概率统计简明教程的课后习题答案

第一章

1.用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A:

(1)抛•枚硬币两次，观察出现的面，事件4=｛两次出现的面相同｝;

(2)记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件A=｛一分钟内呼叫次数不超过3次｝;

(3)从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件A=｛寿命在200到250小时之间｝。

解⑴。=｛(+,+),(+,_),(_,+),(一,_)｝,4=｛(+,+),(_,一)｝.

(2)记X为一分钟内接到的呼叫次数，贝U

。=｛X=8k=0,1,2,……｝,A=｛X=■k=0,1,2,3｝.

(3)记X为抽到的灯泡的寿命(单位：小时)，则

Q={Xe(0,+8)},A^{Xe(2000,2500)}.

2.袋中有10个球，分别编有号码1至10,从中任取1球，设A=｛取得球的号码是偶数｝,3=｛取

得球的号码是奇数｝,C=｛取得球的朝小于？！问下列运算表示什么事件:

(l)AUB；(2)AB；(3)AC；(4)AC；(5)AC；(6)BljC;(7)>W2.

解(1)AU8=。是必然事件；

(2)A%是不可能事件；

(3)/产｛取得球的号码是2,4｝；

(4)了七三｛取得球的号码是1,3,5,6,7,8,9,10｝；

(5)点=｛取得球的号码为奇数，且不小于5｝=｛取得球的号码为5,7,91；

(6)月&=豆口3=｛取得球的号码是不小于5的偶数｝=｛取得球的号码为6,8,10｝；

(7)A-C=｛取得球的号码是不小于5的偶数｝=｛取得球的号码为6,8,101

3.在区间10,0上任取一数，记A=4x-B=求下列事件的表达式：

242

(l)AUS；(2)AB；(3)AB；(4)AUB.

■8=卜上了<|>;

解⑴

AB=j.rO<x<^gJcl<x<2>riB=<xn-<xx,「3、

(2)I/；

(3)因为Au8,所以A豆=。；

_13I13

(4)/4U5=AU^XO<X<-BK-<X<2>,x04x<—或一<x«l或一<x4254.用事件AWC的

42422

运算关系式表示下列事件：

(1)A出现，5,C都不出现(记为号)；

(2)A3都出现，C不出现(记为/)；

(3)所有三个事件都出现(记为/)；

(4)三个事件中至少有一个出现(记为口)；

(5)三个事件都不出现(记为EQ；

(6)不多于一个事件出现(记为Ee)；

(7)不多于两个事件出现(记为E?)；

(8)三个事件中至少有两个出现(记为Eg)0

解⑴毕

⑶有=HZ；

⑸名

5.一批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三次，每次取一件，设儿表示事件“第i次

抽到废品"，试用4,表示下列事件：

(1)第一次、第二次中至少有一次抽到废品;

⑵只有第一次抽到废品；

⑶三次都抽到废品；

⑷至少有一次抽到合格品；

⑵只有两次抽到废品。__

解⑴6U4；⑵4区区;⑶4AA；

(4)刁海3；

6.接连进行三次射击，设A,=｛第i次射击命中｝,5=｛三次射击恰好命中二次｝,

C=｛三次射击至少命中二次｝;试用4,表示8和C。

习题二解答

1.从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品，求其中恰有1件次品的概率。

’50A

解这是不放回抽取，样本点总数”=，记求概率的事件为A,则有利于A的样本点数

、37

$0•于是

k=

~00

4声9,

rr5田»也3口

2.一口袋中有5个红球及2个白球，从这袋中任取一球，看过它的颜色后放回袋中，然后,

再从这袋中任取一球，设每次取球时袋中各个球被取到的可能性相同。求

(1)第一次、第二次都取到红球的概率；

⑵第一次取到红球，第二次取到白球的概率；

⑶二次取得的球为红、白各一的概率；

(4)第二次取到红球的概率。

解本题是有放回抽取模式，样本点总数〃=7\记⑴(2)(3)(4)题求概率的事件分别为

守2：

(i)有利于4的样本点数七=斤，故vj卞

g有利于2的样本点数&*W故农干>

4

90

(iii)有利于C的样本点数生故

(iv)有利于D的样本点数行Ge故=.

3.一个口袋中装有6只球，分别编上号码1至6,随机地从这个口袋中取2只球，试求：(1)最

小号码是3的概率；(2)最大号码是3的概率。

解本题是无放回模式，样本点总数

(i)最小号码为3,只能从编号为3,4,5,6这四个球中取2只，且有一次抽到3,因而有利

样本点数为2x3,所求概率为—

6x55

(ii)最大号码为3,只能从1,2,3号球中取，且有一次取到3,于是有利样本点数为2x2,

所求概率为—

6x515

4.一个盒子中装有6只晶体管，其中有2只是不合格品，现在作不放回抽样，接连取2次，

每次取1只，试求下列事件的概率：

(1)2只都合格；

(2)1只合格，1只不合格；

(3)至少有1只合格。

解分别记题(1)、⑵、(3)涉及的事件为则

注意到月4与B互斥，因而由概率的可加性知

5.掷两颗骰子，求下列事件的概率：

(1)点数之和为7；(2)点数之和不超过5；(3)点数之和为偶数。

解分别记题(1)、(2)、(3)的事件为A4C,样本点总数H=8

(i)A含样本点(1,6),(6,1),(3,4),(4,3)

61

(ii)B含样本点(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,2),(2,3),(3,2)

105

(iii)C含样本点(1,1),(1,3),(3,1),(1,5),(5,1);(2,2),(2,4),(4,2),(2,6),(6,2),(3,3),

(3,5),(5,3);(4,4),(4,6),(6,4);(5,5);(6,6),一共18个样本点。

飞m

6.把甲、乙、丙三名学生随机地分配到5间空置的宿舍中去，假设每间宿舍最多可住8人，

试求这三名学生住不同宿舍的概率。

解记求概率的事件为A,样本点总数为51而有利4的样本点数为斗3,所以

1

5N

7.总经理的五位秘书中有两位精通英语，今偶遇其中的三位，求下列事件的概率:

(1)事件A:“其中恰有一位精通英语”；

⑵事件8：“其中恰有二位精通英语”；

(3)事件C:“其中有人精通英语”。

解样本点总数为

_2>3x3_6_3

⑴-5>«4>3^103；

⑵

⑶

口<

8.设一质点一定落在xOy平面内由x轴、y车11及直线产*与所围成的三角形内，而落在这三

角形内各点处的可能性相等，计算这质点落在直必味的左边的概率。

解记求概率的事件为A,则S4

为图中阴影部分，而

夕£

ND1

最后由几何概型的概率计算公式可得

1/3

K2S

9.（见前面问答题2.3）图2.3

10.已知AzzE,,E=€3E,求

(l)P(A),尸(3)；(2)Z^<J9；⑶无(4)」⑸

解⑴二

⑸二

11.设A,8是两个事件，已知国A。，々^3^^，试求上给百及国

解注意到

习题三解答

1.已知随机事件A的概率国务q,随机事件8的概率/9E，条件概率不用今F©,

试求RA耳及反物.

2.一批零件共100个，次品率为10%,从中不放回取三次(每次取一个)，求第三次才取得正

品的概率。

解/A；__二__,

3.某人有一笔资金，他投入基金的概率为0.58,购买股票的概率为0.28,两项投资都做的概

率为0.19

(1)已知他已投入基金，再购买股票的概率是多少？

(2)已知他已购买股票，再投入基金的概率是多少？

解记A=｛基金｝,6=｛股票｝,则一-_■■

5.有朋自远方来，他坐火车、船、汽车和飞机的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4,若坐火车，

迟到的概率是0.25,若坐船，迟到的概率是0.3,若坐汽车，迟到的概率是0.1,若坐飞机则不会迟

到。求他最后可能迟到的概率。

解3=｛迟到｝,4=｛坐火车｝,4=｛坐船｝,43=｛坐汽车｝,4=｛乘飞机｝,则B=U54-

且按题意

>^EE^>=C.

由全概率公式有：

6.已知甲袋中有6只红球，4只白球；乙袋中有8只红球，6只白球。求下列事件的概率:

(1)随机取一只袋，再从该袋中随机取一球，该球是红球；

(2)合并两只袋，从中随机取一球，该球是红球。

解⑴记6=｛该球是红球｝,A=｛取自甲袋｝,4=｛取自乙袋｝,已知土中

所以

7.某工厂有甲、乙、丙三个车间，生产同一产品，每个车间的产量分别占全厂的25%,35%,

40%,各车间产品的次品率分别为5%,4%,2%,求该厂产品的次品率。

解.一—一

8.发报台分别以概率0.6,0.4发出"•"和"-"，由于通信受到干扰，当发出“•"时，分别以概

率0.8和0.2收到"•"和同样，当发出信号"-"时，分别以0.9和0.1的概率收到"-"和"・"。

求(1)收到信号"•"的概率；(2)当收到"•"时，发出"•"的概率。

解记3=｛收到信号A=｛发出信号"・"｝

9.设某工厂有A石C三个车间，生产同一螺钉，各个车间的产量分别占总产量的25%,35%,

40%,各个车间成品中次品的百分比分别为5%,4%,2%,如从该厂产品中抽取一件，得到的是次

品，求它依次是车间A石C生产的概率。

解为方便计，记事件A石C为车间生产的产品，事件£)=｛次品｝,因此

P(D)=P(A)P(OIA)+P(B)P(DIB)+尸(C)P(OIC)

=0.25x0.05+0.35x0.04+0.4x0.02

=0.0125+0.014+0.008=0.0345

P(A)P(DIA)025x0.05

P(AID)==0.362

P(D)0.0345

P(B)P(D\B)_0.35x0.04

P⑻D)==0.406

P(D)0.0345

P(C)P(0IC)0.4x0.02

P(CID)=0.232

P(D)0.0345

10.设A与B独立，且2(4)=。,2(8)=4，求下列事件的概率：代43,R46,

解P(AU8)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=p+q—pq

P(AU豆)=P(A)+P(豆)一P(A)P(月)=p+l_q_p(l_q)=l—q+pq

P(AUB)=P(AB)=1-P(A)P(B)=\-pq

11.已知A,8独立，目求国

解因由独立性有

从而导致国务^5

再由至田*,有

所以最后得到

12.甲、乙、丙三人同时独立地向同一目标各射击一次，命中率分别为1/3,1/2,2/3,求目标

被命中的概率。

3

解记6=｛命中目标｝,A=｛甲命中｝,42=｛乙命中｝,4=｛丙命中｝，贝U因

而

13.设六个相同的元件，如下图所示那样安置在线路中，设每个元件不通达的概率为p,求这

个装置通达的概率。假定各个元件通达与否是相互独立的。

解记A=｛通达｝,2

4=｛兀件i通达｝，AT

5K

图3.1

14.假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作，若一周五

个工作日里每天是否发生故障相互独立，试求一周五个工作日里发生3次故障的概率。

解

15.灯泡耐用时间在1000小时以上的概率为0.2,求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有

一个坏了的概率。

16.设在三次独立试验中，事件A出现的概率相等，若已知A至少出现一次的概率等于19/27,

求事件A在每次试验中出现的概率气⑷.

解记4=｛A在第i次试验中出现｝,2=123

依假设

所以，（1—jpf=-+,此即/?=1/3.

2/

17.加工一零件共需经过3道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为2%、3%、5%.假

设各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率。

解注意到，加工零件为次品，当且仅当1-3道工序中至少有一道出现次品。记4,=｛第1道工

序为次品｝,z=133则次品率

IW

18.三个人独立破译一密码，他们能独立译出的概率分别为0.25,0.35,0.4.求此密码被译出

的概率。

解记4=｛译出密码｝,4=｛第，人译出｝,£=123则

19.将一枚均匀硬币连续独立抛掷10次，恰有5次出现正面的概率是多少？有4次至6次出

现正面的概率是多少？

20.某宾馆大楼有4部电梯，通过调查，知道在某时刻T,各电梯正在运行的概率均为0.75,

求：

(1)在此时刻至少有1台电梯在运行的概率；

(2)在此时刻恰好有一半电梯在运行的概率；

(3)在此时刻所有电梯都在运行的概率。

习题四解答

1.下列给出的数列，哪些是随机变量的分布律，并说明理由。

(1)

4

yi-l

(4)

解要说明题中给出的数列，是否是随机变量的分布律，只要验证九是否满足下列二个条件：

其一条件为/浑。，其二条件为»=1。

依据上面的说明可得(1)中的数列为血机变量的分布律；(2)中的数列不是随机变量的分布律,

因为门上(3)中的数列为随机变量的分布律；(4)中的数列不是随机变量的分布律,

<3<3

这是因为£2?=上品1。

z=i25

2.试确定常数c,使用0=^^成为某个随机变量X的分布律，并求：心0；

解要使j成为某个随机变量的分布律，必须有$*=1,由此解得。=?;

(3)

3.•口袋中有6个球，在这6个球上分别标有-3,-3,1,1,1,2这样的数字。从这袋中任取

一球，设各个球被取到的可能性相同，求取得的球上标明的数字X的分布律与分布函数。

解X可能取的值为-3,1,2,且,即X的分布律为

X-312

概率ri

X的分布函数

03

r

1A:>2

4.一袋中有5个乒、乓球，编号分别为1,2,3,4,5,从中随机地取3个，以X表示取出的3

个球中最大号码，写出X的分布律和分布函数。

解依题意X可能取到的值为3,4,5,事件｛¥=3表示随机取出的3个球的最大号码为3,

1

则另两个球的只能为1号，2号，即Ax=3事件｛X=4表示随机取出的3个球的最大

0

号码为4,因此另外2个球可在1、2、3号球中任选，此时P（X=4）=片;同理可得

(3

1X

6

P(X=5)=

a10

X的分布律为

X345

"TTV

概率FiTIF

X的分布函数为

0x<3

10

4

F

1x>5

5.在相同条件下独立地进行5次射击，每次射击时击中目标的概率为0.6,求击中目标的次数X

的分布律。

解依题意X服从参数7的二项分布，因此，其分布律

具体计算后可得

XI012345

7ZZ3248W216162

概率---————————---

31256256256256253125

6.从一批含有10件正品及3件次品的产品中一件一件的抽取。设每次抽取时，各件产品被抽

到的可能性相等。在下列三种情形下，分别求出直到取得正品为止所需次数X的分布律。

（1）每次取出的产品立即放回这批产品中再取下一件产品；

（2）每次取出的产品都不放回这批产品中；

（3）每次取出一件产品后总是放回一件正品。

解（1）设事件表示第i次抽到的产品为正品，依题意，a-办-相互独立，且

即X服从参数p哈的儿何分布。

（2）由于每次取出的产品不再放回，因此，X可能取到的值为1,2,3,4,

X的分布律为

X1234

（3）X可能取到的值为1,2,3,4,

今

所求X的分布律为

X1234

1033726

概率

B16921972197

由于三种抽样方式不同，导致X的分布律也不一样，请仔细体会它们的不同处。

7.设随机变量必向九已知七7,求p与布〈分的值。

即叁送分解得p=I;

此时,

8.掷一枚均匀的硬币4次，设随机变量X表示出现国徽的次数，求X的分布函数。

解一枚均匀硬币在每次抛掷中出现国徽的概率为，因此X服从的二项分布，即

9.某商店出售某种物品，根据以往的经验，每月销售量X服从参数外4的泊松分布，问在月

初进货时，要进多少才能以99%的概率充分满足顾客的需要?

解设至少要进"件物品，由题意”应满足

查泊松分布表可求得«=9»

10.有一汽车站有大量汽车通过，每辆汽车在一天某段时间出事故的概率为0.000L在某天该

段时间内有1000辆汽车通过，求事故次数不少于2的概率。

解设x为woo辆汽车中出事故的次数，依题意，x服从的二项分布，即

0》算，由于"较大，P较小，因此也可以近似地认为x服从一^的

泊松分布，即*所求概率为

O1

匕

11.某试验的成功概率为0.75,失败概率为0.25,若以X表示试验者获得首次成功所进行的试

验次数，写出X的分布律。

解设事件'表示第i次试验成功，则走喙=07,且外-小-相互独立。随机变量X取k意

味着前4-1次试验未成功，但第k次试验成功，因此有

所求的分布律为

X|12…k…

概率0.75CEF517……

12.设随机变量X的密度函数为

1/（司=r2x,O=^x?=^

Y0,其他，

试求：(1)常数A；(2)X的分布函数。

解（1）/（x）成为某个随机变量的密度函数必须满足二个条件，其一为小其二为

工^（学心白，因此有解得a=^a,其中a=~j舍去，即取A=L

（2）分布函数

I<0

L(lZx+^2xdx0<X<1

£Orfx+^2xdxi-fOt/xx>I

X<0

0<x<1

x>1

13.设随抗变量X的密度函数为.*求：（1）系数A；（2）不（3）

X的分布函数。

解（1）系数A必须满足煤展3,由于e句为偶函数，所以

解得4T

(2)

.r<0

f—自由dx\-f—e^^dxI>0

I')2

exdxx<0

xx

edx-\-^-^e~dxI>0

i<0

2

rye,i<0

14.证明：函数

iT

/W=：—e（c为正的常数）

Y

0

为某个随机变量外的密度函数。

证由于木万天，且

因此f(x)满足密度函数的二个条件，由此可得了(X)为某个随机变量的密度函数。

15.求出与密度函数

0.5t*x<0

./(吊=J-0,250<x<2

(0X>2

对应的分希函数F(x)的表达式。

解当xwo时，

当时，-£<~

当x>2时，

综合有

r0.5e",x<0;

A苗=，0.5+0.25x,0<x<2;

[1,x>2.

16.设随机变量X在(1,6)上服从均匀分布，求方程各宿乐*有实根的概率。

解X的密度函数为

17.设某药品的有效期X以天计，其概率密度为

20000

/W=rx>O;

(x+1003

0,其他.

求：(1)X的分希函数；(2)至少有200天有效期的概率。

x<0;

解(1)应片\r20000

U(x+100)「

x>0.

r0,i<0;

=<110000

、(x+100)2x>0.

18.设随机变量X的分布函数为

小

J1—(1+在*,JT>0

求x的密注函数，并计算出y和型F。

解由分布函数尸(x)与密度函数/(x)的关系，可得在/(X)的一切连续点处有力出斗，因此

x>0

./W=Y

其他

育,

19.设随机变量X的分布函数为求⑴常数A3；(2)用耳与；

(3)随机变量X的密度函数。

解：⑴要使尸⑴成为随机变量X的分布函数，必须满足五林金,即

_J^=——一y，.

1ii^aA-fJELirc

je~~>-oo-

,Vl—i»-OO4Tsirc<

A--B=O

计算后得Ir2

A+—B=1

I2

解得

另外，可验证当A」,“时，楠一T二ar=也满足分布函数其余的几条性质。

2兀N^77

(2)■』■("■(1)-

二上_

1J7Z71「7、

-zz^4-JTZ\^-472

(3)X的密度函数

20.设顾客在某银行的单口等待服务的时间(单位：min)服从2=；的指数分布，其密度函数

[.1J>0*

为/(司=r'I某顾客在窗口等待服务，若超过lOmin,他就离开。

oM

(1)设某顾客某天去银行，求他未等到服务就离开的概率；

(2)设某顾客一个月要去银行五次，求他五次中至多有一次未等到服务的概率。

解(1)设随机变量x表示某顾客在银行的窗口等待服务的时间，依题意x服从』=1的指数分布,

且顾客等待时间超过lOmin就离开，因此，顾客未等到服务就离开的概率为

(2)设Y表示某顾客五次去银行未等到服务的次数，则Y服从的二项分布，所求

概率为

21.设X服从NQ1)，借助于标准正态分布的分布函数表计算：(1)布92；(2)

美内―4%(3)牟(4)用券士5)；(5)库平=2^。

解查正态分布表可得

23.某厂生产的滚珠直径服从正态分布皿中》，合格品的规格规定为求该厂滚珠

的合格率。

解所求得概率为

24.某人上班所需的时间（单位：min）已知上班时间为8：30,他每天7：50出

门，求：（1）某天迟到的概率；（2）一周（以5天计）最多迟到一次的概率。

解（1）由题意知某人路上所花时间超过40分钟，他就迟到了，因此所求概率为

（2）记Y为5天中某人迟到的次数，则Y服从了—1.的二项分布，5天中最多迟到

次的概率为

习题五解答

1.二维随机变量（x,力只能取下列数组中的值:，且取这些组值的概率依

次为笈+W求这二维随机变量的分布律。

解由题意可得（X,力的联合分布律为

X\Y0T1

1|_

-10FT

|_

0V00

5

2iF00

2.一口袋中有四个球，它们依次标有数字口23。从这袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋

中任取一球。设每次取球时，袋中每个球被取到的可能性相同。以X、Y分别记第一、二次取到的

球上标有的数字，求（X力的分布律及加3。

解X可能的取值为123,Y可能的取值为123,相应的，其概率为

3.箱子中装有10件产品，其中2件为次品，每次从箱子中任取一件产品，共取2次，定义随

机变量X、Y如下：

X=f0,若第一次取出正品；Y=[0,若第二次取出正品；

Y1,若第一次取出次品；[1,若第二次取出次品。

分别就下面两种情况求出二维随机变量（X,力的联合分布律：（1）放回抽样；（2）不放回抽样。

解（1）在放回抽样时，X可能取的值为（）,1,Y可能取的值也为0,1,且

或写成

X\Y01

--L上

2525

1工L

2525

（2）在无放回情形下，X、Y可能取的值也为0或1,但取相应值的概率与有放回情形下不一

样，具体为

或写成

X\Y01

288

0

81

1F

4.对于第1题中的二维随机变量（X,力的分布，写出关于X及关于Y的边缘分布律。

解把第1题中的联合分布律按行相加得X的边缘分布律为

X-102

概率5L5

1212

按列相加得Y的边缘分布律为

Y0•1

11

概率L

1212j

5.对于第3题中的二维随机变量（X,力的分布律，分别在有放回和无放回两种情况下，写出关

于X及关于Y的边缘分布律。

解在有放回情况下X的边缘分布律为

XJ01

概率—:

Y的边缘分布律为

Y|01

概率

5j

在无放回情况下X的边缘分布律为

X|01

概率二L

Y的边缘分布律为

Y|01

概率—L

5）

6.求在D上服从均匀分布的随机变量（X,力的密度函数及分布函数，其中D为x轴、y轴及直

线>=刍曰4围成的三角形区域。

解区域D见图5.2。

易算得D的面积为xS=^xl><^=^>所以（X,力的密

度函数

V1L其他

（X,力的分布函数

当x<-；或yvO时，

当一餐gs普时

当

当时，心&柿，辱中;

N

综合有

0,

N-

7.对于第5题中的二维随机变量（X,力的分布，写出关于X及关于Y的边缘密度函数。

解X的近缘密度函数为

1c

_j）l+i4Jy,-J<x<0_"4（2x+1）,——<x<0

2

L°，其他I°,

其他

Y的边缘密度函数为

后4dx,0<y<12（1-y）,0<>,<1

一jJ其他一j0，其他

8.在第3题的两种情况下，X与Y是否独立，为什么？

解在有放回情况下，由于弟,而有,即

容易验证

（由独立性定义知X与Y相互独立。

在无放回情况下，由于牟誓,而,易见

4^-所以x与Y不相互独立。

9.在第6题中，X与Y是否独立，为什么？

解j«Wj=4'而为㈢易见=0逐代9€'所以*与丫不相

互独立。

10.设X、Y相互独立且分别具有下列的分布律:

写出表示（X力的分布律的表格。

解由于X与Y相互独立，因此

其余的联合概率可同样算得，具体结果为

X\Y-0.513

|_11

-2

!1616

11

-1

i1212

111

0

244848

11

0.5

S1212

11.设X与Y是相互独立的随机变量,X服从［QQ月上的均匀分布,Y服从参数为5的指数分布,

求（x,力的联合密度函数及伞a方。

解.由均匀分布的定义知

0<x<0.2

以但=<；

其他

由指数分布的定义知

出={y>0

其他

因为X与丫症立，易得（X,力的联合密度函数

Ocv<Q2_y>C

箕他

概率

其中区域^见图53经计算有

12.设二维随机变量（X,力的联合密度函数为

—小+办),x>0,y>0

一

0,其他

求：（1）系数k；（力与；（3）证明X与Y相互独立。

解（1）女必须满足

（3）关于X的边缘密度函数

X>0

.太^

其他

V-

3厂“x>0

0,其他

同理可求得Y的边缘密度函数为

「4<4\x>0

0,其他

易见於记■功一—.1，因此X与Y相互独立。

13.已知二维随机变量（X,力的联合密度函数为

二Ooc:<4jC)<^y<Oc

:0,打他

（1）求常数k；（2）分别求关于X及关于Y的边缘密度函数；（3）X与Y是否独立?

解（1）1满足即*名底玉=^>^^^帛得左=2”；

（2）X的边缘密度函数

岸心一同必0<x<l

Q其他

12r2(1—x),0cxe1

0,其他

Y的边缘密度函数为

31）必0<y<1

Q其他

,「1次1一寸,0<J<1

其他

必X=而=,易见

N4三

,因此X与Y不相互独立。

14.设随机变量X与Y的联合分布律为

X\Y01

0b

25

且用(1)求常数a/的值；(2)当a力取(1)中的值时，X与Y是否独立？为什

么？

解⑴，力必须满足益…，即专学可推出…噂另外由条件

概率定义及已知的条件得

N三

由此解得6=」，结合a+Z?=U可得至h=%

252525

c14

即25

25

因此，X与Y不独立。

15.对于第2题中的二维随机变量(X,力的分布，求当』2时X的条件分布律。

解易知因此』2时X的条件分布律为

XIY=2123

16.对于第6题中的二维随机变量(X,力的分布，求当/时Y的条件密度函数。

解X的边缘密度函数为(由第7题所求得)

一=［产+i),4<x<0

i’其他

由条件密度函数的定义知当为时Y的条件密度函数为

O<yv2r+1

方式f4（2X+1），

方区y0,其他

1]

Ovyv2v+1

=21+1'

箕他

<0,

习题六解答

1.设X的分布律为

X-2-0.5024

概率|_|_

rFrr:

2

求出：以下随机变量的分布律。(1)(2)(3)Xo

解由X的分布律可列出下表

概率rirLrLrLr

X-2-0.5024

01.5246

31.51-1-3

X240.250416

由此表可定出

(1)必无的分布律为

0246

l_i_l_l_l_

概率rFrr:

(2)—4^：44的分布律为

；

-3-113

?

1_i_

概率L