新高考数学三轮冲刺通关练习02 平面向量（易错题+三大题型）（原卷版）

秘籍02平面向量目录【高考预测】概率预测+题型预测+考向预测【应试秘籍】总结常考点及应对的策略【误区点拨】点拨常见的易错点易错点：投影向量、投影向量的模与向量的投影【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略【题型一】奔驰定理【题型二】极化恒等式【题型三】等和线概率预测☆☆☆☆题型预测选择题、填空题☆☆☆☆☆考向预测投影向量的概念平面向量是近几年小题的热点必考题型，主要考察学生对于向量的转化也就是基底思想的熟练程度，包含了对于复杂知识的简单化也就是化归与转化的思想的掌握。近几年的向量也出现过单选的压轴题，考察的大多为向量的三大定理之一。还有新教材新加的投影向量也是今年的热门知识点。注意题目的问法，分清投影向量、向量的投影和投影向量的模之间的区别。易错点：投影向量、投影向量的模与向量的投影1.同方向单位向量：SKIPIF1<0的同方向单位向量为SKIPIF1<0，指的是方向和SKIPIF1<0相同，模长为1的向量。2.向量SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影：设SKIPIF1<0为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的夹角，则SKIPIF1<0为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影.3.投影也是一个数量，不是向量.当SKIPIF1<0为锐角时投影为正值；当SKIPIF1<0为钝角时投影为负值；当SKIPIF1<0为直角时投影为SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时投影为SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时投影为SKIPIF1<0.4.向量SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影向量：设SKIPIF1<0为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的夹角，则SKIPIF1<0为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影向量.5.向量的数量积的几何意义：数量积SKIPIF1<0等于SKIPIF1<0的长度与SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上投影SKIPIF1<0的乘积.易错提醒：1.投影和投影向量的模都是数量，区别在于投影有正负，投影向量的模永远是正值。2.投影向量结果是向量，所以是其投影（大小）乘上其同方向单位向量（方向）。例（多选）（2023·海南·模拟预测）已知向量SKIPIF1<0，则（

）A．若SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影向量为SKIPIF1<0C．存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上投影向量的模为1D．SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0变式1：（2024·辽宁鞍山·二模）已知非零向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0方向上的投影向量是SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0夹角的余弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0变式2：（多选）（2024·广东广州·一模）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不共线，向量SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角，则下列结论一定正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影向量相等 D．SKIPIF1<0变式3：（2024·青海·一模）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则向量SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影为．【题型一】奔驰定理SKIPIF1<0为SKIPIF1<0内一点，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.重要结论：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.结论1：对于SKIPIF1<0内的任意一点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的面积分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则：SKIPIF1<0.即三角形内共点向量的线性加权和为零，权系数分别为向量所对的三角形的面积.结论2：对于SKIPIF1<0平面内的任意一点SKIPIF1<0，若点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的外部，并且在SKIPIF1<0的内部或其对顶角的内部所在区域时，则有SKIPIF1<0.结论3：对于SKIPIF1<0内的任意一点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的面积之比为SKIPIF1<0.即若三角形内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对的三角形面积之比等于权系数之比.结论4：对于SKIPIF1<0所在平面内不在三角形边上的任一点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的面积分别为SKIPIF1<0.奔驰定理与三角形四心的关系：一、三角形的“重心”1、重心的定义：中线的交点，重心将中线长度分成2:1三角形中线向量式：AM2、重心的性质：（1）重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。（2）重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。所以二、三角形的“垂心”垂心的定义：高的交点。锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外。奔驰定理推论：S∆BOC:tanA∙OA+tanB∙三、三角形的“内心”1、内心的定义：角平分线的交点(或内切圆的圆心)。2、常见内心向量式：P是∆ABC的内心，（1）ABPC+BC其中a，b，c分别是∆ABC的三边BC、AC、AB的长，四、三角形的“外心”1、外心的定义：三角形三边的垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等2、常用外心向量式：O是∆ABC的外心，1、OA2、OA3、若OA+OB∙AB=【例1】（2021·四川凉山·三模）如图，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0内任意一点，角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.总有优美等式SKIPIF1<0SKIPIF1<0成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.现有以下命题：①若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的重心，则有SKIPIF1<0；②若SKIPIF1<0成立，则SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的内心；③若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；④若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的外心，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.则正确的命题有.【例2】（多选）（22-23高一下·山东·阶段练习）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0内一点，SKIPIF1<0的面积分别为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.以下命题正确的有（

）A．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的重心B．若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的内心，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的外心，则SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的垂心，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0【例3】（2023高一·江苏·专题练习）已知O是平面上的一个定点，A､B､C是平面上不共线的三点，动点P满足SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则点P的轨迹一定经过SKIPIF1<0的（

）A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心【变式1】（2023·吉林·一模）在直角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的重心、外心、垂心、内心分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0），当SKIPIF1<0取最大值时，SKIPIF1<0（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式2】（22-23高三上·江西·阶段练习）奔驰定理：已知点O是SKIPIF1<0内的一点，若SKIPIF1<0的面积分别记为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O是SKIPIF1<0的垂心，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式3】（2022·安徽·三模）平面上有SKIPIF1<0及其内一点O，构成如图所示图形，若将SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积分别记作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则有关系式SKIPIF1<0．因图形和奔驰车的SKIPIF1<0很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知SKIPIF1<0的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足SKIPIF1<0，则O为SKIPIF1<0的（

）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【题型二】极化恒等式基础知识：SKIPIF1<0简化：在△SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是边SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0.【例1】已知△SKIPIF1<0是边长为2的等边三角形，SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0内一点，则SKIPIF1<0的最小值是（）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【例2】在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值是________.【例3】已知球SKIPIF1<0的半径为1，SKIPIF1<0是球面上的两点，且SKIPIF1<0，若点SKIPIF1<0是球面上任意一点，则SKIPIF1<0的取值范围是A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【变式1】（23-24高三上·云南保山·期末）如图，已知正方形SKIPIF1<0的边长为4，若动点SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0为直径的半圆上（正方形SKIPIF1<0内部，含边界），则SKIPIF1<0的取值范围为（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式2】（2024·江西·一模）如图，正六边形的边长为SKIPIF1<0，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式3】（2024·陕西安康·模拟预测）在平面直角坐标系中，曲线SKIPIF1<0与坐标轴的交点都在圆SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0为圆SKIPIF1<0的直径，点SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0上任意一点；则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．4 B．12 C．16 D．18【题型三】等和线向量基本定理：SKIPIF1<0等和线原理：SKIPIF1<0SKIPIF1<0【例1】如图，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是斜边SKIPIF1<0上一点，且满足：SKIPIF1<0,点SKIPIF1<0在过点SKIPIF1<0的直线上，若SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0的最小值为（）A．2B．SKIPIF1<0C．3D．SKIPIF1<0【例2】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是平面内共线的三个不同的点，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所在直线外任意-点，且满足SKIPIF1<0，若点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0的延长线上，则（）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【例3】如图，∠BAC=2π3，圆M与AB、AC分别相切于点D、E，AD=1，点P是圆M及其内部任意一点，且AP=xA．1,4+23B．4−23,4+23【变式1】（2024·内蒙古包头·一模）如图，在菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1