第八章-RLC电路与常微分方程的解法-郑大昉

第八章RLC电路与常微分方程的解法

RC电路及一阶常微分方程解法(8-1)如图，当电路放电时有:或：其中:(8-2)称RC回路的时间常数.易得其严格解:(8-3)以上为一阶常微分方程初值问题,如何做数值计算?

RC

电路欧拉方法(8-4)上述方程的一般形式:基本思路:用差分代替其微分,并通过递推法求解.(8-5)(8-4)

改写为:另:(8-6)即:(8-7)(8-5),(8-7)

得:(8-8)(8-9)令:则得递推解:(8-10)本例子中:若给定初始条件:(8-11)即:(8-12)则依(8-10)

可递推出任意时刻的解.常数:步长:(8-13)例如,设:则易递推得:可见,其误差随n

的增加而增加.另一方面,结果精度将随的减少而提高.但的减少将增加机时,且有可能导入舍入误差.欧拉解法的几何意义:(1)实质为折线法(即差分法).(2).间折线斜率:近似为:欧拉解法的误差分析:将在处展成泰勒级数:(8-14)仅取到的线性项,且则:即为欧拉法.欧拉法的局部截断误差为:其整体截断误差为:向后的欧拉方法若折线斜率选在处,即:(8-15)或但其右端隐含待求的,可近似为:(8-16)其中,通过欧拉法预测,即:(8-17)(8-18)此方法称向后的欧拉法.但向后的欧拉法并未给出其误差的改进(?).改进的欧拉方法若折线斜率选其在和处的平均值,即:(8-19)其中:可以证明(略),此方法的局部截断误差数量级为:(8-20)(事实上,欧拉法与向后的欧拉法其误差符号相反,因此相互抵消,从而提高其结果精度).以上方法称改进的欧拉法,也称两点欧拉法,或中点欧拉法,或梯形法.如何实现其数值计算?提醒:(8-20)

中的是改进后的值.龙格-库塔(R-K)方法若选多点处的斜率并加权平均,则称龙格-库塔方法.(8-21)常用的四阶R-K递推算法如下:其中(推导从略):(8-22)(8-23)(8-24)(8-25)此方法其局部截断误差精度可提高至:以上算法的实现是简而易行的(如何实现?).

RLC电路及二阶常微分方程解法如图,开关合上的瞬间：(8-26)即：(8-29)

RLC

电路(8-27)又：(8-28)得：(8-29)即为二阶常微分方程,它由两个一阶的方程(8-27)和(8-28)构成.注意:(8-29)

的解对其参数的依赖十分敏感.即解的形式依赖于阻尼度：(8-30)若：其解如图示:称过阻尼;若：称临界阻尼;若：称阻尼振荡;因此对其数值计算的要求也更高.欧拉方法(8-31)上述方程的一般形式:对上述RLC充电电路:(8-32)(8-33)其欧拉算法?(8-34)事实上,其差分思想仍可直接应用,即因此,给定,便可递推算出任意时刻的.(8-35)(8-36)其中:(8-37)类似地,向后的欧拉方法为:

,由欧拉法预测出.(8-38)(8-39)其中:向后的欧拉方法(8-40)进一步地,改进的欧拉方法为:(8-41)(8-42)其中:改进的欧拉方法以及:(8-43)(8-44)(8-45)此时,四阶R-K方法为:(8-46)其中:龙格-库塔(R-K)方法(8-47)以及:(8-48)(8-49)(8-50)(8-51)(8-52)(8-53)注意:RLC电路中,(8-54)(8-55)本章(第8