1.1.1集合的概念与表示（第2课时集合的表示）课件高一上学期数学北师大版

第一章预备知识1.1集合的概念与表示第2课时集合的表示北师大版

数学

必修第一册基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升学以致用·随堂检测促达标目录索引

课程标准1.掌握集合的两种表示方法:列举法和描述法.2.了解空集的含义.3.会用区间表示集合.基础落实·必备知识一遍过知识点1

集合的表示方法1.列举法列举法是把集合中的元素

出来写在花括号“{

}”内表示集合的方法,一般可将集合表示为{a,b,c,…}.

元素与元素之间必须用“,”隔开

2.描述法

通过描述元素满足的条件表示集合的方法叫作描述法.一般可将集合表示为{x及x的范围|x满足的条件},即在花括号内先写出集合中元素的一般符号及范围,再画一条竖线“|”,在竖线后写出集合中元素所具有的共同特征.一一列举

名师点睛1.用列举法表示集合时,必须注意以下几点:(1)集合的元素必须是明确的;(2)不必考虑元素出现的先后顺序;(3)集合的元素不能重复;(4)集合的元素可以表示任何事物;(5)对含有较多元素的集合,如果该集合的元素具有明显的规律,可用列举法表示,但是必须把元素间的规律显示清楚后,才能用省略号表示,如N+也可表示为{1,2,3,…,n,…}.2.描述法的一般形式是{x∈I|p(x)}.其中“x”是集合中元素的一般符号的代表形式,简称代表元素;“I”是x取值范围的一般代表形式;“p(x)”(可以是符号表达式,也可以是文字表述形式)是集合中元素x的共同特征的一般代表形式.通常用于表示无限集,或容易归纳其特征的集合.3.用描述法表示集合时,若需要多层次描述属性时,可选用“且”与“或”等联结.如集合{x|x<0或x≥3}.4.元素的取值范围,从上下文关系来看,如果x∈R是明确的,则∈R可以省略不写,如集合D={x∈R|x<9}可以表示为D={x|x<9}.5.若描述部分出现代表元素以外的字母时,要对该字母说明其含义或指出其取值范围.如{x∈Z|x=2m}中m未被说明,故该集合中元素是不确定的.6.所有描述的内容都要写在花括号内,如{x∈Z|x=2m,m∈N+},此时m∈N+不能写到花括号外.思考辨析1.a与{a}有什么区别?

2.使用列举法表示集合时,对于元素之间的排列顺序有什么要求?

3.集合A={x|x>5}与B={t|t>5}是否表示同一个集合?

提示

a是一个元素,{a}是一个集合.提示

由于集合中的元素具有无序性,因此使用列举法表示集合时,对于元素之间的排列顺序没有要求.提示

是.虽然表示代表元素的字母不同,但都表示由大于5的所有实数组成的集合,因而表示同一个集合.自主诊断1.[人教A版教材习题]用适当的方法表示下列集合:(1)由方程x2-9=0的所有实数根组成的集合;(2)一次函数y=x+3与y=-2x+6图象的交点组成的集合;(3)不等式4x-5<3的解集.解

(1){x|x2-9=0}或{-3,3}.(3){x|4x-5<3}或{x|x<2}.2.[人教A版教材习题]把下列集合用另一种方法表示出来:(1){2,4,6,8,10};(2)由1,2,3这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的一切自然数;(3){x∈N|3<x<7};(4)中国古代四大发明.解

(1){x∈N|x=2k,k=1,2,3,4,5}.(2){1,2,3,12,21,13,31,23,32,123,132,213,231,312,321}.(3){4,5,6}.(4){造纸术,指南针,火药,印刷术}.知识点2

集合的分类1.含有

的集合叫作有限集,含有

的集合叫作无限集.

2.不含任何元素的集合叫作

,记作

.

名师点睛1.集合的分类是按照集合中元素是有限个还是无限个划分的,不是按元素多少,一个集合中元素有很多,但是个数有限,也属于有限集.2.空集中不含有任何元素,{0}不是空集,因为它含有元素0.有限个元素

无限个元素

空集

⌀思考辨析空集是有限集还是无限集?提示

空集可以看成包含0个元素的集合,所以空集是有限集.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)大于1的整数所构成的集合可以用列举法表示,属于有限集.(

)(2)一元二次方程实数解的集合可以是空集.(

)×√2.[人教A版教材习题]下列集合中,哪些是有限集?哪些是无限集?(1)使得式子

有意义的所有实数组成的集合;(2)使得式子

有意义的所有自然数组成的集合;(3)方程x2=-1的所有实数解组成的集合.解

(2)(3)中的集合是有限集,(1)中的集合是无限集.知识点3

区间及其表示1.设a,b是两个实数,且a<b,我们作出规定

此条件不能省略集合表示符号表示数轴表示{x|a≤x≤b}[a,b]

{x|a<x<b}(a,b)

{x|a≤x<b}[a,b)

{x|a<x≤b}(a,b]

这里的实数a,b称为区间的端点.在数轴上表示区间时,用实心点表示

区间的端点,用空心点表示

区间的端点.

属于不属于2.实数集R也可用区间表示为(-∞,+∞),符号“∞”读作“

”,“-∞”读作“负无穷大”,“+∞”读作“正无穷大”.还可把满足x≥a,x>a,x≤b,x<b的实数x的集合分别表示为如下情况

集合表示符号表示数轴表示{x|x≥a}[a,+∞)

{x|x>a}(a,+∞)

{x|x≤b}(-∞,b]

{x|x<b}(-∞,b)

“∞”处一定要用开区间符号

无穷大3.[a,b]称为闭区间,(a,b),(a,+∞),(-∞,b)称为开区间,[a,b),(a,b],[a,+∞),(-∞,b]称为半开半闭区间.名师点睛1.区间只能表示数集.2.区间符号中的两个端点(字母或数字)之间只能用“,”隔开.思考辨析区间是数集的另一种表示方法,那么任何数集都能用区间表示吗?提示

不是任何数集都能用区间表示,如集合{0,1,2}就不能用区间表示.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)集合{1}可用区间[1,1]表示.(

)(2)区间可以表示空集.(

)(3)有的集合和区间可以互化.(

)××√2.用区间表示下列集合:(1){x|-1≤x≤3};(2){x|0<x≤1};(3){x|2≤x<5};(4){x|0<x<2};(5){x|x<3};(6){x|x≥2}.解

(1)[-1,3].(2)(0,1].(3)[2,5).(4)(0,2).(5)(-∞,3).(6)[2,+∞).重难探究·能力素养速提升探究点一集合的表示角度1用列举法表示集合【例1】

用列举法表示下列集合:(1)小于10的所有自然数组成的集合;(2)方程x2=x的所有实数根组成的集合;(3)由20以内的所有质数组成的集合.解

(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A,那么A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.(2)设方程x2=x的所有实数根组成的集合为B,那么B={0,1}.(3)设由20以内的所有质数组成的集合为C,那么C={2,3,5,7,11,13,17,19}.规律方法

1.使用列举法表示集合时,应注意以下几点:(1)在元素个数较少或元素间有明显规律时可用列举法表示集合;(2)“{}”表示“所有”的含义,不能省略,且元素无先后顺序,满足无序性.2.用列举法表示集合时,要分清该集合是数集、点集,还是其他集合.变式训练1用列举法表示下列集合:(1)直线x+y=3与x-y=1的交点组成的集合;(2)不大于10的非负奇数集;故所求集合为{(2,1)}.(2)不大于10的非负奇数集为{1,3,5,7,9}.(3)由题可知4-x的值为1,2,3,6,从而可以得到x的值为3,2,1,-2,所以A={-2,1,2,3}.角度2用描述法表示集合【例2】

用描述法表示下列集合:(1)函数y=-x的图象上的点组成的集合;(2)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合;(3)不等式x-2<3的解组成的集合.解

(1){(x,y)|y=-x}.(2){(x)||x|>3}.(3)不等式x-2<3的解是x<5,则不等式x-2<3的解组成的集合用描述法表示为{x|x<5}.规律方法

1.用描述法表示集合时应弄清楚集合的属性,即它是数集、点集还是其他的类型.一般地,数集用一个字母代表其元素,点集用一个有序实数对代表其元素.2.若描述部分出现代表元素以外的字母,则要说明新字母含义或指出其取值范围.变式训练2用描述法表示下列集合:(1)平面直角坐标系中x轴上的点组成的集合;(2)曲线y=x2-4上的点组成的集合;(3)使函数

有意义的实数x组成的集合.解

(1){(x,y)|x∈R,y=0}.(2){(x,y)|y=x2-4}.(3){x|x≠1}.以下是两位同学的答案,你认为哪一个正确?请说明理由.学生甲:由

得x=0或x=1,故A={0,1};学生乙:问题转化为求直线y=x与抛物线y=x2的交点,得到A={(0,0),(1,1)}.解

学生甲正确,学生乙错误.由于集合A的代表元素为x,这是一个数,而不是点.因此满足条件的元素只能为x=0,1;而不是实数对(0,0),(1,1),故学生甲正确.变式探究若把例3中的集合改为,哪位同学解答正确?解

代表元素是点,所以这是点集,学生乙正确.探究点二集合表示方法的选择与转换【例4】

[2024江西宜春开学检测]试选择适当的方法表示下列集合:(1)由方程x2-9=0的所有实数根组成的集合;(2)由小于8的所有素数组成的集合;(3)一次函数y=x+3与y=-2x+6的图象的交点组成的集合;(4)不等式4x-5<3的解集.解

(1)∵方程x2-9=0的实数根为-3,3,∴列举法表示该集合为{-3,3}.(2)∵小于8的素数为2,3,5,7,∴列举法表示该集合为{2,3,5,7}.∴列举法表示该集合为{(1,4)}.(4)解不等式4x-5<3,得x<2,∴描述法表示该集合为{x|x<2}.规律方法

表示集合时,应先根据题意确定符合条件的元素,再根据元素情况选择适当的表示方法.值得注意的是,并不是每一个集合都可以用两种方法表示出来.变式训练3用另一种方法表示下列集合:(1){绝对值不大于2的整数};(2){能被3整除,且小于10的正数};(3){-3,-1,1,3,5}.解

(1){-2,-1,0,1,2}.(2){3,6,9}.(3){x|x=2k-1,-1≤k≤3,k∈Z}.探究点三已知集合中元素个数求参数范围【例5】

若集合A={x|kx2-8x+16=0}中只有1个元素,试求实数k的值,并用列举法表示集合A.解

当k=0时,原方程为-8x+16=0,解得x=2.此时集合A={2},满足题意.当k≠0时,要使关于x的一元二次方程kx2-8x+16=0有两个相等实根,只需Δ=64-64k=0,即k=1.此时方程的解为x1=x2=4,集合A={4},满足题意.综上所述,实数k的值为0或1.当k=0时,A={2};当k=1时,A={4}.变式探究1例5中,若集合A中含有2个元素,试求实数k的取值范围.解得k<1,且k≠0.故k的取值范围为{k|k<1,且k≠0}.变式探究2例5中,若集合A中至多有1个元素,试求实数k的取值范围.解

①当集合A中含有1个元素时,由例5知,k=0或k=1;②当集合A中没有元素时,方程kx2-8x+16=0无解,综上,实数k的取值范围为{k|k=0,或k≥1}.规律方法

1.解答与描述法有关的问题时,明确集合中代表元素及其共同特征是解题的切入点及关键点.2.本题因不能确定kx2-8x+16=0是否为一元二次方程,因而,需要分为k=0和k≠0两种情况进行讨论,从而做到不重不漏.3.解答集合与含有参数的方程的综合问题时,一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论,确定方程的根的情况,进而求得结果.需特别关注判别式在讨论一元二次方程的实数根个数中的作用.本节要点归纳1.知识清单:(1)用列举法和描述法表示集合;(2)两种表示法的综合应用;(3)区间.2.方法归纳:等价转化.3.常见误区:点集与数集的区别.学以致用·随堂检测促达标123456789A级必备知识基础练1.[探究点一]已知集合A={x|x(x+4)=0},则下列结论正确的是(

)A.0∈A

B.-4∉A

C.4∈A

D.2∈AA解析

∵A={x|x(x+4)=0}={0,-4},∴0∈A.10111234567892.[探究点二]下列集合中,不同于另外三个集合的是(

)A.{0} B.{y|y2=0}C.{x|x=0} D.{x=0}D解析

由集合的含义知{0}={y|y2=0}={x|x=0},而集合{x=0}表示由方程x=0组成的集合,故选D.1011123456789AD解析

由

得k=3x=4y,将各个选项中的数对代入验证,得A,D符合.故选AD.10111234567894.[探究点一、三]设集合A={x|x2-3x+a=0},若4∈A,则a=

,此时集合A用列举法表示为

.

-4{-1,4}解析

∵4∈A,∴16-12+a=0,∴a=-4,∴A={x|x2-3x-4=0}={-1,4}.10111234567895.[探究点三]已知集合A={x|2x+a>0},且1∉A,则实数a的取值范围是

.

{a|a≤-2}

解析

∵1∉{x|2x+a>0},∴2×1+a≤0,即a≤-2.10111234567896.[探究点二]用适当的方法表示下列集合:(1)一年中有31天的月份的全体;(2)大于-3.5小于12.8的整数的全体;(3)梯形的全体构成的集合;(4)所有能被3整除的数的集合;(5)方程(x-1)(x-2)=0的解集;(6)不等式2x-1>5的解集.1011123456789解

(1){1月,3月,5月,7月,8月,10月,12月}.(2){-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}.(3){a|a是梯形}或{梯形}.(4){x|x=3n,n∈Z}.(5){1,2}.(6){x|x>3}.1011123456789B级关键能力提升练7.定义集合运算:A·B={z|z=x2(y-1),x∈A,y∈B}.设A={-1,1},B={0,2},则集合A·B中的所有元素之和为(

)A.0 B.1 C.2 D.3A解析

当x=-1,y=0时,z=(-1)2×(0-1)=-1;当x=-1,y=2时,z=(-1)2×(2-1)=1;当x=1,y=0时,z=12×(0-1)=-1;当x=1,y=2时,z=12×(2-1)=1.所以A·B={-1,1},所以A·B中所有元素之和为0.故选A.10111234567898.(多选题)下列关于集合的概念及表示正确的是(

)A.集合{y|y=2x2+1}与集合{(x,y)|y=2x2