高考数学一轮复习 限时集训(二十八)平面向量的数量积及平面向量的应用 理 新人教A版

限时集训(二十八)平面向量的数量积及平面向量的应用(限时：45分钟满分：81分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(·重庆高考)设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝()A.eq\r(5) B.eq\r(10)C．2eq\r(5) D．102．(·湖北高考)若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－bA．－eq\f(π,4) B.eq\f(π,6)C.eq\f(π,4) D.eq\f(3π,4)3．如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝eq\r(3)，||＝1，则·＝()A．2eq\r(3) B.eq\f(\r(3),2)C.－eq\f(\r(3),2) D.eq\r(3)4．已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的射影的数量是()A．－4 B．4C．－2 D．25．已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么·的最小值为()A．－4＋eq\r(2) B．－3＋eq\r(2)C．－4＋2eq\r(2) D．－3＋2eq\r(2)6．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的函数f(x)＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(1,2)|a|x2＋a·bx在R上有极值，则a与b的夹角范围为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6))) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，π))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π)) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(2π,3)))二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________.8．(·北京高考)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________；·的最大值为________．9．(·湖南高考)如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则·＝________.三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．已知a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．11.已知△ABC为锐角三角形，向量m＝(3cos2A，sinA)，n＝(1，－sinA)，且m⊥n(1)求A的大小；(2)当＝pm，＝qn(p>0，q>0)，且满足p＋q＝6时，求△ABC面积的最大值．12．已知向量a＝(1,2)，b＝(cosα，sinα)．设m＝a＋tb(t为实数)．(1)若α＝eq\f(π,4)，求当|m|取最小值时实数t的值；(2)若a⊥b，问：是否存在实数t，使得向量a－b和向量m的夹角为eq\f(π,4)，若存在，请求出t；若不存在，请说明理由．答案限时集训(二十八)平面向量的数量积及平面向量的应用1．B2.C3.D4.A5.D6.C7．18.119.1810．解：∵a与a＋λb均为非零向量，且夹角为锐角，∴a·(a＋λb)>0，即(1,2)·(1＋λ，2＋λ)>0.∴(1＋λ)＋2(2＋λ)>0.∴λ>－eq\f(5,3).当a与a＋λb共线时，存在实数m，使eq\a\vs4\al(a＋)λb＝ma，即(1＋λ，2＋λ)＝m(1,2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋λ＝m，,2＋λ＝2m，))解得λ＝0.即当λ＝0时，a与a＋λb共线，综上可知，λ>－eq\f(5,3)且λ≠0.11．解：(1)∵m⊥n，∴3cos2A－sin2∴3cos2A－1＋cos2∴cos2A＝eq\f(1,4).又∵△ABC为锐角三角形，∴cosA＝eq\f(1,2)，∴A＝eq\f(π,3).(2)由(1)可得m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(\r(3),2)))，n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(\r(3),2))).∴|AB→|＝eq\f(\r(21),4)p，||＝eq\f(\r(7),2)q.∴S△ABC＝eq\f(1,2)||·||·sinA＝eq\f(21,32)pq.又∵p＋q＝6，且p>0，q>0，∴eq\r(p)·eq\r(q)≤eq\f(p＋q,2)，∴eq\r(p)·eq\r(q)≤3.∴p·q≤9.∴△ABC面积的最大值为eq\f(21,32)×9＝eq\f(189,32).12．解：(1)因为α＝eq\f(π,4)，所以b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))，a·b＝eq\f(3\r(2),2)，则|m|＝eq\r(a＋tb2)＝eq\r(5＋t2＋2ta·b)＝eq\r(t2＋3\r(2)t＋5)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(3\r(2),2)))2＋\f(1,2))，所以当t＝－eq\f(3\r(2),2)时，|m|取到最小值，最小值为eq\f(\r(2),2).(2)存在满足题意的实数t，由条件得coseq\f(π,4)＝eq\f(a－b·a＋tb,|a－b||a＋tb|)，又因为|a－b|＝eq\r(a－b2)＝eq\r(6)，|a＋tb|＝eq\r(a