新高考数学一轮复习 讲与练第20讲 数列综合（解析版）

第20讲数列综合学校____________姓名____________班级____________一、知识梳理1.特殊数列的求和公式(1)等差数列的前n项和公式：Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d.(2)等比数列的前n项和公式：Sn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)＝\f(a1（1－qn）,1－q)，q≠1.))2.数列求和的几种常用方法(1)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.(2)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.(3)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解.(4)倒序相加法如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解.考点和典型例题1、分组转化求和【典例1-1】（2022·江西·临川一中模拟预测（文））已知数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0为数列的前n项和，SKIPIF1<0（

）A．1008 B．1009 C．1010 D．1011【答案】D【详解】解：因为当SKIPIF1<0为奇数时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为偶数时SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；故选：D【典例1-2】（2022·江苏常州·模拟预测）己知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0之间插入n个1，构成数列SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的前100项的和为（

）A．178 B．191 C．206 D．216【答案】A【详解】解：数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之间插入SKIPIF1<0个1，构成数列SKIPIF1<0，1，SKIPIF1<0，1，1，SKIPIF1<0，1，1，1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以共有SKIPIF1<0个数，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故选：A．【典例1-3】（2022·河北沧州·二模）（多选）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BCD【详解】因为SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0为奇数时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0为偶数时，SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，选项SKIPIF1<0错误；又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，选项B正确；SKIPIF1<0SKIPIF1<0故C正确SKIPIF1<0，选项D正确.故选：BCD【典例1-4】（2022·湖北·襄阳五中二模）已知数列SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其前SKIPIF1<0项和分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，（1）记数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和分别为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0=_________；（2）记最接近SKIPIF1<0的整数为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0_________．【答案】

SKIPIF1<0

2550【详解】依题意，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即有SKIPIF1<0，从而有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0；2550．【典例1-5】（2022·海南省直辖县级单位·三模）已知等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0是等比数列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求数列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通项公式；(2)若SKIPIF1<0，设数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【解析】(1)设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，等比数列SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)由（1）知，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【典例1-6】（2022·湖北武汉·模拟预测）已知数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0．(1)求证：数列SKIPIF1<0为等比数列；(2)求数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0．【解析】(1)因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是首项为2，公比为2的等比数列．(2)由（1）得，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．2、裂项相消法求和【典例2-1】（2022·全国·哈师大附中模拟预测（文））已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的前5项和为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0前5项和为SKIPIF1<0故选：D【典例2-2】（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（文））已知数列SKIPIF1<0的各项互异，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．4【答案】C【详解】由题意，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C.【典例2-3】（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）已知等比数列{SKIPIF1<0}各项均为正数，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为方程SKIPIF1<0(m为常数)的两根，数列{SKIPIF1<0}的前n项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前2022项和为_________．【答案】SKIPIF1<0【详解】等比数列{SKIPIF1<0}中SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为方程SKIPIF1<0的两根SKIPIF1<0，设数列{SKIPIF1<0}的公比为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴数列SKIPIF1<0的前2022项和SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0.【典例2-4】（2022·广东·模拟预测）已知函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若函数SKIPIF1<0的图像与x轴恰好有SKIPIF1<0个不同的交点，则SKIPIF1<0_________．【答案】SKIPIF1<0【详解】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0周期为4，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数周期为4，令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0与函数SKIPIF1<0恰有SKIPIF1<0个不同的交点，根据图象知，直线SKIPIF1<0与第SKIPIF1<0个半圆相切，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0.【典例2-5】（2022·重庆·模拟预测）已知数列SKIPIF1<0的前n项和为Sn，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0(1)求数列{an}的通项公式；(2)设SKIPIF1<0，数列{bn}的前n项和为Tn，求使得Tn＞0的n的最大值．【答案】(1)an＝2n﹣13(2)5【解析】(1)由题意知（Sn+1﹣Sn）﹣（Sn﹣Sn﹣1）＝2，解得an+1﹣an＝2（n≥2），又a2﹣a1＝2，所以{an}是公差为2的等差数列，则an＝a1+（n﹣1）d＝2n﹣13；(2)由题知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以n的最大值为5．【典例2-6】（2022·四川·绵阳中学实验学校模拟预测（文））已知SKIPIF1<0是数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，且SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的通项公式．(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，求SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【解析】(1)SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.3、错位相减法求和【典例3-1】（2022·全国·模拟预测）在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且对任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】解:由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，符合上式，所以SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，作差得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0．易知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：A．【典例3-2】（2022·上海·模拟预测）设SKIPIF1<0是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线SKIPIF1<0相切，对每一个正整数n，圆SKIPIF1<0都与圆SKIPIF1<0相互外切，以SKIPIF1<0表示圆SKIPIF1<0的半径，已知SKIPIF1<0为递增数列，若SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的前n项和为_________．【答案】SKIPIF1<0【详解】SKIPIF1<0的倾斜角SKIPIF1<0，设圆SKIPIF1<0、SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的切点分别为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0是以首项SKIPIF1<0，公比SKIPIF1<0的等比数列，即SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，设数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，则有：SKIPIF1<0SKIPIF1<0两式相减得：SKIPIF1<0即SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0．【典例3-3】（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）已知数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)证明数列SKIPIF1<0为等比数列，并求出数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)设SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0.【答案】(1)证明见解析，SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【解析】(1)当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0,由已知SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0,两式相减得SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,

因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以数列SKIPIF1<0是以3为首项，3为公比的等比数列，所以SKIPIF1<0；(2)由（1）可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，

SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【典例3-4】（2022·山东烟台·三模）已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0；(2)设数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的取值范围.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【解析】(1)当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.所以数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，1为公差的等差数列.所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.(2)由（1）知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，①所以SKIPIF1<0，②①-②得，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0