理：如图(a)、(b)所示，N为线性有源二端网络，R为待求解支路。等效电流源的Isc数值等于N的端口短路电流。并联电阻Ro等于N内部所有独立源置零（电压源短路、电流源开路）时无源网络两端之间的等效电阻，如图(c)、(d)所示。2.5.2诺顿定理例9.用诺顿定理计算下图中的电流I。分析：求RL支路的电流时，先将RL支路以外的部分看做一个有源二端网络，求出该网络的诺顿等效电路。2.5.2诺顿定理(b)等效电压源(a)原电路图解:(1).等效电流源电流ISC等于a、b两端的短路电流。连接a、b，设定ISC参考方向如下图所示，应用叠加定理求得有源二端网络的短路电流：2.5.2诺顿定理ISC=I1+I2=1A+0.5A

=1.5A解:(2).求等效电阻RO。将图中的电压源短路，电流源开路，得下图电路，其等效电阻:Ro=8Ω.(3).画出戴维南等效电路，接入RL支路，求得:I=ISC×RO／(RO+RL)=1.5×8/12=1A2.5.2诺顿定理2.5.3最大功率传输定理

设一线性有源二端网络用戴维南等效电路进行等效，并在端钮处外接负载RL。当负载改变时，它所获得的功率也不同。试问对于给定的有源二端网络，负载满足什么条件时，才能从网络中获得最大的功率呢?

负载获得的功率可表示为：2.5.3最大功率传输定理

为了求得最大功率PL，将上式对RL求导，并令其为零，即

当负载满足RL=RO时，负载获得最大功率PLmax。

2.5.3最大功率传输定理例10.如图所示电路，若负载RL为何值时，获得最大功率?解：采用戴维南定理，求出等效电压源电压：等效电阻：

Ro=R3+(R1∥R2)=4+(6∥12)=8Ω根据最大功率传输条件，当RL=Ro时，负载RL将获得最大功率。2.5.3最大功率传输定理进一步讨论：当RL=8Ω时，不难求得：

IO=1A;IL=0.5A;负载吸收功率:PL=I2L×RL=2W;电压源产生功率:PS=IO×US=12W;由此可见，电路满足最大功率传输条件，并不意味着能保证有高的功率传输效率，这是因为有源二端网络内部存在功率消耗。因此，对于电力系统而言，如何有效地传输和利用电能是非常重要的问题，应设法减少损耗,提高效率。PL在PS中占的百分比值称为电路的功率传输效率.2.6受控源

第1章中介绍了电压源和电流源，它们的输出电压或电流完全由自身的特性所决定，而与电路中其他地方的电压或电流无关，故称为独立电源或独立源。

受控电源，简称受控源，是一种输出电压或电流受电路中其他电压或电流控制的电源元件。它们是根据某些电子器件的“受控”特性建立起来的理想化模型。例如晶体三极管的电路模型。

Ib为控制变量，Ic为受控变量，β为控制系数。2.6受控源

受控源是双端口元件，含控制变量的端口为输入端口，含受控变量的端口为输出端口。根据控制变量与受控变量之间不同的控制方式，可把受控源分成下面四种类型：压控电压源(VCVS):表示电压源输出电压的大小、方向要受控制变量的控制。若控制变量为U1,则输出电压为μU1;流控电压源(CCVS)压控电流源(VCCS)流控电流源(CCCS)2.6受控源图中μ、r、g和β为控制参数，分别称为电压放大倍数(无量纲)、转移电阻(量纲为Ω)、转移电导(量纲为S)和电流放大倍数(无量纲)。控制参数为常数的受控源，称作线性受控源，本课程只涉及线性受控源。受控源改用菱形符号标记，以与独立源相区别。2.6受控源独立源和受控源：联系:两者都能输出规定的电压或电流。差别:在电路中所起的作用是完全不同的。独立源作为电路的输入，代表外界对电路的激励，是电路能量的提供者。受控源则是用来表征电路内部某处的电流或电压对另一处电流或电压的控制作用，它不代表输入或激励。2.6受控源分析含受控源电路：应用叠加定理时，受控源不能单独作用于电路，当其他独立电源单独作用时，受控源要保留在电路中。应用戴维南定理时，求开路电压UOC是对含受控源电路的计算。求等效电阻RO时，去掉独立源，受控源要同电阻一样保留，此时等效电阻的计算采用外加电源法，即在两端口处外加一电压U，求得端口处的电流I，则等效电阻Ro=U/I。受