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文档简介
基本内容二次根式
知识精要
一、二次根式
在之前数的开方学习中,我们懂得如果一个数的平方等于a(a20),即x2=a(a20)。
那么这个数X叫做a的平方根,写成x=±JZ,即代数式g(a20)叫做a的二次根式。
其中。是被开方数(可为整式或分式).G有意义的条件是a之0,所以&也大于等于0。
二、二次根式的性质
a(a>0)
性质1Va?=a(a>0);※疔=同=<。(。=。)
-a(a<0)
性质2(«)2=a(a>0);
性质34ab=4a-4b(a>0,Z>>0)
X4ab=A/-a-4--b{a<Q,b<0)
性质4=(a>0,Z?>0)一般地,我们有]at)?=~\b\Va
三、最简二次根式
1.化简二次根式
把二次根式里被开方数所含的完全平方因式移到根号外,或者化去被开方数的分母的
过程,称为化简二次根式,通常把形如(a>0)的式子叫做最简二次根式。
2.化简后的二次根式中:
(1)被开方数中各因式的指数都为1;(2)被开方数不含分母。
3.最简二次根式必须满足二个条件:
(1)被开方数中各因数是整数,因式是整式;(2)被开方数中不含能开的尽方的因数或因式。
四、同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,那么这几个根式叫做同类二
次根式。
同类二次根式可以合并.
注:要判断几个根式是否为同类根式,不一定非要化成最简形式,实际上只要化成某一
种形式后,在这种形式下,被开方数相同就可以了。
五、二次根式的运算
1.二次根式的加法和减法
一般过程:先把各个二次根式化为最简二次根式,再把同类二次根式分别合并.(化简+合并)
2.二次根式的乘法和除法
(1)两个二次根式相乘,被开方数相乘,根指数不变;
(2)两个二次根式相除,被开方数相除,根指数不变.
3.分母有理化
把分母中的根号化去就是分母有理化.即是指分母不含二次根式的运算的技术。
分母有理化的方法是把分子和分母都乘以同一个适当的代数式,使分母不含根号.
上述的适当代数式即是指有理化因式。
热身练习
1、已知x是实数,当x满足什么条件时,下列各式有意义?
1)J2x-1;2)Y2-x;3);4)Jl+X?
2、若5x+l没有平方根,则x的取值范围是
3、J-S+l)?是实数,则々=
4、如果丫―在实数范围内有意义,则x的取值范围是____________
2-W
5、y[xy=7%>6成立的条件是
/X—3yX—3,、.、,,一,.,r
6、J------=―/成立的木件ZE___________________
Vx+3Jx+3
7、判断下列二次根式是不是最简二次根式:
1)楞2)^2a3)/24/4)+2a+l)(a之一1)
m+n,八、
-------(m>n>0)
m-n
9、下列二次根式,那些是同类二次根式:
V12,724,J—,27^("。),-4ab^(a>0)
10、若0<x<l,化简---y+4-个(xT—)2—4
11、设小b、。分别是三角形三边的长,化简:J(a—b+c)2—c—
精解名题
;J36x+6^^-
例1、Q2N8a+J50〃3F2
2\a
3V2•2V12•(―;.)•3748
例2、yla+b-^^1a2c-b2c(a>b>0)
例3、解下列方程和不等式:
(])~2A/6X=-2V2(2)J5x+6V3>3A/5X⑶42x+6V2>V3x
例4、已知x二---,求---------]
二的值
3+2V2x+71+x2
例5、已知:JaZ是一个正整数
(1)写出最小的正整数。
(2)这样的正整数。有多少个?如果有有限个,请写出来;如果有无数个,则。是怎样的一
个整数?
例6、已知:y=j4—x+Jx—4+3,求―+/的平方根。
例7、已知:实数满足X?+2x+4y?-4y+2=0。求:的值
例8、若分别表示5-柄的整数部分和小数部分,求/+丁2的值。
巩固训练:
一、填空题
1、计算:V8+V2=。
2、如果,5与J万是同类二次根式,那么x的值可以是(只需写出一个)。
3、x取6,9,12,18中的时,五与若是同类二次根式。
4、若最简二次根式而1,伍'是同类二次根式,则2=o
5、计算:小^3Q=__________;等=__________;他—2)8(5+2,=__________
\/2x
6、当2=时,最简根式-2」3a-7和3J2a-3是同类根式。
7、三角形三边a=7刷,b=4#,0=2^98,则周长是
若」上是最简二次根式,则b可取的自然数有
8、
\b-\
9、若也…和J33g2〃+2都是最简二次根式,贝卜〃=,〃=
二、选择题:
1、下列二次根式中,最简二次根式是()
2、己知。>0,那么可化简为()
A.2bd-ab;B.—Jab;C.—J-ab;D.—J-ab
bbb
3、下列二次根式中,与否不是同类二次根式的为()
C.Toj;
4、下列说法正确的是()
A、任何两个根式都可化为同类根式;B、最简二次根式一定是同类二次根式;
、炉工7是最简根式。
C、同类根式一定是最简根式;D
5、最简根式2“埒4a+36和代12a-6+8是同类根式,则()
A.a=l,b=l;B.a=l,b=2;C.a=2,b=l;D.a=2,b=2
6、下列各式中与省是同类二次根式的是()。
D.V12
7、如果最简二次根式J3a-8和J17-2a是同类二次根式,那么使J4a—2x有意义的x
的取值范围是()
A.x<10;B.x>0;C.x<10;D.x>0
8、把(a-b)六化成最简二次根式,正确的结果是()
9、在二次根式麻,田,皿,坐,中,最简二次根式个数是()
A.1个;B.2个;C.3个;D.4个
10、下列各组二次根式中,同类二次根式是()
A.3小;B.3小,店;
三、简答题
1、比较大小:
|与、11;(2)市-^2与2镜-1;(3)^35一用与用-^33。
2、计算与化简:
(1)(\/18+A/48)•(^yf2—A/12)三—A/2)";
(2)[V2(1+V3)]2-(V2-V6)2;
(3)(^48-6^05)(4^3+标)一(2小-3^2)2;
(4)J而2(c+1)2;0.01x64
0.36x324
(x>3y)o
x"Vx
自我测试
1、若X?=a(a>0),则x叫做。的,记做x=o
2、若最简二次根式/J4/+1与=J6a2-1是同类二次根式,则。=
23
3、16的平
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