新高考数学一轮复习精讲精练10.3 平面向量的应用（提升版）（解析版）

10.3平面向量的应用（精讲）（提升版）考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一在几何中的运用【例1-1】（2022·四川省峨眉）若平面四边形ABCD满足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则该四边形一定是（

）A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形【答案】B【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,所以四边形ABCD为平行四边形，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，所以BD垂直AC，所以四边形ABCD为菱形.故选：B【例1-2】（2022·上海）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为边SKIPIF1<0上的点，且SKIPIF1<0．求证：SKIPIF1<0．【答案】证明见解析.【解析】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【例1-3】（2022·全国·模拟预测）已知H为SKIPIF1<0的垂心，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】依题意，SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0．由H为△ABC的垂心，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．同理有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故选：C．【例1-4】（2022·云南）已知SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则AC边的中线的长为（

）A．SKIPIF1<0 B．3 C．SKIPIF1<0 D．4【答案】C【解析】根据正弦定理由SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0,不符合三角形内角和定理，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0,因此SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0，负值舍去，即SKIPIF1<0，由余弦定理可知：SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0边的中点为SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0故选：C【一隅三反】1．（2022·云南师大附中）SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∠A的平分线AD交边BC于D，已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则AD的长为（

）A．SKIPIF1<0 B．3 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】如图，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的平分线，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：C．2．（2022·全国·高三专题练习）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】取SKIPIF1<0中点O，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0M为BC边上靠近C的三等分点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：C.3．（2022·河南·南阳中学）直角三角形ABC中，斜边BC长为a，A是线段PE的中点，PE长为2a，当SKIPIF1<0最大时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】如图所示，设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为A是线段PE的中点，PE长为2a，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0最大，此时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0最大的值为SKIPIF1<0.故选：A.考点二三角形的四心【例2-1】（2022·全国·高三专题练习（文））数学家欧拉于SKIPIF1<0年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点SKIPIF1<0分别为任意SKIPIF1<0的外心､重心､垂心，则下列各式一定正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】SKIPIF1<0依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，A错误，B错误；SKIPIF1<0，C错误；SKIPIF1<0，D正确.故选：D.【例2-2】（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0所在的平面内，则下列命题正确的是（

）A．若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的垂心，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0为边长为2的正三角形，则SKIPIF1<0的最小值为-1C．若SKIPIF1<0为锐角三角形且外心为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，则动点SKIPIF1<0的轨迹经过SKIPIF1<0的外心【答案】ACD【解析】A：如下图，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为垂心，易知：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，根据向量数量积的几何意义知：SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，正确；B：构建以SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0为原点的直角坐标系，则SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，错误；C：由题设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0共线，又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0垂直平分SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，正确；D：由题设，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的轨迹经过SKIPIF1<0的外心，正确.故选：ACD【一隅三反】1．（2022农安月考）SKIPIF1<0为平面上的一定点，SKIPIF1<0是平面上不共线的三个动点，动点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的轨迹一定过SKIPIF1<0的（）A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心【答案】D【解析】因为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0方向上的单位向量，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0方向上的单位向量，

则SKIPIF1<0+SKIPIF1<0的方向为∠BAC的平分线SKIPIF1<0的方向.

又λ∈(0，＋∞)，所以λ(SKIPIF1<0+SKIPIF1<0)的方向与SKIPIF1<0+SKIPIF1<0的方向相同.

而SKIPIF1<0，

所以点P在SKIPIF1<0上移动，所以点P的轨迹一定通过△ABC的内心.

故选：D2．（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））已知SKIPIF1<0是平面内一点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是平面内不共线的三点，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0一定是SKIPIF1<0的（

）A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心【答案】C【解析】由题意知，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，同理，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的垂心.故选：C3．（2022·全国·）平面内SKIPIF1<0及一点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的（

）A．重心 B．内心 C．外心 D．垂心【答案】B【解析】由SKIPIF1<0知，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的角平分线，同理SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的角平分线，则点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的内心.故选:B.4．（2023·全国·高三专题练习）（多选）对于给定的SKIPIF1<0，其外心为O，重心为G，垂心为H，内心为Q，则下列结论正确的是（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．若A、P、Q三点共线，则存在实数SKIPIF1<0使SKIPIF1<0【答案】BCD【解析】对于A：给定的SKIPIF1<0，其外心为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故A不正确；对于B：因为SKIPIF1<0为给定的SKIPIF1<0的垂心，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0,解得：SKIPIF1<0,故B正确；对于C：因为重心为G，则有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故C正确；对于D：由于点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的平分线上，SKIPIF1<0为单位向量，所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的平分线对应向量共线，所以存在实数SKIPIF1<0使SKIPIF1<0，故D正确．故选：BCD．考点三三角形的面积比【例3-1】（2022·天津五十七中模拟预测）若点M是SKIPIF1<0所在平面内一点，且满足：SKIPIF1<0．则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的面积之比为________．【答案】SKIPIF1<0【解析】因SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，于是得点SKIPIF1<0在边SKIPIF1<0上，并且SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的面积之比为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0【例3-2】（2022·重庆）若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0内部一点，且满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的面积比为_______.【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0取SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的重心根据重心的性质可得，点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离是点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离的SKIPIF1<0则SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0【一隅三反】1．（2022·全国·课时练习）已知SKIPIF1<0为SKIPIF1<0内的一点，满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的面积之比为________．【答案】SKIPIF1<0【解析】分别取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；又SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.2．（2022北京朝阳）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0所在平面内的两点，且满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__________．【答案】SKIPIF1<0【解析】取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0并延长，交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0并延长，交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，同理SKIPIF1<0也为SKIPIF1<0中点，即SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的面积为平行四边形SKIPIF1<0面积的SKIPIF1<0，又∵平行四边形SKIPIF1<0的面为SKIPIF1<0面积的SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故答案为SKIPIF1<0．3（2022·全国·课时练习）设SKIPIF1<0是SKIPIF1<0内部一点，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的面积之比为________________.【答案】SKIPIF1<0【解析】设SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，如图所示，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的面积之比为SKIPIF1<0.4．（2022·江西）已知点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0所在平面内一点，满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______．【答案】7【解析】如图建立平面直角坐标系，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0考点四平面向量的综合运用【例4-1】（2022·昌吉模拟）折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形AOB，其中∠AOB＝120°，OA＝2OC＝2，点E在弧CD上，则SKIPIF1<0的最小值是（）A．－1 B．1 C．－3 D．3【答案】C【解析】以SKIPIF1<0为原点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴的正方形建立平面直角坐标系，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0.故答案为：C【例4-2】（2022·眉山模拟）下如图是世界最高桥——贵州北盘江斜拉桥.下如图是根据下如图作的简易侧视图（为便于计算，侧视图与实物有区别）.在侧视图中，斜拉杆PA，PB，PC，PD的一端P在垂直于水平面的塔柱上，另一端A，B，C，D与塔柱上的点O都在桥面同一侧的水平直线上.已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.根据物理学知识得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．28m B．20m C．31m D．22m【答案】D【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，

因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0∽SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0的中点，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0故答案为：D【一隅三反】1．（2022·湖北模拟）设A、B为圆SKIPIF1<0上的两动点，且∠AOB=120º，P为直线l：3x–4y–15=0上一动点，则SKIPIF1<0的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】设C是AB中点，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即C在以原点为圆心，SKIPIF1<0为半径的圆上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故答案为：C．2．（2022·衡阳二模）设SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0的内角SKIPIF1<0的对边，已知SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0是SKIPIF1<0边的中点，且SKIPIF1<0的面积为1，则SKIPIF1<0等于（）A．2 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．-2【答案】B【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由正弦定理可得：SKIPIF1<0，整理可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由余弦定理可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0的面积为1，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故答案为：B3．（2021·深圳模拟）骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均是边长为4的等边三角形.设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，SKIPIF1<0的最大值为（）A．18 B．24 C．36 D．48【答案】C【解析】骑行过程中，SKIPIF1<0相对不动，只有SKIPIF1<0点绕SKIPIF1<0点作圆周运动．如图，以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0为坐标原点建立平面直角坐标系，由题意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，易知当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值36．故答案为：C．4．（2022·宜春模拟）设SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别是椭圆SKIPIF1<0的左右焦点，过SKIPIF1<0的直线l交椭圆于A、B两点，且SKIPIF1<0，该椭圆的离心率为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0即：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0①，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入①得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由椭圆的定义可得：SKIPIF1<0，在三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，化简得：SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则在三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，代入化简有：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故答案为：D.5．（2022·商洛模拟）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为双曲线SKIPIF1<0的左､右焦点，点A，B分别在双曲线C的左､右支上，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则双曲线C的渐近线斜率为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由勾股定理得SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由双曲线定义及勾股定理得|AF2|−m=2a，6m−|BF2|=2a，|AF2|2整理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由cosSKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0故答案为：C10.3平面向量的应用（精练）（提升版）题组一题组一平面向量在几何中的运用1．（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0边上的中线长为（

）A．49 B．7 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故可得SKIPIF1<0，根据余弦定理可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，不妨取SKIPIF1<0中点为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.即SKIPIF1<0边上的中线长为SKIPIF1<0.故选：SKIPIF1<0.2（2022·海南·模拟预测）在直角梯形ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.若线段CD上存在唯一的点E满足SKIPIF1<0，则线段CD的长的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】

如图所示，以A为坐标原点，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0分别为x轴和y轴正方向建立直角坐标系.则SKIPIF1<0,设DE的长为x，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，由题意知：SKIPIF1<0，且点E存在于CD上且唯一，知CD的长的取值范围是SKIPIF1<0，故选：B.3．（2022·云南）SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】如图所示，以SKIPIF1<0点为原点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴构建直角坐标系，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三点共线，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三点共线，所以SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：A.4（2022·全国·信阳高中）已知四边形SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】解法一如图，以SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0所在直线为SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0所在直线为SKIPIF1<0轴建立平面直角坐标系，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.故选：C.解法二：∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：C.5（2022·湖南张家界）如图，在梯形ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若M，N是线段BC上的动点，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】如图，以点SKIPIF1<0为原点，SKIPIF1<0所在的直线为SKIPIF1<0轴，建立如图所示的平面直角坐标系，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0．故选：C.6．（2022·浙江·镇海中学）已知平面向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成夹角的最大值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0夹角为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成夹角为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，①SKIPIF1<0SKIPIF1<0，②又SKIPIF1<0，③SKIPIF1<0②与③联立可得SKIPIF1<0，④SKIPIF1<0①④联立可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，取等号，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成夹角的最大值是SKIPIF1<0，7（2022·湖南·周南中学）已知边长为2的菱形ABCD中，点F为BD上一动点，点E满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】C【解析】由题意知：SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交点为原点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴建立如下图所示的平面直角坐标系：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0故选：C.8．（2022·江苏·无锡市教育科学研究院）点SKIPIF1<0是边长为2的正三角形SKIPIF1<0的三条边上任意一点，则SKIPIF1<0的最小值为___________.【答案】SKIPIF1<0【解析】不妨假设SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上且SKIPIF1<0，如下图示，所以，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<09．（2022·上海市晋元高级中学）“燕山雪花大如席”，北京冬奥会开幕式将传统诗歌文化和现代奥林匹克运动联系在一起，天衣无缝，让人们再次领略了中国悠久的历史积淀和优秀传统文化恒久不息的魅力.顺次连接图中各顶点可近似得到正六边ABCDEF.若正六边形的边长为1，点P是其内部一点（包含边界），则SKIPIF1<0的取值范围为___________.【答案】SKIPIF1<0【解析】过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0,SKIPIF1<0当SKIPIF1<0点与SKIPIF1<0点重合时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影最大，此时SKIPIF1<0,SKIPIF1<0取得最大值为SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0点与SKIPIF1<0点重合时，此时SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,取得的最小值为SKIPIF1<0SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．10．（2021·湖南）已知平面四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0_______.【答案】SKIPIF1<0【解析】如图以SKIPIF1<0为原点建立直角坐标系，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0知SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.题组二题组二三角形的四心1．（2022·湖南湘潭·高三开学考试）在四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的重心，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．0【答案】A【解析】如图所示：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，于是有SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号，所以SKIPIF1<0.故选：A2．（2022·全国·课时练习）平面内SKIPIF1<0及一点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心【答案】D【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0同理可得SKIPIF1<0所以点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0垂心，选D.3．（2021·湖南·怀化市第三中学）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为三角形所在平面上的一点，且点SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0点为三角形的A．外心 B．垂心 C．重心 D．内心【答案】D【解析】在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上分别取点SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，作菱形SKIPIF1<0，则由SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的平分线.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0三点共线，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的平分线上..同理证得SKIPIF1<0在其它两角的平分线上，由此求得SKIPIF1<0是三角形的内心.，故选D.4．（2022·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0是三角形SKIPIF1<0的外心，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的最大值为（

）A．3 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】如图所示：设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0是三角形SKIPIF1<0的外心可知，SKIPIF1<0是三边中垂线交点，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入上式得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.根据题意知，SKIPIF1<0