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文档简介

2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知复数,为的共轭复数,则()A. B. C. D.2.关于函数,下列说法正确的是()A.函数的定义域为B.函数一个递增区间为C.函数的图像关于直线对称D.将函数图像向左平移个单位可得函数的图像3.若集合,,则()A. B. C. D.4.已知三棱锥的外接球半径为2,且球心为线段的中点,则三棱锥的体积的最大值为()A. B. C. D.5.关于圆周率,数学发展史上出现过许多很有创意的求法,如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发,某同学通过下面的随机模拟方法来估计的值:先用计算机产生个数对,其中,都是区间上的均匀随机数,再统计,能与构成锐角三角形三边长的数对的个数﹔最后根据统计数来估计的值.若,则的估计值为()A. B. C. D.6.已知等差数列的前n项和为,且,,若(,且),则i的取值集合是()A. B. C. D.7.已知函数,当时,恒成立,则的取值范围为()A. B. C. D.8.某几何体的三视图如图所示(单位:),则该几何体的体积(单位:)为()A. B.6 C. D.9.已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为().A. B. C. D.10.函数fxA. B.C. D.11.抛物线的焦点为,准线为,,是抛物线上的两个动点,且满足,设线段的中点在上的投影为,则的最大值是()A. B. C. D.12.已知集合,,若AB,则实数的取值范围是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若函数满足:①是偶函数;②的图象关于点对称.则同时满足①②的,的一组值可以分别是__________.14.设函数,若存在实数m,使得关于x的方程有4个不相等的实根,且这4个根的平方和存在最小值,则实数a的取值范围是______.15.如图,在三棱锥A﹣BCD中,点E在BD上,EA=EB=EC=ED,BDCD,△ACD为正三角形,点M,N分别在AE,CD上运动(不含端点),且AM=CN,则当四面体C﹣EMN的体积取得最大值时,三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为_____.16.已知内角,,的对边分别为,,.,,则_________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数,其中为自然对数的底数.(1)若函数在区间上是单调函数,试求的取值范围;(2)若函数在区间上恰有3个零点,且,求的取值范围.18.(12分)设的内角的对边分别为,已知.(1)求;(2)若为锐角三角形,求的取值范围.19.(12分)已知函数(),且只有一个零点.(1)求实数a的值;(2)若,且,证明:.20.(12分)某中学的甲、乙、丙三名同学参加高校自主招生考试,每位同学彼此独立的从五所高校中任选2所.(1)求甲、乙、丙三名同学都选高校的概率;(2)若已知甲同学特别喜欢高校,他必选校,另在四校中再随机选1所;而同学乙和丙对五所高校没有偏爱,因此他们每人在五所高校中随机选2所.(i)求甲同学选高校且乙、丙都未选高校的概率;(ii)记为甲、乙、丙三名同学中选高校的人数,求随机变量的分布列及数学期望.21.(12分)设函数,,.(1)求函数的单调区间;(2)若函数有两个零点,().(i)求的取值范围;(ii)求证:随着的增大而增大.22.(10分)如图所示,已知平面,,为等边三角形,为边上的中点,且.(Ⅰ)求证:面;(Ⅱ)求证:平面平面;(Ⅲ)求该几何体的体积.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】

求出,直接由复数的代数形式的乘除运算化简复数.【详解】.故选:C【点睛】本题考查复数的代数形式的四则运算,共轭复数,属于基础题.2.B【解析】

化简到,根据定义域排除,计算单调性知正确,得到答案.【详解】,故函数的定义域为,故错误;当时,,函数单调递增,故正确;当,关于的对称的直线为不在定义域内,故错误.平移得到的函数定义域为,故不可能为,错误.故选:.【点睛】本题考查了三角恒等变换,三角函数单调性,定义域,对称,三角函数平移,意在考查学生的综合应用能力.3.A【解析】

用转化的思想求出中不等式的解集,再利用并集的定义求解即可.【详解】解:由集合,解得,则故选:.【点睛】本题考查了并集及其运算,分式不等式的解法,熟练掌握并集的定义是解本题的关键.属于基础题.4.C【解析】

由题可推断出和都是直角三角形,设球心为,要使三棱锥的体积最大,则需满足,结合几何关系和图形即可求解【详解】先画出图形,由球心到各点距离相等可得,,故是直角三角形,设,则有,又,所以,当且仅当时,取最大值4,要使三棱锥体积最大,则需使高,此时,故选:C【点睛】本题考查由三棱锥外接球半径,半径与球心位置求解锥体体积最值问题,属于基础题5.B【解析】

先利用几何概型的概率计算公式算出,能与构成锐角三角形三边长的概率,然后再利用随机模拟方法得到,能与构成锐角三角形三边长的概率,二者概率相等即可估计出.【详解】因为,都是区间上的均匀随机数,所以有,,若,能与构成锐角三角形三边长,则,由几何概型的概率计算公式知,所以.故选:B.【点睛】本题考查几何概型的概率计算公式及运用随机数模拟法估计概率,考查学生的基本计算能力,是一个中档题.6.C【解析】

首先求出等差数列的首先和公差,然后写出数列即可观察到满足的i的取值集合.【详解】设公差为d,由题知,,解得,,所以数列为,故.故选:C.【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量的求解,属于基础题.7.A【解析】

分析可得,显然在上恒成立,只需讨论时的情况即可,,然后构造函数,结合的单调性,不等式等价于,进而求得的取值范围即可.【详解】由题意,若,显然不是恒大于零,故.,则在上恒成立;当时,等价于,因为,所以.设,由,显然在上单调递增,因为,所以等价于,即,则.设,则.令,解得,易得在上单调递增,在上单调递减,从而,故.故选:A.【点睛】本题考查了不等式恒成立问题,利用函数单调性是解决本题的关键,考查了学生的推理能力,属于基础题.8.D【解析】

根据几何体的三视图,该几何体是由正方体去掉三棱锥得到,根据正方体和三棱锥的体积公式可求解.【详解】如图,该几何体为正方体去掉三棱锥,所以该几何体的体积为:,故选:D【点睛】本题主要考查了空间几何体的三视图以及体积的求法,考查了空间想象力,属于中档题.9.D【解析】因为的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,所以,解得,所以二项式中奇数项的二项式系数和为.考点:二项式系数,二项式系数和.10.A【解析】

由f12=e-14>0排除选项D;【详解】由f12=e-14>0,可排除选项D,f-1=-e【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质,属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向,该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多,但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手,根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及x→011.B【解析】

试题分析:设在直线上的投影分别是,则,,又是中点,所以,则,在中,所以,即,所以,故选B.考点:抛物线的性质.【名师点晴】在直线与抛物线的位置关系问题中,涉及到抛物线上的点到焦点的距离,焦点弦长,抛物线上的点到准线(或与准线平行的直线)的距离时,常常考虑用抛物线的定义进行问题的转化.象本题弦的中点到准线的距离首先等于两点到准线距离之和的一半,然后转化为两点到焦点的距离,从而与弦长之间可通过余弦定理建立关系.12.D【解析】

先化简,再根据,且AB求解.【详解】因为,又因为,且AB,所以.故选:D【点睛】本题主要考查集合的基本运算,还考查了运算求解的能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.,【解析】

根据是偶函数和的图象关于点对称,即可求出满足条件的和.【详解】由是偶函数及,可取,则,由的图象关于点对称,得,,即,,可取.故,的一组值可以分别是,.故答案为:,.【点睛】本题主要考查了正弦型三角函数的性质,属于基础题.14.【解析】

先确定关于x的方程当a为何值时有4个不相等的实根,再将这四个根的平方和表示出来,利用函数思想来判断当a为何值时这4个根的平方和存在最小值即可.【详解】由题意,当时,,此时,此时函数在单调递减,在单调递增,方程最多2个不相等的实根,舍;当时,函数图象如下所示:从左到右方程,有4个不相等的实根,依次为,,,,即,由图可知,故,且,,从而,令,显然,,要使该式在时有最小值,则对称轴,解得.综上所述,实数a的取值范围是.【点睛】本题考查了函数和方程的知识,但需要一定的逻辑思维能力,属于较难题.15.32π【解析】

设ED=a,根据勾股定理的逆定理可以通过计算可以证明出CE⊥ED.AM=x,根据三棱锥的体积公式,运用基本不等式,可以求出AM的长度,最后根据球的表面积公式进行求解即可.【详解】设ED=a,则CDa.可得CE2+DE2=CD2,∴CE⊥ED.当平面ABD⊥平面BCD时,当四面体C﹣EMN的体积才有可能取得最大值,设AM=x.则四面体C﹣EMN的体积(a﹣x)a×xax(a﹣x),当且仅当x时取等号.解得a=2.此时三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积=4πa2=32π.故答案为:32π【点睛】本题考查了基本不等式的应用,考查了球的表面积公式,考查了数学运算能力和空间想象能力.16.【解析】

利用正弦定理求得角B,再利用二倍角的余弦公式,即可求解.【详解】由正弦定理得,,.故答案为:.【点睛】本题考查了正弦定理求角,三角恒等变换,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1);(2).【解析】

(1)求出,再求恒成立,以及恒成立时,的取值范围;(2)由已知,在区间内恰有一个零点,转化为在区间内恰有两个零点,由(1)的结论对分类讨论,根据单调性,结合零点存在性定理,即可求出结论.【详解】(1)由题意得,则,当函数在区间上单调递增时,在区间上恒成立.∴(其中),解得.当函数在区间上单调递减时,在区间上恒成立,∴(其中),解得.综上所述,实数的取值范围是.(2).由,知在区间内恰有一个零点,设该零点为,则在区间内不单调.∴在区间内存在零点,同理在区间内存在零点.∴在区间内恰有两个零点.由(1)易知,当时,在区间上单调递增,故在区间内至多有一个零点,不合题意.当时,在区间上单调递减,故在区间内至多有一个零点,不合题意,∴.令,得,∴函数在区间上单凋递减,在区间上单调递增.记的两个零点为,∴,必有.由,得.∴又∵,∴.综上所述,实数的取值范围为.【点睛】本题考查导数的综合应用,涉及到函数的单调性、零点问题,意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力,属于较难题.18.(1)(2)【解析】

(1)利用正弦定理化简已知条件,由此求得的值,进而求得的大小.(2)利用正弦定理和两角差的正弦公式,求得的表达式,进而求得的取值范围.【详解】(1)由题设知,,即,所以,即,又所以.(2)由题设知,,即,又为锐角三角形,所以,即所以,即,所以的取值范围是.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形,考查利用角的范围,求边的比值的取值范围,属于中档题.19.(1)(2)证明见解析【解析】

(1)求导可得在上,在上,所以函数在时,取最小值,由函数只有一个零点,观察可知则有,即可求得结果.(2)由(1)可知为最小值,则构造函数(),求导借助基本不等式可判断为减函数,即可得,即则有,由已知可得,由,可知,因为时,为增函数,即可得证得结论.【详解】(1)().因为,所以,令得,,且,,在上;在上;所以函数在时,取最小值,当最小值为0时,函数只有一个零点,易得,所以,解得.(2)由(1)得,函数,设(),则,设(),则,,所以为减函数,所以,即,所以,即,又,所以,又当时,为增函数,所以,即.【点睛】本题考查借助导数研究函数的单调性及最值,考查学生分析问题的能力,及逻辑推理能力,难度困难.20.(1)(2)(i)(ii)分布列见解析,【解析】

(1)先计算甲、乙、丙同学分别选择D高校的概率,利用事件的独立性即得解;(2)(i)分别计算每个事件的概率,再利用事件的独立性即得解;(ii),利用事件的独立性,分别计算对应的概率,列出分布列,计算数学期望即得解.【详解】(1)甲从五所高校中任选2所,共有共10种情况,甲、乙、丙同学都选高校,共有四种情况,甲同学选高校的概率为,因此乙、丙两同学选高校的概率为,因为每位同学彼此独立,所以甲、乙、丙三名同学都选高校的概率为.(2)(i)甲同学必选校且选高校的概率为,乙未选高校的概率为,丙未选高校的概率为,因为每位同学彼此独立,所以甲同学选高校且乙、丙都未选高校的概率为.(ii),因此,.即的分布列为0123因此数学期望为.【点睛】本题考查了事件独立性的应用和随机变量的分布列和期望,考查了学生综合分析,概念理解,实际应用,数学运算的能力,属于中档题.21.(1)见解析;(2)(i)(ii)证明见解析【解析】

(1)求出导函数,分类讨论即可求解

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