专题05直线与圆的位置关系（考点清单5考点11种题型）

专题05直线与圆的位置关系（考点清单）考点一直线和圆的位置关系【考试题型1】判定直线和圆的位置关系【解题方法】设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d位置关系图形定义性质及判定相离直线与圆没有公共点d>r⇔直线l与⊙相切直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，公共点叫做切点d=r⇔直线l与⊙相交直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线d<r⇔直线l与⊙【典例1】（2021秋·广东江门·九年级校考阶段练习）已知平面内有和点，，若半径为，线段，，则直线与的位置关系为（

）A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切【答案】D【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．【详解】解：∵⊙O的半径为2cm，线段OA=3cm，线段OB=2cm，即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径，∴点A在⊙O外．点B在⊙O上，∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切，故选：D．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，正确的理解题意是解题的关键．【专训11】（2022春·浙江·九年级专题练习）在△ABC中，，点O为AB中点．以点C为圆心，CO长为半径作⊙C，则⊙C与AB的位置关系是（

）A．相交 B．相切C．相离 D．不确定【答案】B【分析】根据等腰三角形的性质，三线合一即可得，根据三角形切线的判定即可判断是的切线，进而可得⊙C与AB的位置关系【详解】解：连接,，点O为AB中点．CO为⊙C的半径，是的切线，⊙C与AB的位置关系是相切故选B【点睛】本题考查了三线合一，切线的判定，直线与圆的位置关系，掌握切线判定定理是解题的关键．【专训12】（2022秋·江苏南京·九年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，以A为圆心作一个半径为2的圆，下列结论中正确的是（）A．点B在⊙A内 B．点C在⊙A上C．直线BC与⊙A相切 D．直线BC与⊙A相离【答案】D【分析】过A点作AH⊥BC于H，如图，利用等腰三角形的性质得到BH=CH=BC=4，则利用勾股定理可计算出AH=3，然后根据点与圆的位置关系的判定方法对A选项和B选项进行判断；根据直线与圆的位置关系对C选项和D选项进行判断．【详解】解：过A点作AH⊥BC于H，如图，∵AB=AC，∴BH=CH=BC=4，在Rt△ABH中，AH==3，∵AB=5＞3，∴B点在⊙A外，所以A选项不符合题意；∵AC=5＞3，∴C点在⊙A外，所以B选项不符合题意；∴AH⊥BC，AH=3＞半径，∴直线BC与⊙A相离，所以C选项不符合题意，D选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，若直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d=r；直线l和⊙O相离⇔d＞r．也考查了点与圆的位置关系和等腰三角形的性质．【专训13】（2022秋·广东广州·九年级执信中学校考阶段练习）如图，中，，则以A为圆心，3为半径的与的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定【答案】B【分析】根据勾股定理求出的长度，再根据圆心到直线的距离与圆的半径之间的关系进行判断即可．【详解】解：，∴，∴圆心到直线的距离为：，等于圆的半径，∴与相切．故选B．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系．熟练掌握根据圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系确定直线与圆的位置关系是解题的关键．【专训14】（2023秋·江苏·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，2为半径的圆一定与（

）A．x轴相交 B．y轴相交 C．x轴相切 D．y轴相切【答案】D【分析】根据点（2，3）到y轴的距离为2，到x轴的距离为3即可判断.【详解】∵圆是以点（2，3）为圆心，2为半径，∴圆心到y轴的距离为2，到x轴的距离为3，则2=2，2＜3∴该圆必与y轴相切，与x轴相离．故选D.【点睛】本题是直线和圆的位置关系及坐标与图形的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，属于基础题，难度不大．【考试题型2】已知直线与圆的位置关系进行计算【解题方法】解题的关键是记住：①直线与圆相交时，d<r；②直线与圆相切时，d=r；③直线与圆相离时，d>r．【典例2】（2022秋·河北承德·九年级校考期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心作圆，如果圆A与线段BC没有公共点，那么圆A的半径r的取值范围是()A．5≥r≥3 B．3＜r＜5 C．r＝3或r＝5 D．0＜r＜3或r＞5【答案】D【分析】根据直线与圆的位置关系得出相切时有一交点，再结合图形即可得出答案．【详解】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心作圆，当圆A的半径0＜r＜3或r＞5时，圆A与线段BC没有公共点；故选D．【点睛】此题主要考查了直线与圆的位置关系，结合题意画出符合题意的图形，从而得出答案．【专训21】（2022春·上海徐汇·九年级统考期中）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝2，AB＝4，BC＝6，点O是边BC上一点，以O为圆心，OC为半径的⊙O，与边AD只有一个公共点，则OC的取值范围是（）A．4＜OC≤ B．4≤OC≤ C．4＜OC D．4≤OC【答案】B【分析】作DE⊥BC于E，当⊙O与边AD相切时，圆心O与E重合，即OC＝4；当OA＝OC时，⊙O与AD交于点A，设OA＝OC＝x，则OB＝6﹣x，在Rt△ABO中，由勾股定理得出方程，解方程得出OC＝；即可得出结论．【详解】作DE⊥BC于E，如图所示：则DE＝AB＝4，BE＝AD＝2，∴CE＝4＝DE，当⊙O与边AD相切时，切点为D，圆心O与E重合，即OC＝4；当OA＝OC时，⊙O与AD交于点A，设OA＝OC＝x，则OB＝6﹣x，在Rt△ABO中，由勾股定理得：42+（6﹣x）2＝x2，解得：x＝；∴以O为圆心，OC为半径的⊙O，与边AD只有一个公共点，则OC的取值范围是4≤x≤；故选B．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、直角梯形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握直角梯形的性质，分情况讨论是解题的关键．【专训22】（2022秋·广西钦州·九年级统考期末）若直线与半径为的⊙O相交，则圆心O到直线的距离可能为（

）A．3 B．4 C． D．5【答案】A【分析】根据圆与直线的位置关系进行判断即可．【详解】解：∵直线与半径为的⊙O相交，∴圆心到直线的距离d<r，即d<4，∴满足条件的只有A选项，故选：A．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是记住：①直线与圆相交时，d<r；②直线与圆相切时，d=r；③直线与圆相离时，d>r．【专训23】（2022秋·河北唐山·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆的圆心的坐标为（3，0），将圆沿轴的正方向平移，使得圆与轴相切，则平移的距离为（

）A．1 B．3或6 C．3 D．1或5【答案】D【分析】分圆P在y轴的左侧与y轴相切、圆P在y轴的右侧与y轴相切两种情况，根据切线的判定定理解答即可求得．【详解】解：根据题意可得：OP=3，圆P的半径为2，当圆P在y轴的左侧与y轴相切时，平移的距离为32=1，当圆P在y轴的右侧与y轴相切时，平移的距离为3+2=5，故圆与轴相切，则平移的距离为1或5，故选：D．【点睛】本题考查了圆的切线的判定，图形的平移，分类讨论是解决本题的关键．考点二切线性质与判定定理【考试题型3】利用切线性质定理求解相关问题【解题方法】切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.【典例3】（2022秋·河南安阳·九年级校联考期中）如图，在半径为5cm的⊙O中，直线l交⊙O于A、B两点，且弦AB＝8cm，要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移()A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【答案】B【分析】作出OC⊥AB，利用垂径定理求出BC＝4，再利用勾股定理求出OC＝3，即可求出要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移的长度．【详解】解：作OC⊥AB，又∵⊙O的半径为5cm，直线l交⊙O于A、B两点，且弦AB＝8cm∴BO＝5，BC＝4，∴由勾股定理得OC＝3cm，∴要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移2cm．故选：B．【点睛】此题主要考查了切线的性质定理与垂径定理，根据图形求出OC的长度是解决问题的关键．【专训31】（2022秋·河南南阳·九年级校考阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，∠ABC＝25°，OC的延长线交PA于点P，则∠P的度数是(

)A．25° B．35° C．40° D．50°【答案】C【分析】根据圆周角定理可得，根据切线的性质可得，根据直角三角形两个锐角互余即可求解．【详解】，∠ABC＝25°，，AB是⊙O的直径，，．故选C．【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，掌握圆周角定理与切线的性质是解题的关键．【专训32】（2023·山东临沂·统考二模）如图，AB是圆O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E，∠EAD＝25°，则下列结论错误的是（

）A．AE⊥DE B．AE//OD C．DE=OD D．∠BOD=50°【答案】C【分析】过点D作DF⊥AB于点F，根据切线的性质得到OD⊥DE，证明OD∥AE，根据平行线的性质以及角平分线的性质逐一判断即可．【详解】解：∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠OAD=∠EAD，∴∠EAD=∠ODA，∴OD∥AE，∴AE⊥DE．故选项A、B都正确；∵∠OAD=∠EAD=∠ODA=25°，∠EAD=25°，∴∠BOD=∠OAD+∠ODA=50°，故选项D正确；∵AD平分∠BAC，AE⊥DE，DF⊥AB，∴DE=DF<OD，故选项C不正确；故选：C．【点睛】本题考查的是切线的性质，角平分线的性质定理，平行线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．【专训33】（2022秋·河南南阳·九年级校考阶段练习）如图，PA，PB是的切线，A、B为切点，若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据切线的性质以及四边形的内角和即可求解．【详解】解：∵PA，PB是的切线，∴，，，则，故选B．【点睛】本题考查了切线的性质以及四边形的内角和，掌握切线的性质是解题的关键．【专训34】（2023春·河北衡水·九年级校考期中）如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿，分别相切于点，，不倒翁的鼻尖正好是圆心，若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】连OB，由AO=OB得，∠OAB=∠OBA=28°，∠AOB=180°2∠OAB=124°；因为PA、PB分别相切于点A、B，则∠OAP=∠OBP=90°，利用四边形内角和即可求出∠APB．【详解】连接OB，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=28°，∴∠AOB=124°，∵PA、PB切⊙O于A、B，∴OA⊥PA，OP⊥AB，∴∠OAP+∠OBP=180°，∴∠APB+∠AOB=180°；∴∠APB=56°．故选：C【点睛】本题考查切线的性质，三角形和四边形的内角和定理，切线长定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造等腰三角形解决问题．【专训35】（2023·黑龙江大庆·统考一模）如图，是的直径，点P在的延长线上，与相切于点A，连接，若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由切线性质得出，根据三角形的内角和是、对顶角相等求出，即可得出答案；【详解】解：PA与⊙O相切于点A，AD是⊙O的直径，，，，，，，，，故选：A．【点睛】本题考查圆内求角的度数，涉及知识点：切线的性质、对顶角相等、等腰三角形的性质、三角形的内角和是，解题关键根据切线性质推出．【专训36】（2022秋·广东河源·九年级校考期末）如图，的内切圆与各边相切于，，，且，则是（

）A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】根据已知易得，由切线的性质可得，，，再根据四边形的内角和定理即可求得，即可判定是等边三角形．【详解】解：∵，∴，∵的内切圆与各边相切于，，，∴，，，∴，∵四边形内角和为，∴，∴是等边三角形，故选：B．【点睛】本题考查了切线的性质定理、等边三角形的判定和四边形内角和定理，切线的性质：过切点的直径垂直于切线．【考试题型4】证明某条直线是圆的切线【解题方法】要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证它们垂直即可解决问题．【典例4】（2023春·湖南永州·九年级统考期中）如图，为⊙的直径，过圆上一点作⊙的切线交的延长线与点，过点作交于点，连接．(1)直线与⊙相切吗？并说明理由；(2)若，，求的长．【答案】(1)相切，见解析(2)【分析】（1）先证得：，再证，得到，即可求出答案；（2）设半径为；则：，即可求得半径，再在直角三角形中，利用勾股定理，求解即可．【详解】（1）证明：连接．∵为切线，∴，又∵，∴，，且，∴，在与中；∵，∴，∴，∴直线与相切．（2）设半径为；则：，得；在直角三角形中，，，解得【点睛】本题主要考查与圆相关的综合题型，涉及全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握平行线性质、勾股定理及全等三角形的判定和性质是解题的关键．【专训41】（2023春·四川乐山·九年级统考期中）如图，在△ABC中，D是边BC上一点，以BD为直径的⊙O经过点A，且∠CAD=∠ABC．（1）请判断直线AC是否是⊙O的切线，并说明理由；（2）若CD=2，CA=4，求弦AB的长．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）如图，连接OA，由圆周角定理可得∠BAD=90°=∠OAB+∠OAD，由等腰三角形的性质可得∠OAB=∠CAD=∠ABC，可得∠OAC=90°，可得结论；（2）由勾股定理可求OA=OD=3，由面积法可求AE的长，由勾股定理可求AB的长．【详解】（1）直线AC是⊙O的切线，理由如下：如图，连接OA，∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD=90°=∠OAB+∠OAD，∵OA=OB，∴∠OAB=∠ABC，又∵∠CAD=∠ABC，∴∠OAB=∠CAD=∠ABC，∴∠OAD+∠CAD=90°=∠OAC，∴AC⊥OA，又∵OA是半径，∴直线AC是⊙O的切线；（2）过点A作AE⊥BD于E，∵OC2=AC2+AO2，∴(OA+2)2=16+OA2，∴OA=3，∴OC=5，BC=8，∵S△OAC=OAAC=OCAE，∴AE=，∴OE=，∴BE=BO+OE=，∴AB=．【点睛】本题考查了切线的判定，圆的有关知识，勾股定理等知识，求圆的半径是本题的关键．【专训42】（2022秋·江苏常州·九年级校考期中）如图，已知AB、AC分别为⊙O的直径和弦，D为弧BC的中点，DE⊥AC于E，DE=6，AC=16．(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)求直径AB的长．【答案】(1)见解析(2)20【分析】（1）连接OD，BC，要证明DE是⊙O的切线只要证明OD⊥DE即可，根据已知条件可以证明OD⊥BC；（2）由（1）可得四边形CFDE为矩形，从而得到CF=DE=6，BC=2CF=12，利用勾股定理即可求得AB的长．【详解】（1）证明：如图，连接OD，BC；∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC，∵DE⊥AC，∴BCDE；∵D为弧BC的中点，∴OD⊥BC，∴OD⊥DE．∴DE是⊙O的切线．（2）设BC与DO交于点F，由（1）可得四边形CFDE为矩形；∴CF=DE=6，∵OD⊥BC，∴BC=2CF=12，在Rt△ABC中，AB==20．【点睛】本题主要考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证它们垂直即可解决问题．【专训43】（2022秋·江苏南京·九年级校联考期中）在四边形中，，E是上一点，以为直径的经过B，D两点，．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)16【分析】（1）连接并延长交AB于点F，连接，．利用等弧所对的弦相等推出,再结合证明是垂直平分线，得出，，进而证明四边形是矩形，推出，即可证明是的切线；（2）先证是的中位线，推出，设的半径为r，用勾股定理解得，解得，两式联立解出r，即可求出的长．【详解】（1）证明：连接并延长交于点F，连接，．∵，∴,又∵，∴O、D都在的垂直平分线上．∴是垂直平分线，∴，．∵为的直径，∴．又∵，∴四边形是矩形．∴．又∵点D在上，

∴是的切线．（2）解：∵，，∴是的中位线，∴．设的半径为r，在中，，在中，；∴，解得，（舍去）．∴．【点睛】本题考查圆周角定理，矩形的判定与性质，切线的判定，三角形中位线的判定与性质，勾股定理解直角三角形等知识点，涉及知识点比较多，难度一般，解题的关键是综合运用上述知识．考点三切线长定理【考试题型5】利用切线长定理求解【解题方法】切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.【典例5】（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，是的切线，切点分别是P、C、D．若，则的长是（）．A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】根据是的切线，则，再求出的长，即可求出的长．【详解】解：∵为的切线，∴．∵为的切线，∴．∵，∴．故选B．【点睛】本题考查切线长定理，掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等是解题关键．【专训51】（2022秋·广东广州·九年级校考期末）如图，、切于点、，直线切于点，交于，交于点，若，则的周长是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据切线长定理得到，结合题意，即可求得的周长．【详解】是的切线，．的周长．故选：C．【点睛】本题考查了切线长定理，理解切线长定理是解题的关键．【专训52】（2022秋·江苏镇江·九年级统考期末）工人为了测量某段圆木的直径，把圆木截面、含角的三角板和直尺按如图摆放，测得，由此可算得该圆木的直径为（

）厘米．A． B． C．6 D．8【答案】B【分析】设圆O切三角板的斜边于点C，连接，根据切线长定理可得平分，，在中，根据直角三角形的性质可得的长，即可．【详解】解：如图，设圆O切三角板的斜边于点C，连接，根据题意得：，∵圆O与直尺相切，∴平分，，∴，在中，，∴，∵，∴，∴该圆木的直径为厘米．故选：B【点睛】本题主要考查了切线长定理，直角三角形的性质，熟练掌握切线长定理，直角三角形的性质是解题的关键．【专训53】（2022秋·山西大同·九年级大同一中校考阶段练习）如图，为外一点，、分别切于点、，切于点，分别交PA、PB于点C、D，若△PCD的周长为18，则PA的长度为（）A．7 B．9 C．12 D．14【答案】B【分析】先根据切线长定理得到，，，再利用的周长为得到，然后利用等线段代换得到，从而得到的长．【详解】解：∵、分别切于点、，切于点，∴，，，∵的周长为，∴，∴，即，∴．故选：B．【点睛】本题考查了切线的性质，利用运用切线长定理是解决问题的关键．【专训54】（2023·山东滨州·统考一模）如图，与分别相切于点A，B，，则（）A． B．2 C． D．3【答案】B【分析】根据切线长定理得到，由此推出是等边三角形，即可得到答案．【详解】解：∵与分别相切于点A，B，∴，∵，∴是等边三角形，∴．故选：B．【点睛】此题考查了切线长定理，等边三角形的判定和性质，熟记切线长定理是解题的关键．考点四三角形外接圆与内接圆【考试题型6】求特殊三角形外接圆半径【解题方法】三角形外接圆的概念：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。外接圆圆心和三角形位置关系：1）锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；2）直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；3）钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）。【典例6】（2022秋·云南大理·九年级校考期中）三角形的三边长为6，8，10，那么此三角形的外接圆的半径长为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】因为三边长分别为6、8、10的三角形是直角三角形，由直角三角形的特征知，圆心为斜边中点，半径等于斜边的一半．【详解】解：∵，∴三角形为直角三角形，∵直角三角形的外接圆的圆心是斜边的中点，斜边为直角三角形中最长边，∴三角形外接圆的半径,∴三角形外接圆的半径等于5．故选：D．【点睛】本题考查的是直角三角形的外接圆半径，勾股定理逆定理，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆．【专训61】（2022秋·浙江宁波·九年级统考期中）已知在Rt中，，则Rt的外接圆的半径为（）A．4 B． C．5 D．【答案】D【分析】根据三角形外心的性质可知，直角三角形的外心为斜边中点，斜边为直径，先求斜边长，再求半径．【详解】在中，根据勾股定理得，，∵直角三角形的外心为斜边中点，∴的外接圆的半径为，故选：D．【点睛】本题考查了直角三角形的外心的性质，勾股定理的运用，关键是明确直角三角形的斜边为三角形外接圆的直径．【专训62】（2022秋·广东江门·九年级统考期末）如图，△ABC的外接圆半径为8，∠ACB＝60°，则AB的长为（）A．8 B．4 C．6 D．4【答案】A【分析】连接OA，OB，过O作OH⊥AB于H，根据圆周角定理得到∠AOB=2∠ACB=120°，根据等腰三角形的性质得到∠AOH=∠BOH=60°，根据直角三角形的性质得到OH，AH的长，于是得到答案．【详解】解：连接OA，OB，过O作OH⊥AB于H，∵∠ACB=60°，∴∠AOB=2∠ACB=120°，∵OB=OA=8，∴∠AOH=∠BOH=60°，∴∠OAB=30°，∴OH=OA=4，∴AH=，∴AB=2AH=8，故选：A．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，垂径定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．【考试题型7】判断三角形外接圆圆心的位置【解题方法】掌握三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点是解题的关键．【典例7】（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标为（1，3）、（5，3）、（1，－1），则△ABC外接圆的圆心坐标是（

）A．（1，3） B．（3，1） C．（2，3） D．（3，2）【答案】B【分析】根据三角形的外心的概念作出外心，根据坐标与图形性质解答即可．【详解】解：连接AB、AC，分别作AB、AC的垂直平分线，两条垂直平分线交于点P，则点P为△ABC外接圆的圆心，由题意得：点P的坐标为（3，1），即△ABC外接圆的圆心坐标是（3，1），故选：B．【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心、坐标与图形性质，掌握三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点是解题的关键．【专训71】（2022秋·河南新乡·九年级河南师大附中校考期中）如图，点，，都在格点上，的外接圆的圆心坐标为（

）A．（5，2） B．（2，4） C．（3，3） D．（4，3）【答案】A【分析】根据的外接圆的定义，作和的垂直平分线相交于点，则可得出答案．【详解】解：根据的外接圆的定义，作和的垂直平分线相交于点，∴点P（5，2），故选：A．【点睛】本题考查了三角形的外接圆，三角形的垂直平分线，正确作图是解题的关键．【专训72】（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在由小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E，F，O均在格点上．下列三角形中，外心不是点O的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设小正方形边长为1，再通过勾股定理求出到所有顶点长度，不相等的就是外心不在的三角形．【详解】解：设小正方形边长为1，则：，，根据三角形外心到各顶点距离相等可以判断：点O是三个三角形的外心；不是的外心，故选：C．【点睛】本题考查外心的定义，掌握勾股定理求出外心到各顶点距离是关键．【考试题型8】直角三角形周长、面积与三角形内切圆半径的关系【解题方法】1）三角形内切圆半径公式：r=2SC其中S为三角形的面积；C2）特殊的直角三角形内切圆半径公式：r=a+b-c2或r=aba+b+c.其中【典例8】（2022秋·江苏南京·九年级统考期中）三边长分别为6、8、10的三角形的内切圆的半径长为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】根据面积关系：，其中、是两直角边，是斜边，是直角三角形内切圆的半径，由此关系即可求得内切圆的半径．【详解】设三角形内切圆的半径为，由于，所以此三角形是直角三角形，则有：解得：；故选：A．【点睛】本题考查了求三角形的内切圆半径，勾股定理的逆定理，利用面积关系是关键．【专训81】（2023秋·江苏·九年级专题练习）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著．书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是“今有直角三角形(如图)，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少？”()A．3步 B．5步 C．6步 D．8步【答案】C【详解】解：根据勾股定理得：斜边为则该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)半径(步)，即直径为6步，故选C【考试题型9】理解三角形内心【解题方法】【典例9】（2022秋·江苏连云港·九年级统考期中）如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的（）A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点 D．三条高的交点【答案】B【分析】根据三角形的内切圆得出点到三边的距离相等，即可得出结论．【详解】解：是的内切圆，则点到三边的距离相等，点是的三条角平分线的交点；故选：B．【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，解题的关键是熟练掌握三角形的内切圆的圆心性质．【专训91】（2023春·河北邢台·九年级统考开学考试）如图，在正方形网格中，点A，B，C，D，O都在格点上，下列说法正确的是（

）A．点O是ABC的内心 B．点O是ABC的外心C．点O是ABD的内心 D．点O是ABD的外心【答案】D【分析】根据三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心即可解决问题．【详解】解：根据点A，B，C，D，O都在正方形网格的格点上．可知：点O到点A，B，D的三点的距离相等，所以点O是△ABD的外心，故选：D．【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是掌握内心与外心的定义．【专训92】（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，以点A为圆心，以任意长为半径画弧交射线AB，AC于两点，分别以这两点为圆心，以适当的定长为半径画弧，两弧交于点E，作射线AE，交BD于点I，连接CI，以下说法错误的是（）A．I到AB，AC边的距离相等B．CI平分∠ACBC．I是△ABC的内心D．I到A，B，C三点的距离相等【答案】D【分析】根据作图先判断AE平分∠BAC，再由三角形内心的性质解答即可．【详解】解：A.由作图可知，AE是∠BAC的平分线，∴I到AB，AC边的距离相等，故选项正确，不符合题意；B.∵BD平分∠ABC，三角形三条角平分线交于一点，∴CI平分∠ACB，故选项正确，不符合题意；C.由上可知，I是△ABC的内心，故选项正确，不符合题意，D.∵I是△ABC的内心，∴I到AB，AC，BC的距离相等，不是到A，B，C三点的距离相等，故选项错误，符合题意；故选：D．【点睛】此题考查尺规作图，涉及三角形内心的性质，解题的关键是掌握基本的尺规作图和三角形内心的性质．【考试题型10】三角形外接圆与内切圆关系【典例10】（2022秋·山东烟台·九年级统考期末）若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据等腰直角三角形的外接圆半径的长求出斜边，再由勾股定理求出直角边，利用等腰直角三角形的面积即可求出内切圆的半径．【详解】如图所示，是等腰直角三角形，是它的外接圆，是它的内切圆，连接AE、BE，∵等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，∴AB=4，∴在中，，∵是内切圆，∴EF=EG=ED，∴，∵，∴，即，∴．故选：B．【点睛】本题考查了三角形的外接圆和内切圆，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握圆基本的性质定理是解题的关键．【专训101】（2022秋·广东河源·九年级校考期末）若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为（）A． B． C． D．—1【答案】B【分析】由于直角三角形的外接圆半径是斜边的一半，由此可求得等腰直角三角形的斜边长，进而可求得两条直角边的长；然后根据直角三角形内切圆半径公式求出内切圆半径的长．【详解】解：∵等腰直角三角形外接圆半径为2，∴此直角三角形的斜边长为4，两条直角边分别为2，∴它的内切圆半径为：R=（2+24）=22．故选：B．【点睛】本题考查了三角形的外接圆和三角形的内切圆，等腰直角三角形的性质，要注意直角三角形内切圆半径与外接圆半径的区别：直角三角形的内切圆半径：r=（a+bc）；（a、b为直角边，c为斜边）直角三角形的外接圆半径：R=c．【专训102】（2022秋·天津·九年级校考期末）如图，点和分别是的内心和外心，若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据圆周角定义，以及内心的定义，可以利用∠C表示出∠AIB和∠AOB，即可得到两个角的关系可进一步得出结论．【详解】解：∵点I是△ABC的内心，∴∠IAB=∠CAB，∠IBA=∠CBA，∴∠AIB=180°（∠IAB+∠IBA）=180°（∠CAB+∠CBA），=180°（180°∠C）=90°+∠C，∵∴∠C=70°，∵点O是△ABC的外心，∴∠AOB=2∠C=140°，故选：D．【点睛】本题考查了圆周角定理以及三角形的内心的性质，正确利用∠C表示∠AIB的度数是关键．【专训103】（2022·浙江·九年级专题练习）直角三角形的外接圆半径为3，内切圆半径为1，则该直角三角形的周长是（

）A．12 B．14 C．16 D．18【答案】B【分析】⊙I切AB于E，切BC于F，切AC于D，连接IE，IF，ID，得出正方形CDIF推出CD=CF=1，根据切线长定理得出AD=AE，BE=BF，CF=CD，求出AD+BF=AE+BE=AB=6，即可求出答案．【详解】解：如图，⊙I切AB于E，切BC于F，切AC于D，连接IE，IF，ID，则∠CDI=∠C=∠CFI=90°，ID=IF=1，∴四边形CDIF是正方形，∴CD=CF=1，由切线长定理得：AD=AE，BE=BF，CF=CD，∵直角三角形的外接圆半径为3，内切圆半径为1，∴AB=6=AE+BE=BF+AD，即△ABC的周长是AC+BC+AB=AD+CD+CF+BF+AB=6+1+1+6=14，故选：B．【点睛】本题考查了直角三角形的外接圆与内切圆，正方形的性质和判定，切线的性质，切线长定理等知识点的综合运用．【专训104】（2022秋·山东聊城·九年级校联考期中）等边三角形的内切圆半径、外接圆半径的比是（

）A．1： B．2：1 C．1： D．1∶2【答案】D【分析】连接OD、OE，根据切线的性质和等边三角形的性质证明△AOD为直角三角形且∠OAD为30°，即可求出OD、OA的比．【详解】如图，连接OD、OE，∵AB、AC切圆O于E、D，∴，，且OA平分∠BAC，又∵为等边三角形，，，::2．故选：D．【点睛】本题考查了三角形的内切圆和外接圆，等边三角形的性质，切线的性质以及直角三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．考点五圆与圆位置关系【考试题型11】圆与圆位置关系【解题方法】设⊙O1、⊙O2的半径分别为位置关系图形定义性质及判定外离图1两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部．d>R+r⇔外切图2两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，每个圆上的点都在另一个圆的外部．d=R+r⇔相交图3两个圆有两个公共点．R-内切图4两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，一个圆上的点都在另一个圆的内部．d=R-内含图5两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，两圆