新高考数学二轮复习强化练习专题20 解析几何中的范围、最值和探索性问题（讲）（解析版）

第一篇热点、难点突破篇专题20解析几何中的范围、最值和探索性问题（讲）真题体验感悟高考1．（2022·浙江·统考高考真题）如图，已知椭圆SKIPIF1<0．设A，B是椭圆上异于SKIPIF1<0的两点，且点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上，直线SKIPIF1<0分别交直线SKIPIF1<0于C，D两点．(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值；(2)求SKIPIF1<0的最小值．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0．【分析】（1）设SKIPIF1<0是椭圆上任意一点,再根据两点间的距离公式求出SKIPIF1<0，再根据二次函数的性质即可求出；（2）设直线SKIPIF1<0与椭圆方程联立可得SKIPIF1<0，再将直线SKIPIF1<0方程与SKIPIF1<0的方程分别联立，可解得点SKIPIF1<0的坐标，再根据两点间的距离公式求出SKIPIF1<0，最后代入化简可得SKIPIF1<0，由柯西不等式即可求出最小值．【详解】（1）设SKIPIF1<0是椭圆上任意一点,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号，故SKIPIF1<0的最大值是SKIPIF1<0.（2）设直线SKIPIF1<0,直线SKIPIF1<0方程与椭圆SKIPIF1<0联立,可得SKIPIF1<0,设SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,同理可得,SKIPIF1<0.则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号，故SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.【点睛】本题主要考查最值的计算，第一问利用椭圆的参数方程以及二次函数的性质较好解决，第二问思路简单，运算量较大，求最值的过程中还使用到柯西不等式求最值，对学生的综合能力要求较高，属于较难题．2.（2021·北京·统考高考真题）已知椭圆SKIPIF1<0一个顶点SKIPIF1<0，以椭圆SKIPIF1<0的四个顶点为顶点的四边形面积为SKIPIF1<0．（1）求椭圆E的方程；（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交y=-3交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0．【分析】（1）根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求SKIPIF1<0，从而可求椭圆的标准方程.（2）设SKIPIF1<0，求出直线SKIPIF1<0的方程后可得SKIPIF1<0的横坐标，从而可得SKIPIF1<0，联立直线SKIPIF1<0的方程和椭圆的方程，结合韦达定理化简SKIPIF1<0，从而可求SKIPIF1<0的范围，注意判别式的要求.【详解】（1）因为椭圆过SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因为四个顶点围成的四边形的面积为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故椭圆的标准方程为：SKIPIF1<0.（2）设SKIPIF1<0，因为直线SKIPIF1<0的斜率存在，故SKIPIF1<0，故直线SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0.直线SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0又SKIPIF1<0SKIPIF1<0故SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，综上，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.3.（2021·全国·高考真题）抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：SKIPIF1<0交C于P，Q两点，且SKIPIF1<0．已知点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0与l相切．（1）求C，SKIPIF1<0的方程；（2）设SKIPIF1<0是C上的三个点，直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均与SKIPIF1<0相切．判断直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的位置关系，并说明理由．【答案】（1）抛物线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0；（2）相切，理由见解析【分析】（1）根据已知抛物线与SKIPIF1<0相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设出SKIPIF1<0坐标，由SKIPIF1<0，即可求出SKIPIF1<0；由圆SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0相切，求出半径，即可得出结论；（2）方法一：先考虑SKIPIF1<0斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若SKIPIF1<0斜率存在，由SKIPIF1<0三点在抛物线上，将直线SKIPIF1<0斜率分别用纵坐标表示，再由SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切，得出SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的关系，最后求出SKIPIF1<0点到直线SKIPIF1<0的距离，即可得出结论.【详解】（1）依题意设抛物线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以抛物线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相切，所以半径为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0；（2）[方法一]：设SKIPIF1<0若SKIPIF1<0斜率不存在，则SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0，根据对称性不妨设SKIPIF1<0，则过SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切的另一条直线方程为SKIPIF1<0，此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在SKIPIF1<0，不合题意；若SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0，根据对称性不妨设SKIPIF1<0则过SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切的直线SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此时直线SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称，所以直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切；若直线SKIPIF1<0斜率均存在，则SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，同理直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切，SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切，同理SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0为方程SKIPIF1<0的两根，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切；综上若直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切，则直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切.[方法二]【最优解】：设SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，同解法1．当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．由直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相切得SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，同理，由直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相切得SKIPIF1<0．因为方程SKIPIF1<0同时经过点SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的直线方程为SKIPIF1<0，点M到直线SKIPIF1<0距离为SKIPIF1<0．所以直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相切．综上所述，若直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相切，则直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相切．【整体点评】第二问关键点：过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题转化为只与纵坐标（或横坐标）有关；法一是要充分利用SKIPIF1<0的对称性，抽象出SKIPIF1<0与SKIPIF1<0关系，把SKIPIF1<0的关系转化为用SKIPIF1<0表示，法二是利用相切等条件得到SKIPIF1<0的直线方程为SKIPIF1<0，利用点到直线距离进行证明，方法二更为简单，开拓学生思路总结规律预测考向（一）规律与预测纵观近几年的高考试题，高考对圆锥曲线的考查，选择题、填空题、解答题三种题型均有，主要考查以下几个方面：一是考查椭圆、双曲线、抛物线的定义，与椭圆的焦点三角形结合，解决椭圆、三角形等相关问题；二是考查圆锥曲线的标准方程，结合基本量之间的关系，利用待定系数法求解；三是考查圆锥曲线的几何性质，小题较多地考查抛物线、双曲线的几何性质；四是考查直线与圆锥曲线（椭圆、抛物线较多）位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式等.近几年，小题多用于考查抛物线、双曲线的定义、标准方程、几何性质等，命题角度呈现较强的灵活性；解答题主要考查直线与椭圆的位置关系，涉及三角形面积、参数范围、最值、定值、定点、定直线等问题，命题方向多变，难度基本稳定.近两年，直线与与双曲线的位置关系的主观题连续出现！（二）本专题考向展示考点突破典例分析考向一范围、最值问题【核心知识】1.几何法:通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解.2.代数法:把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数解析式，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.或合理构建函数关系式后，用换元法，求导法，配方法等求最值.【典例分析】典例1.（2021·全国·统考高考真题）已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0上点的距离的最小值为SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0；（2）若点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的两条切线，SKIPIF1<0是切点，求SKIPIF1<0面积的最大值．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【分析】（1）根据圆的几何性质可得出关于SKIPIF1<0的等式，即可解出SKIPIF1<0的值；（2）设点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，利用导数求出直线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，进一步可求得直线SKIPIF1<0的方程，将直线SKIPIF1<0的方程与抛物线的方程联立，求出SKIPIF1<0以及点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离，利用三角形的面积公式结合二次函数的基本性质可求得SKIPIF1<0面积的最大值.【详解】（1）[方法一]：利用二次函数性质求最小值由题意知，SKIPIF1<0，设圆M上的点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．从而有SKIPIF1<0SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，解之得SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0．[方法二]【最优解】：利用圆的几何意义求最小值抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0上点的距离的最小值为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；（2）[方法一]：切点弦方程+韦达定义判别式求弦长求面积法抛物线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，对该函数求导得SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，同理可知，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，由于点SKIPIF1<0为这两条直线的公共点，则SKIPIF1<0，所以，点A、SKIPIF1<0的坐标满足方程SKIPIF1<0，所以，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，由韦达定理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由已知可得SKIPIF1<0，所以，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的面积取最大值SKIPIF1<0.[方法二]【最优解】：切点弦法+分割转化求面积+三角换元求最值同方法一得到SKIPIF1<0．过P作y轴的平行线交SKIPIF1<0于Q，则SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．P点在圆M上，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0的面积最大，最大值为SKIPIF1<0．[方法三]：直接设直线AB方程法设切点A，B的坐标分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0和抛物线C的方程得SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0．判别式SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．抛物线C的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0．则SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0．联立方程SKIPIF1<0可得点P的坐标为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．将点P的坐标代入圆M的方程，得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0．由弦长公式得SKIPIF1<0SKIPIF1<0．点P到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．【整体点评】（1）方法一利用两点间距离公式求得SKIPIF1<0关于圆M上的点SKIPIF1<0的坐标的表达式，进一步转化为关于SKIPIF1<0的表达式，利用二次函数的性质得到最小值，进而求得SKIPIF1<0的值；方法二，利用圆的性质，SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0上点的距离的最小值，简洁明快，为最优解；（2）方法一设点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，利用导数求得两切线方程，由切点弦方程思想得到直线SKIPIF1<0的坐标满足方程SKIPIF1<0，然手与抛物线方程联立，由韦达定理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，利用弦长公式求得SKIPIF1<0的长，进而得到面积关于SKIPIF1<0坐标的表达式，利用圆的方程转化得到关于SKIPIF1<0的二次函数最值问题；方法二，同方法一得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过P作y轴的平行线交SKIPIF1<0于Q，则SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0求得面积关于SKIPIF1<0坐标的表达式，并利用三角函数换元求得面积最大值，方法灵活，计算简洁，为最优解；方法三直接设直线SKIPIF1<0，联立直线SKIPIF1<0和抛物线方程，利用韦达定理判别式得到SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．利用点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上，求得SKIPIF1<0的关系，然后利用导数求得两切线方程，解方程组求得P的坐标SKIPIF1<0，进而利用弦长公式和点到直线距离公式求得面积关于SKIPIF1<0的函数表达式，然后利用二次函数的性质求得最大值；典例2.（2023春·广东清远·高三校联考阶段练习）已知双曲线SKIPIF1<0的右焦点为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0的右支相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，点SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称的点为SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.(1)求双曲线SKIPIF1<0的方程；(2)若SKIPIF1<0的外心为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.【分析】(1)设双曲线的半焦距为SKIPIF1<0，由条件列关于SKIPIF1<0的方程，解方程求SKIPIF1<0可得双曲线方程；(2)设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，利用设而不求法求点SKIPIF1<0的坐标，利用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0，再求其范围.【详解】（1）设双曲线的半焦距为SKIPIF1<0，因为双曲线SKIPIF1<0的右焦点为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称，所以当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故双曲线方程为SKIPIF1<0；（2）若直线SKIPIF1<0的斜率为0，则直线SKIPIF1<0与双曲线右支只有一个交点，与已知矛盾，所以可设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，消SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，方程SKIPIF1<0的判别式SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由已知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以线段SKIPIF1<0的中点坐标为SKIPIF1<0，所以线段SKIPIF1<0的垂直平分线方程为SKIPIF1<0，又线段SKIPIF1<0的垂直平分线方程为SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.【点睛】直线与双曲线的综合问题，一般利用设而不求法解决；其中范围或最值问题，一般利用设而不求法求出变量的解析式，再结合函数方法求其范围或最值.典例3.（2022秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期末）已知椭圆C:SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0,且过SKIPIF1<0(1)求C的方程.(2)若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上不与SKIPIF1<0重合的两点,SKIPIF1<0为原点,且SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,①求直线SKIPIF1<0的斜率;②与SKIPIF1<0平行的直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0,SKIPIF1<0两点,求SKIPIF1<0面积的最大值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)①SKIPIF1<0;②SKIPIF1<0【分析】(1)根据已知条件列方程组求解即可;(2)①设SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0,可得点SKIPIF1<0的坐标,将点SKIPIF1<0的坐标代入椭圆的方程,与已知条件结合即可得到结果;②由①知设SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0,联立直线与曲线SKIPIF1<0的方程,根据弦长公式求出SKIPIF1<0的长,根据点到直线的距离公式表示出SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离,将SKIPIF1<0的面积用SKIPIF1<0表示,利用导数进行求解即可.【详解】（1）由题意可得SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.所以,SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.（2）①设SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0,所以点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0,又因为点SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上,所以SKIPIF1<0,化简可得SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上不与SKIPIF1<0重合的两点,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,即直线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0.②设SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0,消去SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0面积为SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0;当SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增,在SKIPIF1<0,SKIPIF1<0上单调递减,所以SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0面积的最大值为SKIPIF1<0.典例4.（2020·浙江·统考高考真题）如图，已知椭圆SKIPIF1<0，抛物线SKIPIF1<0，点A是椭圆SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0的交点，过点A的直线l交椭圆SKIPIF1<0于点B，交抛物线SKIPIF1<0于M（B，M不同于A）．（Ⅰ）若SKIPIF1<0，求抛物线SKIPIF1<0的焦点坐标；（Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．【答案】（Ⅰ）SKIPIF1<0；（Ⅱ）SKIPIF1<0【分析】（Ⅰ）求出抛物线标准方程，从而可得答案；（Ⅱ）方法一使用韦达定理、中点公式和解方程法分别求得SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的表达式，得到关于SKIPIF1<0的方程，利用基本不等式消去参数，得到关于SKIPIF1<0的不等式，求解得到SKIPIF1<0的最大值；方法二利用韦达定理和中点公式求得SKIPIF1<0的坐标关于SKIPIF1<0的表达式，根据点SKIPIF1<0在椭圆上，得到关于SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的函数表达式，利用基本不等式和二次函数的性质得解，运算简洁，为最优解；方法三利用点差法得到SKIPIF1<0．根据判别式大于零，得到不等式SKIPIF1<0，通过解方程组求得SKIPIF1<0，代入求解得到SKIPIF1<0的最大值；方法四利用抛物线的参数方程设出点SKIPIF1<0的参数坐标，利用斜率关系求得SKIPIF1<0的坐标关于SKIPIF1<0的表达式．作换元SKIPIF1<0，利用点A在椭圆上，得到SKIPIF1<0，然后利用二次函数的性质求得SKIPIF1<0的最大值【详解】（Ⅰ）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，故抛物线SKIPIF1<0的焦点坐标为SKIPIF1<0；（Ⅱ）[方法一]：韦达定理基本不等式法设SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0在抛物线上，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0即SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0.[方法二]【最优解】：设直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.将直线SKIPIF1<0的方程代入椭圆SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0的纵坐标为SKIPIF1<0.将直线SKIPIF1<0的方程代入抛物线SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取到最大值为SKIPIF1<0.[方法三]：点差和判别式法设SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0．整理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0．因为存在SKIPIF1<0，所以上述关于SKIPIF1<0的二次方程有解，即判别式SKIPIF1<0．

①由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0．因此SKIPIF1<0，将此式代入①式解得SKIPIF1<0．当且仅当点M的坐标为SKIPIF1<0时，p的最大值为SKIPIF1<0．[方法四]：参数法设SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，点A坐标代入椭圆方程中，得SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，此时M坐标为SKIPIF1<0．典例5.（2023春·云南·高三校联考开学考试）在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，且过点SKIPIF1<0．(1)求椭圆C的方程；(2)如图所示，动直线SKIPIF1<0交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M．点N是M关于O的对称点，SKIPIF1<0的半径为SKIPIF1<0．设D为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0分别相切于点E，F，求SKIPIF1<0的最小值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）由离心率SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，再根据椭圆SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，代入椭圆方程，进而可求出SKIPIF1<0；（2）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，可得到关于SKIPIF1<0的一元二次方程，结合韦达定理，可求得点SKIPIF1<0的坐标，进而得出SKIPIF1<0的表达式，整理得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，进而可求得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，即可得到SKIPIF1<0的最小值，及SKIPIF1<0的最小值.【详解】（1）∵椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又椭圆C过点SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，则椭圆C的方程为SKIPIF1<0．（2）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时等号成立，此时SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，此时直线SKIPIF1<0的斜率是0．综上所述：当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取到最小值SKIPIF1<0．【点睛】思路点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数关系之间的关系、弦长、斜率、面积等问题.【规律方法】1.最值问题的常见方法(1)利用判别式来构造不等关系．(2)利用已知参数的范围，在两个参数之间建立函数关系．(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式．(4)利用基本不等式．2.解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．考向二探索性问题【核心知识】1.圆锥曲线中探索问题的求解策略（1）此类问题一般分为探究条件、探究结论两种．若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，不成立则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论．（2）求解步骤：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在，否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．2.存在性问题常用方法：法1：特值探路；法2：假设存在..

【典例分析】典例6.（2022·浙江金华·高三浙江金华第一中学校考竞赛）在平面直角坐标系中，已知双曲线SKIPIF1<0.过原点SKIPIF1<0作两条互相垂直的直线SKIPIF1<0分别交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点和SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴同侧.(1)求四边形SKIPIF1<0面积的取值范围；(2)设直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的两渐近线分别交于SKIPIF1<0两点，是否存在直线SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的三等分点？若存在，求出直线SKIPIF1<0的方程；若不存在，请说明理由.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)不存在，理由见解析【分析】（1）设SKIPIF1<0，联立直线方程和双曲线方程后可求SKIPIF1<0，从而可求SKIPIF1<0及SKIPIF1<0的取值范围，利用面积公式可求四边形SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0，结合基本不等式可求面积的范围.（2）设SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，由三等分点在双曲线上可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，代数变形后可得矛盾，从而可判断直线SKIPIF1<0不存在.【详解】（1）由题设可知直线SKIPIF1<0的斜率均存在且均不为零.设SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.同理SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0故四边形SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为增函数，在SKIPIF1<0上为减函数.因此，当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故四边形SKIPIF1<0面积的取值范围为SKIPIF1<0.（2）先考虑SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上方，且SKIPIF1<0在第一象限，SKIPIF1<0在第二象限.设SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的三等分点，则SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，整理得到SKIPIF1<0，无解.故满足条件的直线SKIPIF1<0不存在，由双曲线的对称性可得直线SKIPIF1<0不存在.典例7.（2020·山东·统考高考真题）已知椭圆C：SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，且过点SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的方程：（2）点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为垂足．证明：存在定点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0为定值．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）详见解析.【分析】（1）由题意得到关于SKIPIF1<0的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程.（2）方法一：设出点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的坐标，在斜率存在时设方程为SKIPIF1<0,联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到SKIPIF1<0的关系，进而得直线SKIPIF1<0恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点SKIPIF1<0的位置.【详解】（1）由题意可得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，故椭圆方程为：SKIPIF1<0.(2)［方法一］：通性通法设点SKIPIF1<0，若直线SKIPIF1<0斜率存在时，设直线SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0，代入椭圆方程消去SKIPIF1<0并整理得：SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0,代入整理可得：SKIPIF1<0，

所以SKIPIF1<0，整理化简得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0不在直线SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以直线过定点直线过定点SKIPIF1<0.当直线SKIPIF1<0的斜率不存在时，可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍）.此时直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，即SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不重合，则由题设知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的斜边，故SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合，则SKIPIF1<0，故存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0为定值.［方法二］【最优解】：平移坐标系将原坐标系平移，原来的O点平移至点A处，则在新的坐标系下椭圆的方程为SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．将直线SKIPIF1<0方程与椭圆方程联立得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．代入直线SKIPIF1<0方程中得SKIPIF1<0．则在新坐标系下直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0，则在原坐标系下直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，D在以SKIPIF1<0为直径的圆上．SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0即为圆心Q．经检验，直线SKIPIF1<0垂直于x轴时也成立．故存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0．［方法三］：建立曲线系A点处的切线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．由题意得SKIPIF1<0．则过A，M，N三点的二次曲线系方程用椭圆及直线SKIPIF1<0可表示为SKIPIF1<0（其中