新高考数学一轮复习精讲精练7.5 外接球（提升版）（解析版）

7.5外接球（精讲）（提升版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一汉堡模型【例1】（2022·陕西）已知底面边长为1，侧棱长为SKIPIF1<0则正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由题可知，正四棱柱的体对角线即为外接球的直径，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故球的体积为：SKIPIF1<0.故选：D.【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）已知在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0的外接球的表面积是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】在SKIPIF1<0中，由余弦定理得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0外接圆半径SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三棱锥SKIPIF1<0的外接球半径SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0的外接球的表面积SKIPIF1<0.故选：A.2．（2022·全国·高三专题练习）已知在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0外接球的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】因SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，三棱锥SKIPIF1<0的外接球SKIPIF1<0截平面SKIPIF1<0所得小圆圆心SKIPIF1<0是正SKIPIF1<0的中心，SKIPIF1<0，连SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，取线段SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，则球SKIPIF1<0的球心SKIPIF1<0在过E垂直于直线SKIPIF1<0的垂面上，连SKIPIF1<0，如图，则四边形SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0，因此，球SKIPIF1<0的半径SKIPIF1<0有：SKIPIF1<0，所以三棱锥SKIPIF1<0外接球的表面积SKIPIF1<0.故选：C3．（2023·山西大同·高三阶段练习）球内接直三棱柱SKIPIF1<0，则球表面积为___________.【答案】SKIPIF1<0【解析】设三角形ABC和三角形SKIPIF1<0的外心分别为D，E．可知其外接球的球心O是线段DE的中点，连结OC，CD，设外接球的半径为R，三角形ABC的外接圆的半径r，SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，由正弦定理得，SKIPIF1<0，而在三角形OCD中，可知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因此三棱柱外接球的表面积为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0考点二墙角模型【例2】（2022·全国·高三专题练习）长方体的长，宽，高分别为3，SKIPIF1<0，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】球O的半径为SKIPIF1<0，∴体积SKIPIF1<0．故选：A【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）已知四棱锥P-ABCD中，SKIPIF1<0平面ABCD，底面ABCD是矩形，SKIPIF1<0，若四棱锥P-ABCD外接球的表面积为SKIPIF1<0，则四棱锥P-ABCD的体积为（

）A．3 B．2 C．SKIPIF1<0 D．1【答案】D【解析】设四棱锥P-ABCD外接球的半径为R，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．由题意，易知SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以四棱锥P-ABCD的体积为SKIPIF1<0．故选：D2．（2022·全国·高三专题练习）已知三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则该三棱锥的外接球的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】解：如图所示，将三棱锥SKIPIF1<0放在长、宽、高分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的长方体中，则三棱锥SKIPIF1<0的外接球即为该长方本的外接球，所以外接球的直径SKIPIF1<0，∴该球的体积为SKIPIF1<0.故选：B3．（2022·海原县）已知三棱锥SKIPIF1<0的所有顶点都在球SKIPIF1<0的球面上，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则球SKIPIF1<0的表面积为___________.【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则可将三棱锥SKIPIF1<0放入如下图所示的长方体中，则长方体的外接球即为三棱锥SKIPIF1<0的外接球，SKIPIF1<0球SKIPIF1<0的半径SKIPIF1<0，SKIPIF1<0球SKIPIF1<0的表面积SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.考点三斗笠模型【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知三棱锥SKIPIF1<0的四个顶点都在球SKIPIF1<0的球面上SKIPIF1<0是边长为SKIPIF1<0的正三角形，则球SKIPIF1<0的表面积等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】已知三棱锥SKIPIF1<0的四个顶点都在球O的球面上，SKIPIF1<0是边长为SKIPIF1<0的正三角形，如图所示：取BC的中点D，点H为底面的中心，所以SKIPIF1<0设外接球的半径为R，所以SKIPIF1<0，利用勾股定理可得，SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0则球SKIPIF1<0的表面积为SKIPIF1<0故选：B.【一隅三反】1（2022·全国·高三专题练习）已知圆台的母线长为2，母线与轴的夹角为60°，且上、下底面的面积之比为1：4，则该圆台外接球的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】圆台上、下底面的面积之比为1：4，则半径比为1：2，设圆台上、下底面半径为SKIPIF1<0，因母线与轴的夹角为60°，可得圆台高为1，则SKIPIF1<0；设圆台外接球的半径为SKIPIF1<0，球心到下底面的距离为SKIPIF1<0，易得圆台两底面在球心同侧，则SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则该圆台外接球的表面积为SKIPIF1<0.故选：C.2．（2022·湖北武汉·高三开学考试）已知正三棱锥的各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为SKIPIF1<0，则该正三棱锥体积的最大值为___________.【答案】SKIPIF1<0【解析】因为SKIPIF1<0，所以正三棱锥外接球半径SKIPIF1<0，正三棱锥如图所示，设外接球圆心为SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0向底面作垂线垂足为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0是正三棱锥，所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中心，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0递增，在SKIPIF1<0递减，故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取最大值，SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.3．（2022·江西）正三棱锥P－ABC底面边长为2，M为AB的中点，且PM⊥PC，则三棱锥P－ABC外接球的体积为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由图，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，因为PM⊥PC，所以由勾股定理得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，由对称性可知：三棱锥P－ABC外接球的球心在三棱锥P－ABC的高PD上，假设为O点，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，又由于点D是三角形ABC的外心，且三角形ABC为等边三角形，所以SKIPIF1<0,在三角形ODC中，由勾股定理得SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以三棱锥P－ABC外接球的体积为SKIPIF1<0.故选：C考点四麻花模型【例4】（2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0外接球的体积为（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由题意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，将三棱锥SKIPIF1<0放到长方体中，可得长方体的三条对角线分别为SKIPIF1<0，2，SKIPIF1<0，设长方体的长、宽、高分别为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．所以三棱锥SKIPIF1<0外接球的半径SKIPIF1<0．SKIPIF1<0三棱锥SKIPIF1<0外接球的体积SKIPIF1<0．故选：C【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0的外接球的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，5，SKIPIF1<0，则长方体的对角线长等于三棱锥SKIPIF1<0外接球的直径，如图，设长方体的棱长分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因此三棱锥SKIPIF1<0外接球的直径为SKIPIF1<0，所以三棱锥SKIPIF1<0外接球的表面积为SKIPIF1<0．故选：A2．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥A-BCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，二面角A-BD-C是钝角.若三棱锥A-BCD的体积为2，则A-BCD的外接球的表面积是（

）A．12π B．13π C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】如图1，取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，知SKIPIF1<0为二面角SKIPIF1<0的平面角，此角为钝角，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因此四面体SKIPIF1<0可以放置在一个长方体中，四面体SKIPIF1<0的六条棱是长方体的六个面对角线，如图2，此长方体的外接球就是四面体SKIPIF1<0的外接球，设长方体的棱长分别为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以外接球的直径为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，球表面积为SKIPIF1<0．故选：B．考点五L模型【例5】（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则该三棱锥外接球的表面积是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】如图所示：其中D为AB的中点，O为SKIPIF1<0外接圆的圆心，SKIPIF1<0，∴O在CD上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，D为AB的中点，SKIPIF1<0，∵平面SKIPIF1<0平面ABC，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面ABC，SKIPIF1<0平面PAB．又DA，DB，SKIPIF1<0平面PAB，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，D为AB的中点，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．∴O即为三棱锥SKIPIF1<0外接球的球心，且外接球半径SKIPIF1<0，∴该三棱锥外接球的表面积SKIPIF1<0．故选：B【一隅三反】1（2022·江西高三）在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是等边三角形，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0的外接球体积为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中点，则SKIPIF1<0是SKIPIF1<0外心，又SKIPIF1<0是等边三角形，所以SKIPIF1<0，而平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的外心即中三棱锥SKIPIF1<0外接球的球心，所以球半径SKIPIF1<0，球体积为SKIPIF1<0．故选：C．2．（2022·四川雅安市）在四面体ABCD中，已知平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，其外接球表面积为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】四面体ABCD中，取AB的中点E，连CE，DE，如图：因SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0平面CDE，所以平面CDE⊥平面ABC，平面CDE⊥平面ABD，令正△ABD中心为O2，正△ABC中心为O1，在平面CDE内分别过O1，O2作直线CE，DE的垂线，两线交于点O，则有O1O⊥平面ABC，平面O2O⊥平面ABD，由球的截面小圆性质知，四面体ABCD外接球球心在直线O1O和直线O2O上，即点O是球心，连OA，O1A，OA即为球O的半径，因平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即有四边形OO1EO2是正方形，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所求外接球的表面积SKIPIF1<0.故选：B3．（2023·重庆九龙坡区）在三棱锥SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0的外接球的表面积为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】如图，取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等边三角形，则SKIPIF1<0因为平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以三棱锥SKIPIF1<0的外接球的球心在SKIPIF1<0上，设球心为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，设外接球半径为SKIPIF1<0，由已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在直角梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以球表面积为SKIPIF1<0．故选：C．考点六怀表模型【例6】（2022·全国·高三专题练习）在边长为6的菱形ABCD中，SKIPIF1<0，现将SKIPIF1<0沿BD折起到SKIPIF1<0的位置，当三棱锥SKIPIF1<0的体积最大时，三棱锥SKIPIF1<0的外接球的表面积为（

）A．60π B．45π C．30π D．20π【答案】A【解析】当三棱锥SKIPIF1<0的体积最大值时，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，如图，取SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0外接圆的圆心，SKIPIF1<0为三棱锥SKIPIF1<0的外接球的球心，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0为平行四边形SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即四边形SKIPIF1<0为矩形.SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0外接球半径SKIPIF1<0SKIPIF1<0外接球的表面积为SKIPIF1<0故选：A.【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是边长为SKIPIF1<0的等边三角形，SKIPIF1<0，二面角SKIPIF1<0是150°，则三棱锥SKIPIF1<0外接球的表面积是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】如图，作SKIPIF1<0平面ABC，垂足为E，连接BE，记SKIPIF1<0，连接PD.由题意可得D为AC的中点.在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，D为AC的中点，SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.因为二面角SKIPIF1<0是150°，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0是边长为SKIPIF1<0的等边三角形，且D为AC的中点，所以SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0为SKIPIF1<0外接圆的圆心，则SKIPIF1<0.设三棱锥SKIPIF1<0外接球的球心为O，因为SKIPIF1<0，所以O在平面ABC下方，连接SKIPIF1<0，OB，OP，作SKIPIF1<0，垂足为H，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.设三棱锥SKIPIF1<0外接球的半径为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故三棱锥SKIPIF1<0外接球的表面积是SKIPIF1<0.故选：A.2．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为等腰直角三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为正三角形，且二面角SKIPIF1<0的平面角为SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0的外接球表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】如图所示，SKIPIF1<0为直角三角形，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为正三角形，所以SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，E为SKIPIF1<0中点，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为二面角SKIPIF1<0的平面角所以SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0为直角三角形，E为SKIPIF1<0中点，所以点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的外接圆的圆心，设G为SKIPIF1<0的中心，则G为SKIPIF1<0的外接圆圆心．过E作面SKIPIF1<0的垂线，过G作面SKIPIF1<0的垂线，设两垂线交于O．则O即为三棱锥SKIPIF1<0的外接球球心．设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点H，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，故选：C.考点七矩形模型【例7】（2022·湖北襄阳市）若矩形ABCD的面积是4，沿对角线AC将矩形ABCD折成一个大小是60°的二面角B-AC-D，则四面体ABCD的外接球的体积最小值为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】因为球心到四个顶点的距两相等,所以球心在对角线SKIPIF1<0上,且半径为SKIPIF1<0，设矩形的的长力x,宽为y则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，由基本不等式知:SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，等号成立，SKIPIF1<0，故选：B【一隅三反】1．（2022.江西）在矩形SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，沿对角线SKIPIF1<0进行翻折，则三棱锥SKIPIF1<0外接球的表面积为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】因为在翻折过程中，SKIPIF1<0始终不变，所以SKIPIF1<0的中点到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四点的距离始终相等，三棱锥SKIPIF1<0外接球的直径为SKIPIF1<0，所以外接球的表面积为SKIPIF1<0，故选：D2．（2022·天津河）将长、宽分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的长方形SKIPIF1<0沿对角线SKIPIF1<0折成直二面角，得到四面体SKIPIF1<0，则四面体SKIPIF1<0的外接球的表面积为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】取SKIPIF1<0的中点，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，如下图所示：由题意SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，所以，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0为四面体SKIPIF1<0的外接球的球心，且球SKIPIF1<0的半径为SKIPIF1<0，因此，四面体SKIPIF1<0的外接球的表面积为SKIPIF1<0.故选：A.3．（2022·四川）中国古代数学家刘徽所注释的《九章算术》中，称四个面均为直角三角形的四面体为“鳖臑”.如图所示的鳖臑SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且顶点SKIPIF1<0均在球SKIPIF1<0上，则球SKIPIF1<0的表面积为______.【答案】SKIPIF1<0【解析】由题意可知：球SKIPIF1<0为鳖臑SKIPIF1<0的外接球，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同理可知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0点SKIPIF1<0与球SKIPIF1<0的球心SKIPIF1<0重合，球SKIPIF1<0的半径SKIPIF1<0，SKIPIF1<0球SKIPIF1<0的表面积SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.考点八内切球【例8】（2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若三棱锥SKIPIF1<0的内切球SKIPIF1<0的表面积为SKIPIF1<0，则此三棱锥的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】连接SKIPIF1<0，并延长交底面SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，并延长交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三棱锥SKIPIF1<0是正四面体，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中心，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三棱锥SKIPIF1<0的内切球SKIPIF1<0的表面积为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得球SKIPIF1<0的半径SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0此三棱锥的体积为SKIPIF1<0.故选：D.【一隅三反】1．（2022·江西·高三阶段练习（理））在正三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则正三棱锥SKIPIF1<0的内切球的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】设点SKIPIF1<0是点SKIPIF1<0在底面SKIPIF1<0上的射影，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由三棱锥SKIPIF1<0为正三棱锥可得，点SKIPIF1<0为底面SKIPIF1<0的中心，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又三棱锥SKIPIF1<0是正三棱锥，所以三条侧棱两两互相垂直，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以该三棱锥的表面积SKIPIF1<0，设内切球的半径为SKIPIF1<0，又该三棱锥的体积SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以此内切球的表面积为SKIPIF1<0.故选：D.2．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若球SKIPIF1<0在三棱锥SKIPIF1<0的内部且与四个面都相切（称球SKIPIF1<0为三棱锥SKIPIF1<0的内切球），则球SKIPIF1<0的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】解：因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0均为直角三角形，设球SKIPIF1<0的半径为r，则SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以球SKIPIF1<0的表面积为SKIPIF1<0，故选：A.3.（2022黑龙江）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是正方形SKIPIF1<0的中心，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则四棱锥SKIPIF1<0内切球的体积为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由题可知,该几何体的底面是边长为2的正方形，侧棱长都为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.设四棱锥的内切球的半径为SKIPIF1<0，球心为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故四棱锥SKIPIF1<0内切球的体积为SKIPIF1<0.故选：B.7.5外接球（精练）（提升版）题组一题组一汉堡模型1．（2022·全国·高三专题练习）在四棱锥SKIPIF1<0中，已知底面ABCD为矩形，SKIPIF1<0底面ABCD，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则四棱锥SKIPIF1<0的外接球O的表面积是（

）A．80π B．160π C．60π D．40π【答案】D【解析】由题意底面矩形的外接圆半径SKIPIF1<0，则原四棱锥外接球半径SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故选：D2．（2022·全国·高三专题练习）在直三棱柱SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，则该直三棱柱外接球的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由题意可得三棱柱的上下底面为直角三角形，取直角三角形斜边的中点SKIPIF1<0，直三棱柱SKIPIF1<0的外接球的球心O为上下底面的外接圆圆心的连线SKIPIF1<0的中点，连接AO，SKIPIF1<0,设外接球的半径为R，下底面外接圆的半径为r，r=SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，该直三棱柱外接球的表面积为SKIPIF1<0,故选：C3．（2022·全国·高三专题练习）已知正三棱柱SKIPIF1<0所有棱长都为6，则此三棱柱外接球的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】如图，SKIPIF1<0为棱SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0为正△SKIPIF1<0的中心，SKIPIF1<0为外接球的球心根据直棱柱外接球的性质可知SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，外接球半径SKIPIF1<0，∵正△SKIPIF1<0的边长为6，则SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0外接球的表面积SKIPIF1<0故选：C．4．（2022·全国·高三专题练习）据《九章算术》记载，“鳖臑”为四个面都是直角三角形的三棱锥．如图所示，现有一个“鳖臑”，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，三棱锥外接球表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】如图，将三棱锥补形为正方体，则外接球半径SKIPIF1<0.所以三棱锥外接球表面积SKIPIF1<0.故选：B.5．（2022·全国·高三专题练习）已知三棱锥SKIPIF1<0中，底面BCD是边长为SKIPIF1<0的正三角形，SKIPIF1<0底面BCD，且SKIPIF1<0，则该几何体的外接球的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由题意知：底面BCD是正三角形，SKIPIF1<0底面BCD，将三棱锥补成如图所示正三棱柱，取上下底面的外心SKIPIF1<0，易得球心即为SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，易得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设外接球半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故选：C．6．（2023·全国·高三专题练习）已知S，A，B，C是球O表面上的点，SKIPIF1<0平面ABC，AB⊥BC，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则球O的表面积等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】因为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是球SKIPIF1<0表面上的点，所以SKIPIF1<0又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0