福建省永泰县第一中学2024-2025学年高一数学下学期期中试题

PAGE4PAGE3福建省永泰县第一中学2024-2025学年高一数学下学期期中试题完卷时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．已知复数，则其共轭复数

A． B． C． D．下列各式正确的是

A． B．

C． D．下列命题中正确的是

A．侧面都是矩形的直四棱柱是长方体

B．三棱锥的三个侧面不行能都是直角三角形

C．圆台的随意两条母线延长后肯定交于一点

D．有两个面平行且相像，其他各面都是梯形的多面体是棱台一质点受到平面上的三个力（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态，已知成角，且的大小分别为2和4，则的大小为

A．2 B． C． D．6已知向量，若，则的面积等于

A．3 B． C． D．斐波那契螺旋线被誉为自然界最完备的“黄金螺旋”，右图给出了它的画法：以斐波那契数为边的正方形依序拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．假如用图中接下来的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面，那么该圆锥的表面积为

A． B．

C． D．第四届数字中国建设峰会将于2024年4月25日至26日在福州举办，福州市以此为契机，加快推动“5G＋光网”双千兆城市建设．如图，某县区域地面有四个5G基站．已知两个基站建在江的南岸，距离为；基站在江的北岸，测得，则两个基站的距离为

A． B． C． D．正方形的边长为，中心为．过的直线与边分别交于点，点满意条件：，则的最小值为

A．0 B． C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．下列命题正确的是

A．若复数满意，则是纯虚数

B．若互为共轭复数，则

C．是复数的三角形式

D．“复数（）为纯虚数”的充要条件为“”已知平面对量向量

A．若，则

B．若，则在方向上的投影向量是

C．与的夹角为锐角，则的取值范围为

D．若的夹角为，则已知为的重心，，则的可能取值为

A． B．1 C． D．在中，内角所对的边分别为，已知，若，点在边上，且，是的外心．则下列推断正确的是

A． B．的外接圆半径为

C． D．的最大值为2第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．已知复数在复平面内对应的点为，复数满意，则与对应的点间的距离的最大值为．如图，是平面四边形的直观图，若是边长为2的正方形，则四边形的周长为．已知的内角所对的边分别为，，若，则的取值范围为．已知是平面上夹角为的两个单位向量，在该平面上，且，取值范围为．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（本小题满分10分）已知复数（）．（1）若是实数，求的值；（2）若复数在复平面内对应的点在第三象限，且，求实数的取值范围．（本小题满分12分）已知．（1）若三点共线，求满意的等量关系．（2）在（1）条件下，求的最小值．（本小题满分12分）问题：在中，内角所对的边分别为，．（1）求；（2）若的面积为，___________，求．请在①；②；③这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答．注：如选多个条件作答，按排列最前的解法评分．（本小题满分12分）某网红景区拟开拓一个平面示意图如图的五边形观光步行道，为景点电瓶车专用道，．（1）求的长；（2）请设计一个方案，使得折线步行道最长（即最大）．（本小题满分12分）如图所示，在中，，与相交于点，的延长线与边交于点．（1）试用表示；（2）设，求的值．（本小题满分12分）已知的内角所对的边分别为，向量，，．（1）若，，为边的中点，求中线的长度；（2）若为边上一点，且，，求的最小值．参考答案单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)题号12345678答案CBCBABDD二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)题号9101112答案ABCABCDBC填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13． 14．16 15． 16．四、解答题(本大题共6小题，共70分)17.（本题满分10分）解：= 1分 3分 4分是实数，所以， 5分(2)在复平面内对应的点在第三象限，可得，且 6分 7分又|z1|5m2＋925 8分 9分综上，实数a的取值范围为． 10分18．（本题满分12分）解：(1)∵,又 3分∵三点共线∴即 6分（2）∵ 8分∴ 11分∴取最小值为 12分19.（本题满分12分）【解析】（1）由结合正弦定理可得 2分所以 3分因为，所以． 4分因为，所以． 5分[选择条件①的答案]因为.又因为的面积为，所以， 6分所以 7分可得bc=8. 8分所以由余弦定理可得 10分即 11分解得 12分[选择条件②的答案]又因为的面积为所以 6分所以 7分可得bc=8. 8分所以由余弦定理可得 10分即 11分解得 12分[选择条件③的答案]由得所以 8分因为，所以．所以 9分．所以，即是直角三角形 10分又因为的面积为，所以， 11分所以 12分20.（本题满分12分）解：（1）连接在中，由余弦定理得 1分∴ 2分即 3分∵在中，，，∴ 4分∴在中， 5分在中， 6分(2)在中，，.由余弦定理得 7分即 8分故 10分从而，即 11分当且仅当时，等号成立，即设计为时步行道最长 12分21.（本题满分12分）解法一：(1)设，由＝＋＝－＋eq\f(1,2)= 1分可得＝＋λ＝ 2分由＝＋＝－＋eq\f(1,3)=可得 3分＝＋μ= 4分又与不共线，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－λ＝\f(1,3)μ，,\f(1,2)λ＝1－μ，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(4,5)，,μ＝\f(3,5).)) 6分所以＝eq\f(1,5)＋eq\f(2,5) 7分(2)由(1)知＝eq\f(1,5)＋eq\f(2,5)∴＝－＝n－＝n(eq\f(1,5)＋eq\f(2,5))－＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,5)－1))＋eq\f(2n,5)· 8分又∵＝m＝m－m= 9分∵与不共线，∴ 10分解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(2,3)，,n＝\f(5,3)，))∴ 12分解法二：（1）同解法一． 7分（2）因为 8分， 9分又，所以 10分解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(2,3)，,n＝\f(5,3)，))∴ 12分22.（本题满分12分）解：，∵，∴，.由余弦定理得 1分∵，∴ 2分（Ⅰ）法一、∵为边的中点，∴，∵，， 3分，即 4分，∵，∴，∴ 5分∴中线的长为 6分法二、∵，∴，∵，∴， 3分由余弦定理，得，， 4分由余弦定理，，，∵，∴即，， 4分∴，