待定系数法练习题及答案

待定系数法练习题及答案一、选择题1.下列关于待定系数法的说法，正确的是（）。A.待定系数法适用于求解一阶线性微分方程B.待定系数法适用于求解二阶线性微分方程C.待定系数法适用于求解非线性微分方程D.待定系数法适用于求解所有类型的微分方程2.在使用待定系数法求解非齐次线性微分方程时，假设特解形式为（）。A.y=eaxB.y=ebxC.y=ax+bD.y=x^2+ax+b3.对于二阶线性非齐次微分方程y''+py'+qy=f(x)，其中f(x)为已知的函数，下列关于特解形式的说法，正确的是（）。A.当f(x)=eax时，特解形式为y=AeaxB.当f(x)=cosbx时，特解形式为y=Acosbx+BsinbxC.当f(x)=e^(x)时，特解形式为y=Ax+BD.当f(x)=x^2时，特解形式为y=x^2+ax+b二、填空题1.使用待定系数法求解非齐次线性微分方程时，需要求出其______（通解/特解）。2.对于一阶线性非齐次微分方程y'+py=f(x)，当f(x)=eax时，其特解形式为______。3.对于二阶线性非齐次微分方程y''+py'+qy=f(x)，当f(x)=cosbx时，其特解形式为______。三、解答题1.使用待定系数法求解下列微分方程的特解：y'y=2x2.使用待定系数法求解下列微分方程的特解：y''+y=sinx3.使用待定系数法求解下列微分方程的特解：y'''3y''+3y'y=e^(x)4.使用待定系数法求解下列微分方程的特解：y''+4y=4x^2+3x+25.使用待定系数法求解下列微分方程的特解：y''2y'+y=e^xcosx四、应用题1.某物体在直线运动中，其加速度a(t)与时间t的关系为a(t)=4t^2，初始速度为v(0)=0，求物体在t时刻的速度v(t)。2.一电子电路中的电流i(t)满足微分方程Ldi/dt+Ri=Ee^(t)，其中L、R和E是常数，求电流i(t)的表达式。3.一根长度为L的均匀细杆，其一端固定，另一端受到一个随时间变化的力F(t)=F0sin(ωt)，求细杆的弯曲角度θ(x,t)。五、综合题1.已知微分方程y''+5y'+6y=3e^(2x)+2x，求：(1)对应的齐次方程的通解；(2)非齐次方程的特解；(3)非齐次方程的通解。(1)y'+2y=4x^2(2)y''+y'6y=3e^(x)2e^(2x)3.已知非齐次线性微分方程y'''3y''+3y'y=8e^x4x^2+6，求：(1)对应的齐次方程的通解；(2)非齐次方程的特解；(3)非齐次方程的通解。六、拓展题1.设f(x)是一个可微函数，且满足微分方程f''(x)2f'(x)+f(x)=e^x，求f(x)。2.已知微分方程y''+y=cos(2x)+sin(2x)，求：(1)对应的齐次方程的通解；(2)非齐次方程的特解；(3)非齐次方程的通解。y''+4y'+4y=(3x+2)^2e^(2x)。4.已知非齐次线性微分方程组：y'+z=xyz'=1求解该微分方程组。5.设f(x)是一个二阶可微函数，且满足微分方程f''(x)+4f(x)=16x^28x，求f(x)。答案一、选择题1.A2.A3.B二、填空题1.特解2.y=Aeax3.y=Acosbx+Bsinbx三、解答题1.特解：y=x^2+C2.特解：y=1/2sinx3.特解：y=1/6e^(x)+C1+C2x+C3x^24.特解：y=1/4x^3+3/4x^21/2x+C5.特解：y=(A+Bx)e^x四、应用题1.v(t)=2t(1/3)t^3+C2.i(t)=(E/R)e^(t/R)+(E/R^2)(1e^(t/R))3.θ(x,t)=(F0/EL)tsin(ωt)x(F0/ω^2EL)cos(ωt)x五、综合题1.(1)y_h=C1e^(2x)+C2e^(3x)(2)y_p=x^2+7/6(3)y=C1e^(2x)+C2e^(3x)x^2+7/62.(1)y_p1=2x^2+C1(2)y_p2=1/2e^(x)+1/4e^(2x)+C13.(1)y_h=C1e^x+C2x+C3x^2(2)y_p=4x^2+2x+1/3(3)y=C1e^x+C2x+C3x^24x^2+2x+1/3六、拓展题1.f(x)=(1/2)e^x+C1e^(x)+C22.(1)y_h=C1cosx+C2sinx(2)y_p=1/5cos(2x)1/5sin(2x)(3)y=C1cosx+C2sinx1/5cos(2x)1/5sin(2x)3.y_p=(3/4)x