新高考数学一轮复习 讲与练第1讲 集合与常用逻辑用语讲义（解析版）

集合与常用逻辑用语学校____________姓名____________班级____________一、知识梳理1.元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.(4)常用数集及记法名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法NN*或N＋ZQR2.集合间的基本关系(1)子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集.记作A⊆B(或B⊇A).(2)真子集：如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集.记作AB(或BA).(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪BA∩B若全集为U，则集合A的补集为∁UA图形表示集合表示{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x∉A}4.集合的运算性质(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A.5.全称量词与存在量词(1)全称量词：一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“∀”表示.(2)存在量词：“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，称为存在量词，用符号“∃”表示.6.全称量词命题和存在量词命题名称全称量词命题存在量词命题结构对M中的任意一个x，有q(x)成立存在M中的一个x，使p(x)成立简记∀x∈M，q(x)∃x∈M，p(x)否定∃x∈M，非q(x)∀x∈M，非p(x)7.充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇒pp是q的必要不充分条件p⇒q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇒q且q⇒p考点和典型例题集合的性质【例题1-1】（2022·北京密云·高三期中）已知集合P={x|0<x<4,x∈Z}，且M⊆P，则M可以是（

）A．{1,2} B．{2,4} C．{0,2} D．{3,4}【详解】因为P={x|0<x<4,x∈Z}={1,2,3}，又M⊆P，所以任取x∈M，则x∈所以M可能为{2,3}，A对，又0∉M，4∉M，∴

M不可能为{2,4}，{0,2}，{3,4}，B，C，D错，故选：A.【例题1-2】（2022·山东聊城·二模）已知集合A=0,1,2，B=aba∈A,b∈A，则集合BA．2 B．3 C．4 D．5【详解】解：因为A=0,1,2，a∈A,b∈A，所以ab=0或ab=1或ab=2或ab=4故B=aba∈A,b∈A=0,1,2,4，即集合故选：C【例题1-3】（2022·海南海口·模拟预测）已知集合M=−2,0,1，N=xx2+ax−2=0，若N⊆MA．2 B．1 C．0 D．-1【详解】对于集合N，因为Δ=所以N中有两个元素，且乘积为-2，又因为N⊆M，所以N=−2,1所以−a=−2+1=−1．即a＝1．故选：B.【例题1-4】（2022·湖南·雅礼中学二模）已知集合A={∅,∅}，下列选项中均为A的元素的是（（1）∅（2）∅（3）∅（4）∅A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（2）（4）【详解】集合A有两个元素：∅和∅，故选：B集合的运算【例题2-1】（2022·广东韶关·二模）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁UA∪B=A．{4，5} B．{1，2}C．{2，3} D．{1，2，3，4}【详解】A∪B=1,2,3，则∁故选：A．【例题2-2】（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知全集为R，集合A=x15x<1，B=A．xx≤0 B．x0<x≤1 C．x【详解】集合A=x15∵B=x1x∴B=x|0<x≤1，∁由集合交集运算得到：A∩∁RB=【例题2-3】（2022·河北唐山·二模）设全集U=R，集合A=0,1,2，B=xx≥2，则A∩∁A．0,1,2 B．0,1 C．2 D．x【详解】解：因为B=xx≥2，所以∁U所以A∩∁【例题2-4】（2022·广东·二模）已知集合M=x|xx−2<0,N=x|x−1<0A．−∞,2 B．−∞,1【详解】集合M=x|xx−2<0则M∩N=x|0<x<1=故选：C【例题2-5】（2022·广东潮州·二模）已知集合A=xx≤−1或x>2，则∁RA．x−1≤x<2 B．C．x−1<x<2 D．A=x【详解】因为A=xx≤−1或x>2，所以∁R故选：B量词命题的否定、充分条件和必要条件【例题3-1】（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）命题“∃x0∈0,+∞A．∃x0∈0,+∞，C．∀x∈0,+∞，lnx<x−1 D．【详解】由特称命题的否定知原命题的否定为：∀x∈0,+∞，故选：C.【例题3-2】（2022·山东济宁·二模）“x>y”的一个充分不必要条件是（

）A．lnx>lny B．x2【详解】因为lnx>lny，所以x>y>0，由于x>y>0⇒x>y令x=−2,y=0，则满足x2>y由x3>y令x=−2,y=1，则满足1x<1故选：A【例题3-3】（2022·江西南昌·二模（文））已知p:−1<x<2，q:2x+1−x<2，则p是qA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【详解】对于不等式2x+1<x+2，作出曲线y=2由图象可知，不等式2x+1<x+2的解集为因为x−1<x<2x−1<x<0，因此，p是故选：B.【例题3-4】（2022·陕西·安康市高新中学三模（理））直线l:y=kx+1−k与函数y=1−x2A．k>0 B．0<k<2 C．0<k≤12【详解】由题意知直线l:y=kx+1−k定点(1,1)，函数y=1−x2如图所示．易求l1，l2的斜率分别为0，由图知，当l介于l1与l2之间（含l2）时，l与函数y=故选:C．【例题3-5】（2022·山西吕梁·模拟预测（理））“∃x>0，使得a≤xx2A．a≤13 B．a≥13【详解】∃x>0，a≤xx2又xx2+x+1即xx2+x+1故选：A．综合应用【例题4-1】（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））已知条件p:A={x∣x2−4ax+4a2(1)若a=1，求∁U(2)若q是p的必要不充分条件，求a的取值范围．【解析】(1)由x2−4ax+4a所以A={x∣2a−1≤x≤2a+1}，由x2−x−2≤0，得−1≤x≤2当a=1时，A={x∣1≤x≤3}.所以A∩B={x∣1≤x≤2}所以∁U(2)由（1）知，A={x∣2a−1≤x≤2a+1}，B={x∣−1≤x≤2}，∵q是p的必要不充分条件，∴A⊂所以{2a+1≤22a−1≥−1所以实数a的取值范围为[0,1【例题4-2】（2022·北京密云·高三期中）设n≥2且n∈N，集合U={1,2,3,4,⋯,2n}，若对U的任意k元子集Vk，都存在a,b,c∈Vk，满足：a<b<c，a+b>c，且a+b+c为偶数，则称Vk(1)当n=2时，是否存在理想集？若存在，求出相应的K；若不存在，请说明理由；(2)当n=3时，是否存在理想集？若存在，直接写出对应的Vk以及满足条件的a,b,c(3)证明：当n=4时，K=6.【解析】(1)依题意，Vk要为理想集，k≥3当n=2时，U={1,2,3,4}，显然{2,3,4}⊆U，有2<3<4,2+3>4，而2+3+4不是偶数，即存在3元子集不符合理想集定义，而{1,2,3,4}⊆U，在{1,2,3,4}中任取3个数，有4种结果，1,2,3；1,2,4；1,3,4；2,3,4，它们都不符合理想集定义，所以，当n=2时，不存在理想集.(2)当n=3时，U={1,2,3,4,5,6}，由（1）知，存在3元子集{2,3,4}、4元子集{1,2,3,4}均不符合理想集定义，5元子集{1,2,3,4,6}，在此集合中任取3个数，满足较小的两数和大于另一个数的只有2,3,4与3,4,6两种，但这3数和不为偶数，即存在5元子集{1,2,3,4,6}不符合理想集定义，而U的6元子集是{1,2,3,4,5,6}，3<4<5,3+4>5,3+4+5是偶数，3<5<6,3+5>6,3+5+6是偶数，即U的6元子集{1,2,3,4,5,6}符合理想集定义，{1,2,3,4,5,6}是理想集，所以，当n=3时，存在理想子集V6={1,2,3,4,5,6}，满足条件的a,b,c可分别为3,4,5或(3)当n=4时，U={1,2,3,4,5,6,7,8}，由（1），（2）知，存在U的3元子集、4元子集、5元子集不满足理想集定义，Vk要为理想集，k≥6，显然{1,2,3,4,5,6}符合理想集的定义，满足条件的a,b,c分别为3,4,5或3,5,6U的6元子集中含有3,5,6的共有C5U的6元子集中含有3,5不含6的有5个，其中含有4的有4个，这4个集合都符合理想集的定义，不含4的为{1,2,3,5,7,8}，显然有5<7<8,5+7>8,5+7+8为偶数，即U的6元子集中含有3,5不含6的5个都符合理想集的定义，U的6元子集中含有3,6不含5的有5个，它们是{1,2,3,4,6,7},{1,2,3,4,6,8},{1,2,3,6,7,8}，{1,3,4,6,7,8},{2,3,4,6,7,8}，它们对应的a,b,c可依次为：3,6,7；4,6,8；3,6,7；3,6,7；3,6,7，即U的6元子集中含有3,6不含5的5个都符合理想集的定义，U的6元子集中含有5,6不含3的有5个，它们是{1,2,4,5,6,7},{1,2,4,5,6,8},{1,2,5,6,7,8}，{1,4,5,6,7,8},{2,4,5,6,7,8}，它们对应的a,b,c可依次为：5,6,7；4,6,8；5,6,7；5,6,7；5,6,7，即U的6元子集中含有5,6不含3的5个都符合理想集的定义，U的6元子集中含有3,5,6之一的有3个，它们是{1,2,3,4,7,8},{1,2,4,5,7,8},{1,2,4,6,7,8}，对应的a,b,c可依次为：3,7,8；5,7,8；4,6,8，即U的6元子集中含有3,5,6之一的3个都符合理想集的定义，因此，U的所有C86=28U的7元子集有C87=8个，其中含有3,5,6它们是{1,2,3,4,5,7,8},{1,2,3,4,6,7,8},{1,2,4,5,6,7,8}，对应的a,b,c可依次为：3,7,8；3,7,8；4,6,8，即U的所有8个7元子集都符合理想集的定义，V7U的8元子集是{1,2,3,4,5,6,7,8}，对应的a,b,c可以为：3,7,8，因此，V8因此，U的6元子集，7元子集，8元子集都是理想集，K=6，所以当n=4时，K=6.【例题4-3】（2022·天津·汉沽一中高三阶段练习）不等式5−2xx+2>1的解集是A，关于x的不等式x2(1)若m=1，求A∩B；(2)若A∪B=B，求实数m的取值范围.(3)设p:实数x满足x2−4ax+3a2<0，其中a>0，命题q:实数x满足x2【解析】(1)由5−2xx+2>1的解集是A，解得：当m=1时，x2−4mx−5m2≤0所以A∩B=x|−1≤x<1(2)因为A∪B=B，所以A⊆B.由（1）得：A=x|−2<x<1当m>0时，由x2−4mx−5m2≤0可解得B=x|−m≤x≤5m.要使当m=0时，由x2−4mx−5m2≤0当m<0时，由x2−4mx−5m2≤0可解得B=x|5m≤x≤−m.要使所以，m≤−1或m≥2.所以实数m的取值范围为：−∞(3)设关于x的不等式x2−4ax+3a2<0（其中a不等式组x2−x−6≤0x2+2x−8>0要使p是q的必要不充分条件，只需NM，即a≤23a>3，解得：1<a≤2即实数a的取值范围1,2.【例题4-4】（2022·北京丰台·二模）设I1=a1,b1，I2=a2,b2，…，(1)已知I1=1,3，I(2)已知I1=a1,b1（ⅰ）设x0，y0是该聚合区间的两个不同的聚合点．求证：存在k，j∈1,2,…,n+1（ⅱ）若对任意p，q（p≠q且p，q∈1,2,…,n+1），都有Ip，Iq互不包含．求证：存在不同的i，j∈【解析】(1)由0<t<π可得0<sint≤1，又I1，I2为聚合区间，由定义可得I(2)（ⅰ）由x0，y0是该聚合区间的两个不同的聚合点，不妨设x0<y0，因为x0∈Iii=1,2,…,n+1，故a1,a2...an+1（ⅱ）若存在as=ats≠t不妨设a1<否则，若bk≥b取l=mina当am+1−aa又b1>an+1，所以即am+1−a此时取i=m,j=m+1，则bi当bm+1−bm=l综上，存在不同的i，j∈1，【例题4-5】（2022·北京朝阳·一模）对非空数集X，Y，定义X与Y的和集X+Y=x+yx∈X,y∈Y.对任意有限集A，记A为集合(1)若集合X=0,5,10，Y=−2,−1,0,1,2，写出集合X+X与(2)若集合X=x1,x2,⋯,xn满足x1<x2