沪教版八年级上册二次根式

基本内容二次根式

知识精要

一、二次根式

在之前数的开方学习中，我们懂得如果一个数的平方等于a(a20),即x2=a(a20)。

那么这个数X叫做a的平方根，写成x=±JZ,即代数式g(a20)叫做a的二次根式。

其中。是被开方数(可为整式或分式).G有意义的条件是a之0,所以&也大于等于0。

二、二次根式的性质

a(a>0)

性质1Va?=a(a>0)；※疔=同=<。(。=。)

-a(a<0)

性质2(«)2=a(a>0);

性质34ab=4a-4b(a>0,Z>>0)

X4ab=A/-a-4--b{a<Q,b<0)

性质4=(a>0,Z?>0)一般地，我们有］at)?=~\b\Va

三、最简二次根式

1.化简二次根式

把二次根式里被开方数所含的完全平方因式移到根号外，或者化去被开方数的分母的

过程,称为化简二次根式,通常把形如(a>0)的式子叫做最简二次根式。

2.化简后的二次根式中：

(1)被开方数中各因式的指数都为1；(2)被开方数不含分母。

3.最简二次根式必须满足二个条件：

(1)被开方数中各因数是整数，因式是整式；(2)被开方数中不含能开的尽方的因数或因式。

四、同类二次根式

几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个根式叫做同类二

次根式。

同类二次根式可以合并.

注：要判断几个根式是否为同类根式，不一定非要化成最简形式，实际上只要化成某一

种形式后，在这种形式下，被开方数相同就可以了。

五、二次根式的运算

1.二次根式的加法和减法

一般过程：先把各个二次根式化为最简二次根式,再把同类二次根式分别合并.(化简+合并)

2.二次根式的乘法和除法

(1)两个二次根式相乘，被开方数相乘,根指数不变；

(2)两个二次根式相除，被开方数相除,根指数不变.

3.分母有理化

把分母中的根号化去就是分母有理化.即是指分母不含二次根式的运算的技术。

分母有理化的方法是把分子和分母都乘以同一个适当的代数式,使分母不含根号.

上述的适当代数式即是指有理化因式。

热身练习

1、已知x是实数，当x满足什么条件时，下列各式有意义？

1)J2x-1；2)Y2-x；3)；4)Jl+X?

2、若5x+l没有平方根，则x的取值范围是

3、J-S+l)?是实数,则々=

4、如果丫―在实数范围内有意义，则x的取值范围是____________

2-W

5、y[xy=7%>6成立的条件是

/X—3yX—3,、.、，，一，.，r

6、J------=―/成立的木件ZE___________________

Vx+3Jx+3

7、判断下列二次根式是不是最简二次根式：

1)楞2)^2a3)/24/4)+2a+l)(a之一1)

m+n,八、

-------(m>n>0)

m-n

9、下列二次根式，那些是同类二次根式:

V12,724,J—,27^("。)，-4ab^(a>0)

10、若0<x<l,化简---y+4-个(xT—)2—4

11、设小b、。分别是三角形三边的长，化简：J(a—b+c)2—c—

精解名题

；J36x+6^^-

例1、Q2N8a+J50〃3F2

2\a

3V2•2V12•(―；.)•3748

例2、yla+b-^^1a2c-b2c(a>b>0)

例3、解下列方程和不等式：

(])~2A/6X=-2V2(2)J5x+6V3>3A/5X⑶42x+6V2>V3x

例4、已知x二---,求---------]

二的值

3+2V2x+71+x2

例5、已知：JaZ是一个正整数

(1)写出最小的正整数。

(2)这样的正整数。有多少个？如果有有限个，请写出来；如果有无数个，则。是怎样的一

个整数？

例6、已知：y=j4—x+Jx—4+3,求―+/的平方根。

例7、已知：实数满足X?+2x+4y?-4y+2=0。求:的值

例8、若分别表示5-柄的整数部分和小数部分，求/+丁2的值。

巩固训练：

一、填空题

1、计算：V8+V2=。

2、如果，5与J万是同类二次根式，那么x的值可以是(只需写出一个)。

3、x取6,9,12,18中的时，五与若是同类二次根式。

4、若最简二次根式而1,伍'是同类二次根式，则2=o

5、计算:小^3Q=__________；等=__________;他—2)8(5+2,=__________

\/2x

6、当2=时，最简根式-2」3a-7和3J2a-3是同类根式。

7、三角形三边a=7刷，b=4#,0=2^98,则周长是

若」上是最简二次根式，则b可取的自然数有

8、

\b-\

9、若也…和J33g2〃+2都是最简二次根式,贝卜〃=,〃=

二、选择题:

1、下列二次根式中，最简二次根式是（）

2、己知。>0,那么可化简为（)

A.2bd-ab；B.—Jab；C.—J-ab；D.—J-ab

bbb

3、下列二次根式中，与否不是同类二次根式的为（）

C.Toj；

4、下列说法正确的是（）

A、任何两个根式都可化为同类根式;B、最简二次根式一定是同类二次根式;

、炉工7是最简根式。

C、同类根式一定是最简根式；D

5、最简根式2“埒4a+36和代12a-6+8是同类根式,则（）

A.a=l,b=l；B.a=l,b=2；C.a=2,b=l；D.a=2,b=2

6、下列各式中与省是同类二次根式的是（）。

D.V12

7、如果最简二次根式J3a-8和J17-2a是同类二次根式,那么使J4a—2x有意义的x

的取值范围是（）

A.x<10；B.x>0；C.x<10；D.x>0

8、把(a-b)六化成最简二次根式，正确的结果是()

9、在二次根式麻，田,皿,坐，中，最简二次根式个数是()

A.1个；B.2个；C.3个；D.4个

10、下列各组二次根式中，同类二次根式是()

A.3小；B.3小，店;

三、简答题

1、比较大小:

|与、11;(2)市-^2与2镜-1；(3)^35一用与用-^33。

2、计算与化简：

(1)(\/18+A/48)•(^yf2—A/12)三—A/2)"；

(2)[V2(1+V3)]2-(V2-V6)2；

(3)(^48-6^05)(4^3+标)一(2小-3^2)2；

(4)J而2(c+1)2；0.01x64

0.36x324

(x>3y)o

x"Vx

自我测试

1、若X?=a(a>0),则x叫做。的,记做x=o

2、若最简二次根式/J4/+1与=J6a2-1是同类二次根式,则。=

23

3、16的平