2024-2025学年高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.3 直线与平面垂直的性质教案 新人教A版必修2

2024-2025学年高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3.3直线与平面垂直的性质教案新人教A版必修2主备人备课成员教学内容分析本节课的主要教学内容是直线与平面垂直的性质。教学内容包括：

1.直线与平面垂直的定义及其性质。

2.直线与平面垂直的判定定理及其证明。

3.直线与平面垂直的应用实例。

教学内容与学生已有知识的联系：

1.学生已学过直线与直线、直线与平面的基本位置关系，为本节课的学习提供了基础。

2.学生已掌握平面几何中的垂线概念，有助于理解直线与平面垂直的性质。

3.学生已学习过平面几何中的定理证明，能够运用到直线与平面垂直的判定定理的证明过程中。

本节课的教学内容与课本“2024-2025学年高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3.3直线与平面垂直的性质”章节紧密相关，符合教学实际，实用性较强。通过对直线与平面垂直性质的学习，使学生能够更好地理解直线与平面的位置关系，提高解决问题的能力。核心素养目标分析本节课的核心素养目标主要围绕数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象四个方面展开。

1.数学抽象：通过直线与平面垂直的性质的学习，使学生能够从具体实例中抽象出直线与平面垂直的概念和性质，理解其本质特征。

2.逻辑推理：学生能够掌握直线与平面垂直的判定定理，并能够运用逻辑推理的方法证明相关结论，培养学生的逻辑思维能力。

3.数学建模：通过直线与平面垂直的应用实例，学生能够运用所学知识解决实际问题，构建数学模型，提高解决实际问题的能力。

4.直观想象：学生能够利用直观想象的能力，通过观察图形和实例，更好地理解和掌握直线与平面垂直的性质，培养空间想象能力。

本节课的核心素养目标符合新教程的要求，紧密围绕数学学科的核心素养，注重培养学生的抽象思维、逻辑推理能力、建模能力和空间想象能力，使学生在学习过程中能够更好地理解和应用所学知识。教学难点与重点1.教学重点：

（1）直线与平面垂直的定义及其性质。

举例：在三维坐标系中，直线Ax+By+Cz+D=0与平面α：Ax+By+Cz+D=0垂直，当且仅当A^2+B^2+C^2≠0且Ax+By+Cz+D=0中的系数与平面α的系数对应成比例。

（2）直线与平面垂直的判定定理及其证明。

举例：设直线l与平面α垂直，点P∈l，则过P点的直线l'在平面α上的投影与l重合，即l'与l平行。证明：设l'与l不平行，则l'与l相交于点Q。由于l'在平面α上，故Q也在平面α上，与l垂直，产生矛盾。

（3）直线与平面垂直的应用实例。

举例：在正方体ABCD-A'B'C'D'中，求证：直线AA'与平面BCC'B'垂直。证明：由于AA'是棱柱的高，BCC'B'是底面，根据直线与平面垂直的判定定理，可得直线AA'与平面BCC'B'垂直。

2.教学难点：

（1）直线与平面垂直的定义及其性质的理解和应用。

难点分析：学生需要从三维坐标系中抽象出直线与平面垂直的概念，理解其性质，并在实际问题中应用。

（2）直线与平面垂直的判定定理的证明过程。

难点分析：学生需要掌握证明方法，理解证明过程中的逻辑推理，从而能够自行证明相关结论。

（3）直线与平面垂直的应用实例的拓展。

难点分析：学生需要将所学知识应用于实际问题，解决空间几何中的直线与平面垂直问题，培养空间想象能力和解决问题的能力。

针对以上难点，教师应采取有针对性的教学方法，如通过图形演示、实例分析、证明过程的逐步引导等方式，帮助学生突破难点，理解直线与平面垂直的核心知识。学具准备多媒体课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学资源准备1.教材：确保每位学生都有《2024-2025学年高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3.3直线与平面垂直的性质》所需的教材或学习资料，以便学生能够跟随教学进度进行学习和复习。

2.辅助材料：准备与教学内容相关的图片、图表、视频等多媒体资源。例如，可以准备一些三维坐标系中的直线与平面垂直的图形，通过图形演示来帮助学生直观地理解直线与平面垂直的性质。此外，还可以准备一些实例的视频或图片，以便在课堂上进行分析和讨论。

3.实验器材：如果涉及实验，确保实验器材的完整性和安全性。例如，可以准备一些小木棒、直尺、铅垂线等实验器材，让学生通过实际操作来验证直线与平面垂直的性质。在实验过程中，要确保学生的安全，避免发生意外事故。

4.教室布置：根据教学需要，布置教室环境，如分组讨论区、实验操作台等。可以将教室布置成小组合作的形式，设置一些讨论区，以便学生能够在课堂上进行分组讨论和实验操作。同时，确保每个小组都有一台实验操作台，以便学生能够顺利进行实验。

此外，为了增强学生的学习兴趣和参与度，可以利用多媒体技术进行教学，如使用投影仪、电脑等设备，展示一些与教学内容相关的图片、视频等资源，使课堂教学更加生动有趣。同时，教师应提前准备好教学PPT或教案，以便在课堂上进行有序的教学。教学过程设计1.导入新课（5分钟）

目标：引起学生对直线与平面垂直性质的兴趣，激发其探索欲望。

过程：

开场提问：“你们知道直线与平面垂直的性质吗？它在我们的生活中有什么应用？”

展示一些关于直线与平面垂直的图形或实例，让学生初步感受其几何美感或应用价值。

简短介绍直线与平面垂直性质的基本概念和重要性，为接下来的学习打下基础。

2.直线与平面垂直性质讲解（10分钟）

目标：让学生了解直线与平面垂直性质的基本概念、判定方法和应用。

过程：

讲解直线与平面垂直的定义，包括其主要判定条件和性质。

详细介绍直线与平面垂直的判定定理及其证明过程，使用图表或示意图帮助学生理解。

3.直线与平面垂直性质案例分析（20分钟）

目标：通过具体案例，让学生深入了解直线与平面垂直性质的特性和重要性。

过程：

选择几个典型的直线与平面垂直性质的案例进行分析。

详细介绍每个案例的背景、特点和意义，让学生全面了解直线与平面垂直性质的多样性或复杂性。

引导学生思考这些案例对实际生活或学习的影响，以及如何应用直线与平面垂直性质解决实际问题。

4.学生小组讨论（10分钟）

目标：培养学生的合作能力和解决问题的能力。

过程：

将学生分成若干小组，每组选择一个与直线与平面垂直性质相关的主题进行深入讨论。

小组内讨论该主题的现状、挑战以及可能的解决方案。

每组选出一名代表，准备向全班展示讨论成果。

5.课堂展示与点评（15分钟）

目标：锻炼学生的表达能力，同时加深全班对直线与平面垂直性质的认识和理解。

过程：

各组代表依次上台展示讨论成果，包括主题的现状、挑战及解决方案。

其他学生和教师对展示内容进行提问和点评，促进互动交流。

教师总结各组的亮点和不足，并提出进一步的建议和改进方向。

6.课堂小结（5分钟）

目标：回顾本节课的主要内容，强调直线与平面垂直性质的重要性和意义。

过程：

简要回顾本节课的学习内容，包括直线与平面垂直性质的基本概念、判定方法和应用等。

强调直线与平面垂直性质在数学和实际生活中的价值和作用，鼓励学生进一步探索和应用直线与平面垂直性质。

布置课后作业：让学生撰写一篇关于直线与平面垂直性质的短文或报告，以巩固学习效果。教学资源拓展1.拓展资源：

（1）网络资源：可通过教育部门官方网站、数学学科论坛、学术期刊等渠道获取与直线与平面垂直性质相关的论文、教案、学习资料等。

（2）图书资源：推荐学生阅读一些与几何学、空间解析几何相关的书籍，如《几何学导论》、《空间解析几何》等，以加深对直线与平面垂直性质的理解。

（3）数学软件：鼓励学生利用数学软件（如Mathematica、MATLAB等）进行直线与平面垂直性质的模拟实验，以直观地观察和理解相关概念。

2.拓展建议：

（1）开展课后小组研究项目：让学生自由组成小组，选择一个与直线与平面垂直性质相关的课题进行研究，如探究直线与平面垂直的判定方法的推广应用等。

（2）参与数学竞赛：鼓励学生参加各类数学竞赛，如全国高中生数学竞赛、美国数学竞赛等，以提高自己的数学水平和解题能力。

（3）举办几何学讲座：邀请数学专家或老师为学生举办几何学讲座，分享几何学领域的研究成果和趣事，激发学生对几何学的兴趣。

（4）组织实地考察：安排学生参观博物馆、科技馆等场所，观察和研究直线与平面垂直性质在现实生活中的应用，提高学生的实践能力。

（5）开展数学建模活动：组织学生参加数学建模活动，如全国大学生数学建模竞赛等，让学生将所学知识应用于解决实际问题，提高解决问题的能力。课堂小结，当堂检测课堂小结：

本节课我们学习了直线与平面垂直的性质，包括其定义、判定定理及其应用。通过具体的案例分析，我们深入理解了直线与平面垂直性质的特性和重要性。在课堂活动中，同学们积极参与讨论，通过小组合作探究，进一步巩固了对直线与平面垂直性质的理解。

直线与平面垂直性质在数学和实际生活中有着广泛的应用，例如在建筑设计、工程测量等领域。通过本节课的学习，我们希望同学们能够将所学知识运用到实际问题中，提高解决问题的能力。

当堂检测：

1.判断题（每题2分，共10分）

（1）直线与平面垂直的定义是：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，则该直线与平面垂直。

（2）直线与平面垂直的判定定理是：如果直线与平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与平面垂直。

（3）直线与平面垂直的性质是：如果直线与平面垂直，则直线上的任意一点到平面的距离都相等。

（4）直线与平面垂直的应用实例包括建筑设计中的柱子与地面的关系等。

2.选择题（每题4分，共20分）

（1）在三维坐标系中，直线Ax+By+Cz+D=0与平面α：Ax+By+Cz+D=0垂直的条件是（）。

A.A^2+B^2+C^2=0

B.A^2+B^2+C^2≠0

C.D=0

D.A、B、C、D都不确定

（2）已知直线l与平面α垂直，点P∈l，则过P点的直线l'在平面α上的投影与l（）。

A.平行

B.相交

C.重合

D.无法确定

3.简答题（每题6分，共12分）

（1）请简述直线与平面垂直的判定定理及其证明过程。

（2）请举例说明直线与平面垂直性质在实际问题中的应用。

4.综合题（12分）

某建筑物的一面墙角处有一直角三角形，直角边长分别为3m和4m。请运用直线与平面垂直性质，说明该墙角处的直线与地面垂直。

答案与解析：

1.判断题答案：

（1）正确

（2）正确

（3）正确

（4）正确

2.选择题答案：

（1）B

（2）C

3.简答题答案：

（1）直线与平面垂直的判定定理是：如果直线与平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与平面垂直。证明过程略。

（2）直线与平面垂直性质在实际问题中的应用示例：在建筑设计中，通过测量直线（如墙壁、柱子等）与地面或天花板之间的垂直关系，确保建筑物的结构和外观的垂直度。

4.综合题答案与解析：

答案：该墙角处的直线与地面垂直。

解析：根据直线与平面垂直性质，如果直线与平面垂直，则直线上的任意一点到平面的距离都相等。在本题中，假设墙角处的直线与地面垂直，则直角三角形的两个直角边分别与地面垂直。由于直角边长分别为3m和4m，根据勾股定理，斜边长为5m。斜边即为墙角处的直线，其与地面的距离为5m，满足直线与平面垂直的性质。因此，该墙角处的直线与地面垂直。课后拓展1.拓展内容：

（1）推荐阅读材料：

-《几何学导论》

-《空间解析几何》

-《数学建模与应用》

-《高等数学》

（2）视频资源：

-几何学相关公开课视频

-数学建模竞赛视频

-数学软件应用教程

2.拓展要求：

（1）自主学习：鼓励学生利用课后时间自主学习，