全称量词与存在量词 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.5全称量词与存在量词

下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系?(1)x>3;(2)2x+1是整数;(3)对所有的x∈R,x>3；

(4)对任意一个x∈Z,2x+1是整数.新课讲授短语“所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任给”等在逻辑中通常叫做全称量词,用符号“”表示.含有全称量词的命题叫做全称量词命题.

通常,将含有变量x的语句用p(x),q(x),r(x),…表示,变量x的取值范围用M表示,即x∈M.则全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”可用符号简记为:读作:“对任意x属于M,有p(x)成立”.新课讲授注意:

全称量词命题表明给定范围内所有对象x都具备某一性质p(x),无一例外.例1判断下列全称量词命题的真假：

(1)所有的素数都是奇数；

(2)∀x∈R,|x|

＋1≥1;(3)对每一个无理数x,x2也是无理数.小结:(1)判断全称命题“∀x∈M,p(x)”是真命题需要对集合M中所有元素x,验证p(x)成立;(2)判断全称命题“∀x∈M,p(x)”是假命题只需在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0)不成立(即举反例)即可.新课讲授完成教材P28面练习1.

下列语句是命题吗?比较(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系?(1)2x＋1＝3;(2)x能被2和3整除;(3)存在一个x∈R,使2x

+1=3;

(4)

至少有一个x∈Z,x

能被2和3整除.

短语“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某个”“有的”等在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“”表示.新课讲授含有存在量词的命题叫做存在量词命题

.

存在量词命题“存在M中的元素x,p(x)成立”可用符号简记为:读作:“存在元素x属于M,使p(x)成立”.新课讲授注意:

存在量词命题表明给定范围内只有部分对象x具有某一性质p(x),其他对象不一定具有这一性质(即有例外).例2判断下列存在量词命题的真假.(1)有一个实数x,使x2＋2x＋3＝0;(2)平面内存在两个相交直线垂直于同一条直线;(3)有些平行四边形是菱形.小结:(1)判断存在量词命题“∃x∈M,p(x)”是真命题只需在集合M中找到一个元素x,使得p(x)成立(举一例证明)即可;(2)判断存在量词命题“∃x∈M,p(x)”是假命题需要证明集合M中使p(x)成立的元素x不存在.完成教材P28面练习2.例题分析写出下列命题的否定.(1)所有的矩形都是平行四边形;(2)每一个素数都是奇数;(3)∀x∈R,x＋|x|≥0;它们与原命题在形式上有什么变化?含有一个量词的命题的否定

一般地,对于含有一个量词的全称量词命题的否定是存在量词命题,即:全称量词命题：

Ɐx∈M,p(x);全称量词命题的否定：∃x∈M,¬p(x);例3写出下列全称量词命题的否定.(1)所有能被3整除的数都是奇数;(2)每一个四边形的四个顶点在同一个圆上;(3)

对任意x∈Z,x2的个位数不等于3.例题分析全称量词命题：

Ɐx∈M,p(x);全称量词命题的否定：∃x∈M,¬p(x);写出下列命题的否定.(1)存在一个实数的绝对值是正数;(2)有些平行四边形是菱形;它们与原命题在形式上有什么变化?含有一个量词的命题的否定

一般地,对于含有一个量词的存在量词命题的否定是全称量词命题,即:存在量词命题：

∃x∈M,p(x);存在量词命题的否定：

Ɐx∈M,¬p(x);例4写出下列存在量词命题的否定.(1)∃x∈R,x

+2≤0;(2)有的三角形是等边三角形;(3)

有一个偶数是素数.例题分析存在量词命题：

∃x∈M,p(x);存在量词命题的否定：

Ɐx∈M,¬p(x);例5写出下列命题的否定,并判断真假:(1)任意两个等边三角形都相似;(2)∃x∈R,x2－x＋1=0.例题分析完成教材P31面练习1,2一个命题和它的否定不能同时为真命题,也不能同时为假命题,只能一真一假.常见词语的否定词语词语的否定等于不等于大于不大于(≤)小于不小于(≥)是不是都是不都是(与“都不是”区别开)至多一个至少两个至少一个一个也没有任意某个所有的某些例题选讲例6已知命题“∀

x∈R,

函数

y＝x2＋x＋a的图象和

x轴至多有一个公共点”是假命题,求实数

a的取值范围.解法一：由补集的思想;练习:已知命题

p:“∀x∈R,ax2＋2x＋1≠0”为假命题,求实数a的取值范围.解:由题意,p的否定

∃

x∈R,ax2＋2x＋1＝0为真命题,等价于方程

ax2＋2x＋1＝0在R上有解,则a＝0或

a≤1且a≠0.

故实数a的取值范围是

{a|a≤1}.例题选讲命题命题的表述全称量词命题p∀x∈M,p(x)全称量词命题