高三数学上学期期末教学质量调研试题 文（含解析）沪教版

长宁区2012-2013学年第一学期高三质量调研试卷

数学文

一、填空题(本大题满分56分)

3〃"+4”-2

1、计算:hm------------

28(2〃+1)

3

【答案】-

4

..?>n"+5n-23?z2+5H-2„23

［解析】hm----------=hm-----------=hm—nr\=-

8Qn+1)“is4n-+4n+1414

4HQ

nn

2、记函数y=f(x)的反函数为j=/T(X).如果函数y=f(x)的图像过点(1,2),那么函数

y=/-1(x)+l的图像过点.

答案［(2,2)

【解析】因为函数y=/(x)的图像过点，则反函数为y=/T(x)的图象过点(2,1),所以函

数丁=广«)+1过点(2,2)。

3、已知口袋里装有同样大小、同样质量的16个小球，其中8个白球、8个黑球，则从口袋中

任意摸出8个球恰好是4白4黑的概率为.(结果精确到O.OO1)

【答案】0.381

「404

【解析】任意摸出8个球恰好是4白4黑的概率为f区=0.03810

C8

4、(2-«)8展开式中含一项的系数为.

【答案】1

k1

【解析】展开式的通项公式为心由厂4'得左=8,

所以心=或(―«)8=/，所以/的系数为1.

5、设/(x)为定义在R上的奇函数，当xNO时，/(x)=2'+2x+6(。为常数)，

则/(一1)=________

【答案】-3(后面提供答案好像有误)

【解析】因为函数为奇函数，所以/(0)=0,即/(0)=2°+b=l+b=0,所以人=一1。所

以/(T)=_/(D=_(2+2_1)=_3

6、(文)已知z为复数，且，(z+2i)=l,则2=

【答案】z=-3i

【解析】由条件知z+2i=1=—i,所以z=—3L

i

7、从数列｛1-｝("eN*)中可以找出无限项构成一个新的等比数列｛么｝,使得该新数列的各

2"

项和为;，则此数列｛2｝的通项公式为

【答案】"

【解析】设数列｛2｝的首项为4=』，公比4=•因为二=；,所以

221—q7

-4=-(l--),即2“1—1-)=7,所以»—2*一加=7o因为in,kwN.,所以乎是偶数,

2*72"'2m

则»-，，一定是奇数，所以必有左—m=0,即左=相。所以2*—1=7,2«=8,即左=加=3。

1111111

所以q=2=L4=；=上，所以么=±x(与"T=(一)",即数列也,｝的通项公式为

2'〃828888

8、阅读如图所示的程序框图，输出的S值为

【答案】1+后

【解析】本程序是计算S=sinT2T+sin77*T+…+sin——YITC的数值，所以当〃=11时，

444

门.兀.2万.1\7t.7i.2万.3〃

S=sin—Fsin---!--•,+sin---=sin—I-sin---Fsin——0+1。

444444

9、已知AA3C的面积为走,AC=G,NA3C=工，则AA8C的周长等于

23

【答案】3+V3

【解析】SMBC=-AB.BCcos600=—,即AB-BC=2。又由余弦定理可知

AC2=AB2+BC2-2AB.BCcos60°,即3=AB2+5C?—2,所以AB?+3C?=5,即

(AB+5C)2—2AB・BC=5,解得(AB+BC)2=5+4=9,即AB+3C=3。所以AABC的

周长等于3+百。

10、给出下列命题中

①非零向量a、B满足忖=忖=卜-q，则a与a+B的夹角为30°；

②a-b>Q,是的夹角为锐角的充要条件；

③将函数y=|九-1］的图象按向量3=(—1,0)平移，得到的图象对应的函数表达式为

丁=此

④在AA3C中，若(噩+品)・.(品一品)=o,则AA3C为等腰三角形；

以上命题正确的是(注：把你认为正确的命题的序号都填上)

【答案】①③④

【解析】①由口=W=|£-4得，三角形为等边三角形，所以Z与Z+B的夹角为30。。所以

正确。②当夹角为o时，满足£Z=忖忖>0,但此时夹角不是锐角，所以错误。③函数

按£=(-1,0)平移，相当于沿着X轴向左平移1个单位，此时得到函数y=W的图象，所以

正确。@(AB+AQ^(AB-AC)=AB-AC2=0,BP|AB|=|AC|,所以AA5C为等腰三

角形，所以正确。综上命题正确的是①③④。

11、(文)已知长方体的三条棱长分别为1,1,2,并且该长方体的八个顶点都在一个球的球

面上，则此球的表面积为.

【答案】6〃

【解析】因为长方体的八个顶点都在一个球的球面上，则长方体的体对角线为球的直径，

2r=712+l2+22=>/6,所以球半径厂=手，所以球的表面积为

12、(文)已知向量］=(x—l,2),B=(4,y),若则9*+3》的最小值为;

【答案】6

【解析】因为alb，所以Z・B=4(x—l)+2y=0,即2x+y=2。所以

9'+3?=32T+3?>2V32"X3V=2-J^=6,当且仅当32，=31即2x=y=l时取

等号，所以最小值为6.

13、(文)设。为非零实数，偶函数/(%)=%2+。上—讨+1在区间(2,3)上存在唯一零点，则

实数。的取值范围是.

…心、/105、

【答案】(-y,--)

【解析】因为函数/(%)为偶函数，所以〃2=0,所以/(为=*+0国+1。要使函数在区间

(2,3)上存在唯一零点，则有/(2)〃3)<0,即(4+2a+l)(9+3a+l)<0,所以

(5+2a)(10+3a)<0,解得—?<a<—即实数a的取值范围是(—5,—李。

14、(文)已知数列｛%｝满足q=1,且％,=+“_］+(；)"("22,且〃eN*),则数列｛%｝中

项的最大值为.

【答案】1

【解析】原式等价为4—畤1=如“「5—呜严］,即数列他“—心”｝,是以

1121171

4—耳=1—为首项，§为公比的等比数列，所以4—〃审=犯严，即

a〃="(g)〃+|(；)〃T,所以数列为递减数列，所以数列中最大的项为4=g+g=L

二、选择题(本大题满分20分)

1T

15、“是“函数y=sin(x+0)为偶函数的”()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

7T7T

【解析】若y=sin(x+°)为偶函数，则有夕=万+左乃，左eZ,所以夕=耳是函数

y=sin(x+°)为偶函数的充分不必要条件，选A.

16、若丽•豆心+业=0,则AABC必定是)

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

【解析】AB»BC+AB=AB»(AB+BC)=AB»AC=Q,所以通，恁，所以三角形为直

角三角形，选B.

17、已知m,n是两条不同直线，％分是两个不同平面，下列命题中的假命题的是()

A若根_L,,贝!Jo〃万B若根〃七根-L1,贝

C若加〃。，［0,=凡则根〃〃口若m~L。,加u尸，则a_L尸

【答案】C

【解析】C中，当根u/?时，直线机//〃，当W/?时，直线加//〃不一定成立，所以C为

假命题，选C.

18、(文)已知函数;'(xhl,~，若/(2-〃)〉/(a),则实数a的取值范围是()

4x-x2x<0

A(-oo,-l)u(2,+oo)B(-1,2)C(-2,1)D(-oo,-2)(1,+a>)

【答案】C

【解析】因为函数/(x)为奇函数，且当x>0时，为增函数，所以/(x)为增函数，所以由

“2—。2)〉/侬)得2—/>a,即—2<0,解得—2<a<l,选C.

三、解答题(本大题满分74分)

19、(本题满分12分)已知行=(2cosx+2Gsinx,l)方=(cosx,—y),满足加4=0

(1)将y表示为I的函数/(%),并求/(%)的最小正周期；

7T

(2)(文)当xe［0,§］时，/(x)>a恒成立，求实数。的取值范围。

20、（本题满分12分）如图，△ABC中，ZACB=9Q°,ZABC=3O°,BC=6，在

三角形内挖去一个半圆（圆心。在边3C上，半圆与AC、AB分别相切于点C、M,与BC

交于点N）,将^ABC绕直线5c旋转一周得到一个旋转体。

（1）求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；

（2）求图中阴影部分绕直线5c旋转一周所得旋转体的体积.

第20题

21、（本题满分14分）

（文）某工厂生产一种产品的原材料费为每件40元，若用x表示该厂生产这种产品的总件数,

则电力与机器保养等费用为每件0.05x元，又该厂职工工资固定支出12500元。

（1）把每件产品的成本费P（x）（元）表示成产品件数x的函数，并求每件产品的最低

成本费；

（2）如果该厂生产的这种产品的数量x不超过3000件，且产品能全部销售，根据市场

调查：每件产品的销售价Q（x）与产品件数x有如下关系：2U）=170-0.05%；试问生产

多少件产品，总利润最高？（总利润=总销售额-总的成本）

22.（本小题满分18分）（文）已知二次函数〃%）=依2+（4-l）x+o。

（1）函数/（X）在上单调递增，求实数a的取值范围；

（2）关于x的不等式工，22在xe[1,2]上恒成立，求实数。的取值范围；

（3）函数g（x）=厂在（2,3）上是增函数,求实数a的取值范围。

23.（本题满分18分）（文）设/（%）=Ar3,等差数列｛〃〃｝中的=7,%+02+?=12,记

S/fg），令久=2,数列｛止｝的前n项和为

（1）求｛%｝的通项公式和S“；

（2）求证：T＜-；

"3

（3）是否存在正整数机〃，且1＜加＜〃，使得（，7；,7；成等比数列？若存在，求出加，〃的

值，若不存在，说明理由.

长宁区2012学年第一学期高三数学期终抽测试卷答案

一、填空题（每小题4分，满分56分）

3

1、-2、（2,2）3,0.3814、15、-46、（文）—3，

7、b=—8、1+V29、3+10、①③④

"8"

11,（文）6万12、（文）613、（文）（―1，—土）

14、（文）1

二、选择题（每小题5分，满分20分）

15、A16、B17、C18、C

三、解答题

19、解（1）由加,“=0得2cos~x+26sinxcosx_y=0.............3分

即y=2cos2x+2V3sinxcosx=cos2x+A/3sin2x+1=2sin（2x+—）+1

6

TT

所以/（x）=2sin（2x+7）+1,其最小正周期为〃.........6分

6

TTITTTSyrTT|

（文）（2）,，一K2x+—K—，因此sin（2x+—）的最小值为一，...............9

366662

分

由a</（x）恒成立，得“〈［/（刈*仙=2,

所以实数。的取值范围是（-8,2）...........12分

20、解（1）连接OM,则

•••BC=A/3,ZABC=30°,.-.AC^1,AB=2,........3分

设OM=r,贝!J

OB=2r,又OB=Hr,所以2r=6—=J,...............6分

3

,4

所以，S球表=4加=—.......8分

14：5V3

（2）V=%锥一V球=g"xAC"9'3。一§万、=~^~兀.........12分

P（X）=1^22+40+0.05%

21、（文）解：（1）x........................................................3

分

由基本不等式得尸(x)N2a2500x0.05+40=90

当且仅当了，即x=50°时，等号成立................6分

P(X)=1^22+40+0.05X

...X,成本的最小值为90元................7分

(2)设总利润为丁元，则

,-犬Q(九)—xP(x)=-0.1%2+130x-12500..........I。分

=—0.1(九一650)2+29750

当X=650时，>max=29750..........................................13分

答：生产650件产品时，总利润最高，最高总利润为29750元.......14分

22、（文）解：（1）当〃=0时，/（x）=-x,不合题意；.........1分

当〃>。时，/（力在（-8,-1）上不可能单调递增；.........2分

当〃<0时，图像对称轴为九=—幺a—」1

2a

a—

由条件得------<-1,得〃4-!...........4分

2a

(2)h(x)==a{x+—)+6Z—1,..........5分

XX

当xe[l,2]时，x+1e[2,1],..........7分

因为不等式工区22在尤e[1,2]上恒成立，所以/i（x）在xe[1,2]时的最小值大于或等于2,

X

a>0„_a<0

或〈5,1、c9分

2a+a-l>2-a+a-l>2

解得10分

°1

(3)g(%)=〃%+—+〃在(2,3)上是增函数，设2<玉<%2<3,则g(%i)<g(%2)，

M-％2

ax：----卜a<(1X2H----Fa,〃(玉+x2)(^—%)〈12分

%1X2

1

因为2＜玉＜%2＜3,所以14分

X{X2(Xj+%)

1

而16分

%1%2(%1+元2)5416

所以〃2—.18分

16

23、（文）解：⑴设数列｛%｝的公差为d,由。3=%+2d=7,

/+g+%=3%+3d=12.解得g=1,d=3,2分

an=3〃—24分

/版)4+]=3〃+1.

・.,/(%)=/,・・.SF6分

(2)2=(3〃—2)(3〃+1)

1(3〃-2)(13〃+1)=53"123〃1+1

~b)8分

n

FT,含）■

10分

rjT=LT=—吧—

(3)由(2)知，Tn=-^—T"含/遇七成等比

n3n+l14?m3m+l

数歹U.

/m_1n

212分

3/71+T-43〃+l

6m+13"+4

即

m2n

3n+4133〃+4“好人m士

当根=1时,7=------，n=l,不合题意；当切=2时,——------,孔—16?付百逆忌；

n4n

3〃+4253几十4

当切=3时，一〃无正整数解；当切=4时,一，〃无正整数解;

9n16n

3〃+4373〃+4

当切=5时，—〃无正整数