正弦函数、余弦函数的图像 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

高一人教A版数学必修第一册第五单元5.4.1正弦函数、余弦函数的图象学习目标用定义法画正弦函数的图象；用平移法画余弦函数的图象；掌握正弦函数、余弦函数的图象及特征；用“五点法”作正弦函数、余弦函数的简图。一、引入新课：三角函数是我们学习的一类新的基本初等函数，按照函数研

究方法学习了三角函数的定义之后，接下来应该研究什么问题呢？函数研究思路：函数定义→函数图像→函数性质正弦函数𝑦=sin

𝑥的图像1.三角函数的定义是什么？设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于P(x，y)那么

①

y_叫做α的正弦，记作sinα＝y.②

𝑥_叫做α的余弦，记作cosα＝x.③

𝑦

_叫做α的正切，记作tanα＝𝑦

.𝑥

𝑥正弦函数𝑦=sin

𝑥的图像2.如何从定义出发研究三角函数的图像？单位圆上任意一点在圆周上旋转一周就回到原来的位置，这一现象可以用公式来表示sin

x

2

sin

x,

cos

x

2

cos

xPM

C(

3

,

sin

3

)

xO

3在直角坐标系中如何作点（

𝜋，𝑠𝑖𝑛

𝜋

)?3

3y

3探究1:在[0,2π]上任取一个值x0，如何利用正弦函数的定义，确定正弦函数值sinx0，并画出点T(x0,sinx0)？

30探究1:在[0,2π]上任取一个值x，如何利用正弦函数的定义，确定正弦函数值sinx0，并画出点T(x0,sinx0)？思考：𝑥0在单位圆上表示什么几何量？

𝑠𝑖𝑛𝑥0的几何意义是什么?x

6

3

2若把

x

轴上从

0

到

2

这一段分成12等份，使

0

的值分别为

0,,

,

,

,2

探究2：它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分，再按上述画点(x0,sin

x0)的方法，就可画出自变量取这些值时对应的函数图像上的点。1-1

2

25

6

7

623

35

x●●●3

32

34

662

011

2

5

6

3

2

3

6●●●●●●6

3

2

3●67

4

3

5

11

●●●y=sinx

(x

[0,

2

]

)利用信息技术，x0

在区间[0,2

]取足够多的值可画出足够多的点，将这些点用光滑的曲线连接起来，可得到比较精确的函数图像。

3[

]思考1:

根据函数𝑦

=

𝑠𝑖𝑛𝑥

,

𝑥

∈

0,2𝜋

的图象，你能想象函数𝑦=𝑠𝑖𝑛𝑥,𝑥∈𝑅的图象吗？o2

3

4

x

4

3

2

当

𝑥

∈

[2𝜋,

4𝜋],

[−2𝜋,

0],…时，函数

𝑦

=

𝑠𝑖𝑛𝑥

的图象如何？y1y

sin

x,

x

Ry

sin

x,

x

[0,

2

]

1sin(x

2k

)

sin

x,

k

Z正弦函数的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线。思考2：在确定正弦函数的图像形状时，应抓住哪些关键点？oxy-1

-1

---1

3

22

35

6

7

64

33

25

311

62

6y

sin

xx

[0,

2

]与x轴的交点：(0,0)(

,

0)

(2

,0)2最低点：(3

,

1)最高点：(

,1)2oy1-1x0

2

3

22𝜋sinx010-10(1)列表(2)描点(3)连线

2

3

22

x正弦函数的“五点法”作图：探究3：能借助正弦函数的图像画出余弦函数y

cos

x

的图象吗？由此可知，余弦曲线的图象可以通过将正弦曲线向左平移𝜋2个单位长度而得到。2诱导公式：𝑠𝑖𝑛(𝑥+𝜋)=𝑐𝑜𝑠𝑥6

xy-

o-12

3

4

5

-4

-3

-2

1

正弦、余弦函数图象间的关系余弦函数的图象正弦函数的图象6

xy-

o-12

3

4

5

-3

-2

-4

1

正弦曲线形状完全一样只是位置不同余弦曲线2y

cos

x

sin(

x

)余弦函数𝑦=𝑐𝑜𝑠𝑥,𝑥∈𝑅的图象叫余弦曲线,是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线.思考3：在确定余弦函数的图像形状时，应抓住哪些关键点？0π2π(1)列表描点连线2

3

22

1-1yox0

2

3

22

cosx10-101五点法作图注意：横轴五点排均匀，上下顶点圆滑行；上凸下凹形相似，游走酷似波浪行.x余弦函数的“五点法”作图：二、例题讲解例题1.

用“五点法”作下列函数的简图：y

1

sin

x,

x

[0,2

]y

cos

x,

x

[0,2

]x0

2

3

22

sinx010-101+sinx12101oxy2

2

3

22

1●●●●●解：(1)按五个关键点列表(1)𝑦

=

1+𝑠𝑖𝑛𝑥

,

𝑥

∈

[0,2𝜋]解：(2)按五个关键点列表x0

2

3

22

cosx10-101-cosx-1010-1oxy1

3

22

●2●●●y=-cosx

x

[0,2

]-1●(2)

y=－cosx，x

[0,

2

]o-112

2

3

22

y=1+sinx

x

[0,

2

]y=sinx

x

[0,

2

]yxyxo

2

3

22

-11y=cosx

x

[0,

2

]y=-cosx x

[0,

2

]函数y=1+sinx的图象与函数y=sinx的图象有什么关系？函数y=-cosx的图象与函数y=cosx的图象有什么关系？可以利用函数图象变换来作出函数图象理解用定义来画正弦函数的图象；理解用平移法画余弦函数图象；掌握正弦函数、余弦函数图象及特征；三、课堂小结五点法4、重点掌握正弦曲线、余