2023九年级数学下册 第2章 圆2.5 直线与圆的位置关系2.5.2 圆的切线第2课时 切线的性质教案 （新版）湘教版

2023九年级数学下册第2章圆2.5直线与圆的位置关系2.5.2圆的切线第2课时切线的性质教案（新版）湘教版授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间教学内容分析本节课的主要教学内容为九年级数学下册第2章圆2.5节中直线与圆的位置关系2.5.2小节——圆的切线第2课时：切线的性质。本节将深入探讨圆的切线定义，切线与半径的关系，以及圆的切线方程。教学内容与学生已有知识紧密联系，学生在之前的学习中掌握了圆的基本概念、圆的方程、直线与圆的交点以及圆的半径、直径等基础知识。在此基础上，本节课将引导学生理解切线的几何性质，掌握切线与半径的垂直关系，并学会推导出圆的切线方程，深化对圆的性质的理解，为后续学习圆的相关问题打下坚实基础。核心素养目标本节课的核心素养目标旨在通过切线性质的学习，培养学生的几何直观、逻辑推理和数学建模能力。学生将通过探索圆的切线性质，发展空间想象力和几何直觉，提高对几何图形的分析和解决问题的能力。在逻辑推理方面，学生将运用已知的圆的性质和几何定理，合理解释切线与半径的垂直关系，并能够逻辑清晰地推导出圆的切线方程，强化演绎推理和逻辑思维。此外，通过数学建模，学生将能把实际问题抽象为数学模型，将切线性质应用于解决实际问题，提升运用数学知识解决实际问题的能力，增强数学在实际生活中的应用意识。重点难点及解决办法重点：圆的切线性质的理解与应用，圆的切线方程的推导。

难点：切线与半径垂直关系的证明，切线方程在实际问题中的应用。

解决办法：针对重点，通过直观的几何画板演示和实际操作，帮助学生形象理解切线的性质，结合实例强化记忆。对于难点的突破，采用以下策略：

1.分步骤引导：先引导学生复习圆的半径、直径性质，再过渡到切线与半径的垂直关系，逐步推进，降低理解难度。

2.小组合作：组织学生小组讨论，共同探讨切线垂直关系的证明方法，激发学生的合作探究意识。

3.实例讲解：通过具体例题，展示切线方程的推导过程，并引导学生将实际问题转化为数学模型，提高解题能力。

4.变式训练：设计不同难度的练习题，让学生在解决问题的过程中巩固知识，提升应用能力。教学资源1.软件资源：几何画板软件，数学公式编辑器。

2.硬件资源：多媒体教学设备，投影仪，学生用平板电脑。

3.课程平台：学校网络教学平台，用于发布预习资料、课件、课后作业等。

4.信息化资源：电子教材，教学视频，动态数学图形演示。

5.教学手段：PPT课件，实物模型，小组合作学习，课堂提问，课后在线答疑。教学流程（一）课前准备（预计用时：5分钟）

学生预习：

发放预习材料，引导学生提前了解圆的切线性质的学习内容，标记出有疑问或不懂的地方。设计预习问题，激发学生思考，为课堂学习切线性质内容做好准备。

教师备课：

深入研究教材，明确教学目标和重难点。准备教学用具和多媒体资源，确保教学过程的顺利进行。设计课堂互动环节，提高学生学习切线性质的积极性。

（二）课堂导入（预计用时：3分钟）

激发兴趣：

回顾旧知：

简要回顾上节课学习的直线与圆的位置关系，帮助学生建立知识之间的联系。提出问题，检查学生对旧知的掌握情况，为学习新课打下基础。

（三）新课呈现（预计用时：25分钟）

知识讲解：

清晰、准确地讲解圆的切线性质，结合实例帮助学生理解。突出切线与半径的垂直关系，强调切线方程的推导，通过对比、归纳等方法帮助学生加深记忆。

互动探究：

设计小组讨论环节，让学生围绕切线性质问题展开讨论，培养学生的合作精神和沟通能力。鼓励学生提出自己的观点和疑问，引导学生深入思考，拓展思维。

技能训练：

总结归纳：

在新课呈现结束后，对切线性质知识点进行梳理和总结。强调重点和难点，帮助学生形成完整的知识体系。

（四）巩固练习（预计用时：5分钟）

随堂练习：

设计随堂练习题，让学生在课堂上完成，检查学生对切线性质知识的掌握情况。鼓励学生相互讨论、互相帮助，共同解决问题。

错题订正：

针对学生在随堂练习中出现的错误，进行及时订正和讲解。引导学生分析错误原因，避免类似错误再次发生。

（五）拓展延伸（预计用时：3分钟）

知识拓展：

介绍与切线性质相关的拓展知识，拓宽学生的知识视野。引导学生关注学科前沿动态，培养学生的创新意识和探索精神。

情感升华：

结合切线性质内容，引导学生思考学科与生活的联系，培养学生的社会责任感。鼓励学生分享学习心得和体会，增进师生之间的情感交流。

（六）课堂小结（预计用时：2分钟）

简要回顾本节课学习的切线性质内容，强调重点和难点。肯定学生的表现，鼓励他们继续努力。

布置作业：

根据本节课学习的内容，布置适量的课后作业，巩固学习效果。提醒学生注意作业要求和时间安排，确保作业质量。知识点梳理1.圆的切线定义：圆的切线是与圆只有一个公共点的直线，且该点为切点。

2.圆的切线性质：

a.切线垂直于过切点的半径。

b.过圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。

3.圆的切线方程：

a.点斜式：已知切点坐标和切线斜率，切线方程可以表示为y-y0=k(x-x0)。

b.一般式：Ax+By+C=0，其中A、B、C为常数，且A、B不同时为0。

4.圆的切线判定：

a.若直线与圆有且仅有一个公共点，则该直线为圆的切线。

b.若直线与圆有两个公共点，则该直线不是圆的切线。

5.圆的切线与半径的关系：

a.切线与半径垂直。

b.过切点的半径是切线的中垂线。

6.圆的切线在实际问题中的应用：

a.求解与圆相关的位置关系问题。

b.求解与圆相关的长度、面积等问题。

7.圆的切线方程的推导：

a.利用点斜式求解切线方程。

b.利用一般式求解切线方程。

8.圆的切线在实际问题中的求解步骤：

a.确定切点和切线斜率。

b.根据切点和切线斜率，写出切线方程。

c.利用切线方程解决实际问题。

9.圆的切线与其他几何知识的联系：

a.与圆的性质的联系：半径、直径、周长、面积等。

b.与直线的性质的联系：点斜式、一般式、斜率等。

c.与三角函数的联系：在求解切线斜率时，可能涉及到三角函数的计算。

10.常见题型及解题方法：

a.求切线方程。

b.判断直线是否为圆的切线。

c.求解与切线相关的长度、面积等问题。

d.利用切线性质解决实际问题。作业布置与反馈作业布置：

1.根据本节课学习的圆的切线性质和切线方程，完成以下练习题：

（1）已知圆C的方程为(x-2)²+(y+3)²=25，求过点P(4,-6)的圆C的切线方程。

（2）判断以下直线是否为圆x²+y²=1的切线，并说明理由：

a.x+y-1=0

b.2x-3y+1=0

（3）已知圆O的半径为r，直线l与圆O相切，切点为A，且OA垂直于直线l。求证：直线l的斜率为±√3。

2.结合圆的切线性质，解决以下实际问题：

（1）一块圆形的草坪，直径为10米，现要修建一条宽2米的环形小路，求小路的面积。

（2）在一张坐标纸上，有一个半径为5的圆，其圆心坐标为(3,2)。现要画一条通过点P(8,7)的切线，求切线的方程。

作业反馈：

1.批改作业时，注意以下事项：

（1）检查学生对圆的切线性质和切线方程的掌握情况。

（2）关注学生在解决问题时是否运用了合适的解题方法。

（3）观察学生的计算过程，找出可能出现的错误。

2.针对作业中存在的问题，给出以下反馈：

（1）若学生在切线方程的推导过程中出现问题，应指导他们回顾教材中关于切线方程推导的步骤，加强训练。

（2）若学生在解决实际问题时出现问题，应引导学生将实际问题转化为数学模型，培养他们运用数学知识解决实际问题的能力。

（3）对于计算错误，帮助学生分析错误原因，指导他们进行针对性的练习。

3.改进建议：

（1）鼓励学生在学习过程中多与同学交流讨论，共同解决问题，提高合作能力。

（2）建议学生多做类似的练习题，巩固所学知识，提高解题能力。

（3）针对学生的薄弱环节，制定个性化的辅导计划，帮助他们克服困难，提高学习效果。典型例题讲解例题1：

已知圆C的方程为(x-1)²+(y+2)²=9，求过点P(4,-1)的圆C的切线方程。

解答：

由圆的切线性质，切线与半径垂直，设切点为A，则AP为半径，斜率为k的直线l通过点P，则直线l的斜率为-1/k。

由点斜式可得直线l的方程为y+1=-1/k(x-4)。

将圆C的方程代入直线l的方程中，得到：

(x-1)²+(-1/k(x-4)+2)²=9。

解得k=2/3或k=-3/2。

因此，切线方程为y+1=-3/2(x-4)或y+1=2/3(x-4)，

整理得3x+2y-11=0或2x-3y-5=0。

例题2：

判断直线2x+3y-1=0是否为圆x²+y²=4的切线。

解答：

圆的半径为r=2，圆心到直线的距离d=|2*0+3*0-1|/√(2²+3²)=1/√13。

因为d<r，所以直线2x+3y-1=0不是圆x²+y²=4的切线。

例题3：

已知圆O的半径为3，直线l与圆O相切，切点为A，且OA垂直于直线l。求直线l的斜率。

解答：

由切线性质知，直线l的斜率k满足k²+1=0。

解得k=±√3。

因为OA垂直于直线l，所以直线l的斜率为±√3。

例题4：

一块圆形的草坪，直径为10米，现要修建一条宽2米的环形小路，求小路的面积。

解答：

内圆半径r=直径/2=10/2=5米。

外圆半径R=r+小路宽度=5+2=7米。

小路面积S=π(R²-r²)=π(7²-5²)=π(49-25)=π(24)≈75.4平方米。

例题5：

在一张坐标纸上，有一个半径为5的圆，其圆心坐标为(3,2)。现要画一条通过点P(8,7)的切线，求切线的方程。

解答：

设切线方程为y-7=k(x-8)。

圆心到切线的距离d=|k*3-2-7|/√(k²+1)=5。

解得k=12/5或k=-3/4。

因此，切线方程为y-7=12/5(x-8)或y-7=-3/4(x-8)，

整理得12x-5y-17=0或3x+4y-44=0。内容逻辑关系①圆的切线定义：圆的切线是与圆只有一个公共点的直线，且该点为切点。

②圆的切线性质：

-切线垂直于过切点的半径。

-过圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。

③圆的切线方程：

-点斜式：已知切点坐标和切线斜率，切线方程可以表示为y-y0=k(x-x0)。

-一般式：Ax+By+C=0，其中A、B、C为常数，且A、B不同时为0。

④圆的切线判定：

-若直线与圆有且仅有一个公共点，则该直线为圆的切线。

-若直线与圆有两个公共点，则该直线不是圆的切线。

⑤圆的切线与半径的关系：

-切线与半径垂直。

-过切点的半径是切线的中垂线。

⑥圆的切线在实际问题中的应用：

-求解与圆相关的位置关系问题。

-求解与圆相关的长度、面积等问题。

⑦圆的切线方程的推导：

-利用点斜式求解切线方程。

-利用一般式求解切线方程。

⑧圆的切线在实际问题中的求解步骤：

-确定切点和切线斜率。

-根据切点和切线斜率，写出切线方程。

-利用切线方程解决实际问题。

⑨圆的切线与其他几何知识的联系：

-与圆的性质的联系：半径、直径、周长、面积等。

-与直线的性质的联系：点斜式、一般式、斜率等。

-与三角函数的联系：在求解切线斜率时，可能涉及到三角函数的计算。

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