新高考数学一轮复习第5章 第03讲 平面向量的数量积 精讲（学生版）

第03讲平面向量的数量积(精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：平面向量数量积的定义角度1：平面向量数量积的定义及辨析角度2：平面向量数量积的几何意义高频考点二：平面向量数量积的运算角度1：用定义求数量积角度2：向量模运算角度3：向量的夹角角度4：已知模求数量积角度5：已知模求参数高频考点三：平面向量的综合应用高频考点四：极化恒等式第四部分：高考真题感悟第一部分：知识点精准记忆第一部分：知识点精准记忆1、平面向量数量积有关概念1.1向量的夹角已知两个非零向量SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，如图所示，作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)叫做向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角，记作SKIPIF1<0．(2)范围：夹角SKIPIF1<0的范围是SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，两向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共线且同向；当SKIPIF1<0时，两向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相互垂直，记作SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，两向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共线但反向．1.2数量积的定义：已知两个非零向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，我们把数量SKIPIF1<0叫做SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的数量积(或内积)，记作SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，其中θ是SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角，记作：SKIPIF1<0．规定：零向量与任一向量的数量积为零．记作：SKIPIF1<0.1.3向量的投影①定义：在平面内任取一点SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0.过点SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0的垂线，垂足为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0就是向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0上的投影向量.②投影向量计算公式:当SKIPIF1<0为锐角（如图（1））时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0方向相同，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0为直角（如图（2））时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0为钝角（如图（3））时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0方向相反，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0综上可知，对于任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0.2、平面向量数量积的性质及其坐标表示已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为向量SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的夹角：2.1数量积SKIPIF1<02.2模：SKIPIF1<02.3夹角：SKIPIF1<02.4非零向量SKIPIF1<0的充要条件：SKIPIF1<02.5三角不等式：SKIPIF1<0（当且仅当SKIPIF1<0时等号成立）SKIPIF1<0SKIPIF1<03、平面向量数量积的运算①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0③SKIPIF1<04、极化恒等式①平行四边形形式：若在平行四边形SKIPIF1<0中，则SKIPIF1<0②三角形形式：在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<05、常用结论①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0③SKIPIF1<0第二部分：课前自我评估测试第二部分：课前自我评估测试一、判断题1．（2022·全国·高一专题练习）判断（正确的填“正确”，错误的填“错误”）（1）两个向量的数量积仍然是向量.()（2）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.()（3）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共线⇔SKIPIF1<0·SKIPIF1<0=|SKIPIF1<0||SKIPIF1<0|.()（4）若SKIPIF1<0·SKIPIF1<0=SKIPIF1<0·SKIPIF1<0，则一定有SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.()（5）两个向量的数量积是一个实数，向量的加法､减法､数乘运算的运算结果是向量.()2．（2021·全国·高二课前预习）已知两个向量SKIPIF1<0的夹角为60°，则∠NMP＝60°.()二、单选题3．（2022·河南安阳·高一阶段练习）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．24．（2022·全国·模拟预测（文））在边长为2的正三角形SKIPIF1<0中，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．25．（2022·广东·深圳市龙岗区德琳学校高一期中）在SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0－定是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形第三部分：典型例题剖析第三部分：典型例题剖析高频考点一：平面向量数量积的定义角度1：平面向量数量积的定义及辨析例题1．（2022·河北武强中学高一期中）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．0 B．2 C．3 D．4例题2．（2022·山西太原·高一期中）给出以下结论，其中正确结论的个数是（

）①SKIPIF1<0

②SKIPIF1<0

③SKIPIF1<0

④SKIPIF1<0A．1 B．2 C．3 D．4例题3．（2022·江苏·涟水县第一中学高一阶段练习）在锐角SKIPIF1<0中，关于向量夹角的说法，正确的是（

）A．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角是锐角 B．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角是锐角C．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角是锐角 D．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角是钝角例题4．（2022·宁夏·平罗中学模拟预测（理））已知向量SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影为___________.角度2：平面向量数量积的几何意义例题1．（2022·江西抚州·高一期中）已知向量SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影数量为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例题2．（2022·全国·高三专题练习（理））在圆SKIPIF1<0中弦SKIPIF1<0的长度为8，则SKIPIF1<0=（

）A．8 B．16 C．24 D．32例题3．（2022·甘肃·高台县第一中学高一阶段练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为120°，则向量SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影为（）A．4 B．－4 C．2 D．－2例题4．（2022·吉林一中高一期中）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为边上SKIPIF1<0的动点，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例题5．（2022·江西景德镇·三模（理））窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，它是中国古老的传统民间艺术之一．在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）．已知正方形SKIPIF1<0的边长为2，中心为SKIPIF1<0，四个半圆的圆心均在正方形SKIPIF1<0各边的中点（如图2，若点SKIPIF1<0在四个半圆的圆弧上运动，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题型归类练1．（2022·黑龙江·佳木斯一中高一期中）已知△ABC的外接圆圆心为O，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0上的投影向量为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））非零向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的正射影的数量为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·北京市第十九中学高一期中）如图，已知四边形ABCD为直角梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，AB=1，AD=3，SKIPIF1<0，设点P为直角梯形ABCD内一点（不包含边界），则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2022·全国·高三专题练习）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0方向相同的单位向量为SKIPIF1<0，则向量SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影向量为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2022·河南河南·三模（理））在△SKIPIF1<0中，“SKIPIF1<0”是“△SKIPIF1<0为钝角三角形”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校高一期中）在圆SKIPIF1<0中弦SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__________.7．（2022·四川·树德中学高一阶段练习）如图，直径SKIPIF1<0的半圆，D为圆心，点C在半圆弧上，SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0上有动点P，则SKIPIF1<0的取值范围为_________．高频考点二：平面向量数量积的运算角度1：用定义求数量积例题1．（2022·全国·华中师大一附中模拟预测）正六边形SKIPIF1<0的边长为2，则SKIPIF1<0=（

）A．-6 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．6例题2．（2022·广东·东莞市东方明珠学校高一期中）已知正方形SKIPIF1<0的边长为2，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．0 C．SKIPIF1<0 D．2例题3．（2022·北京·中关村中学高一期中）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<0例题4．（2022·安徽·高二阶段练习）已知平面向量SKIPIF1<0，单位向量SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0夹角为___________.例题5．（2022·上海奉贤区致远高级中学高一期中）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0_______角度2：向量模运算例题1．（2022·山东潍坊·高一期中）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是平面内的两个向量，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例题2．（2022·四川绵阳·高一期中）已知向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例题3．（2022·河南安阳·高一阶段练习）已知向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．2 D．4例题4．（2022·河南新乡·高一期中）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例题5．（2022·河南·模拟预测（理））已知平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______．例题6．（2022·河南·模拟预测（文））已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______．角度3：向量的夹角例题1．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））若向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例题2．（2022·山东济南·三模）已知单位向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，则向量SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的夹角为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例题3．（2022·河北邯郸·二模）若向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0夹角的余弦值为（

）.A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例题4．（2022·河南·扶沟县第二高中高一阶段练习）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是单位向量，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为_____.例题5．（2022·山东烟台·高一期中）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角大小为______．例题6．（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（文））已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为锐角”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件例题7．（2022·辽宁·东北育才学校高一期中）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为锐角，则实数SKIPIF1<0的取值范围是______．例题8．（2022·黑龙江·勃利县高级中学高一期中）已知向量SKIPIF1<0与向量SKIPIF1<0所成角为钝角．则SKIPIF1<0的取值范围是______．例题9．（2022·河北·高一期中）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夹角为钝角，则SKIPIF1<0的取值范围为______角度4：已知模求数量积例题1．（2022·吉林长春·模拟预测（文））已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例题2．（2022·全国·模拟预测（文））已知向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．6 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．－2例题3．（2022·北京十五中高一期中）若向量SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0_____.例题4．（2022·安徽马鞍山·三模（文））设向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0___________.例题5．（2022·贵州贵阳·二模（理））已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0________．角度5：已知模求参数例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．-2 D．2例题2．（2022·广东·高一阶段练习）已知单位向量SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例题3．（2022·湖北鄂州·高二期末）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例题4．（2022·安徽·高二阶段练习（文））已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为______．题型归类练1．（2022·北京·潞河中学三模）已知菱形SKIPIF1<0的边长为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·河南·方城第一高级中学模拟预测（理））已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为单位向量，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·全国·高一单元测试）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<04．（2022·四川省内江市第六中学高一期中（理））如图，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，P为CD上一点，且满足SKIPIF1<0，若AC＝3，AB＝4，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2022·湖南·长沙市明德中学二模）已知非零向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则向量SKIPIF1<0与向量SKIPIF1<0夹角的余弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2022·广东·模拟预测）已知单位向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夹角为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（文））设SKIPIF1<0为非零向量，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夹角为___________.8．（2022·广东广州·三模）已知SKIPIF1<0为单位向量，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__________.9．（2022·山东济宁·三模）在边长为SKIPIF1<0的等边SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0________.高频考点三：平面向量的综合应用例题1．（2022·湖南·高二阶段练习）“赵爽弦图”是中国古代数学的图腾，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如图，某人仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小的平行四边形拼成一个大平行四边形，其中SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0的中点，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例题2．（2022·河南·唐河县第一高级中学高一阶段练习）2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．已知图①中正三角形的边长为6，则图③中SKIPIF1<0的值为（

）A．24 B．6 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例题4．（2022·江苏·常州市第二中学高一阶段练习）如图，已知平行四边形SKIPIF1<0的对角线相交于点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的直线与SKIPIF1<0所在直线分别交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例题5．（2022·江苏·常州市第二中学高一阶段练习）在梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分别为线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的动点.(1)求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(3)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值；题型归类练1．（2022·浙江·高一阶段练习）已知P是SKIPIF1<0的外心，且SKIPIF1<0，则cosC=（

）A．-SKIPIF1<0 B．-SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0或-SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或-SKIPIF1<02．（2022·河南洛阳·高二阶段练习（文））在△SKIPIF1<0中，点D满足SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·山东淄博·高一期中）如图，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0_________4．（2022·湖南·模拟预测）在三角形ABC中，点D在边BC上，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______．5．（2022·浙江·高一阶段练习）平面内的三个向量SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，求实数k的值；(2)若SKIPIF1<0，求实数k的值.6．（2022·重庆市二0三中学校高一阶段练习）已知平面向量SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0与SKIPIF1<0夹角的余弦值.7．（2022·湖北·高一阶段练习）已知平行四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，AE和BF交于点P.(1)试用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示向量SKIPIF1<0.(2)若SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值.(3)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的余弦值.8．（2022·四川省内江市第六中学高一期中（文））如图，设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD为BC边上的中线，已知SKIPIF1<0，c＝1且SKIPIF1<0．(1)求b边的长；(2)求△ABC的面积；(3)设点E，F分别为边AB，AC上的动点，线段EF交AD于G，且△AEF的面积为△ABC面积的一半，求SKIPIF1<0的最小值．高频考点四：极化恒等式例题1．（2021·全国·高一课时练习）阅读一下一段文字：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两式相减得：SKIPIF1<0，我们把这个等式称作“极化恒等式”，它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算.试根据上面的内容解决以下问题：如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的两个三等分点.（1）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值.例题2．（2022·河北唐山·高三期末）SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______．