第一章 三角形的证明 单元测试（能力提升）（备作业）-八年级数学下册同步备课系列(北师大版)（解析版）

第一章三角形的证明单元测试（能力提升）一、单选题1．等腰直角三角形的直角边长为，则斜边长为()A． B．2 C． D．8【答案】C【分析】根据等腰直角三角形的性质以及勾股定理求出即可．【解析】解：一个等腰直角三角形的直角边长为，该直角三角形的斜边长是：．故选：C．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理，熟练应用等腰直角三角形的性质是解题关键．2．在等腰△ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为（）A．7 B．7或11 C．11 D．7或10【答案】B【分析】题中给出了周长关系，要求底边长，首先应先想到等腰三角形的两腰相等，寻找问题中的等量关系，列方程求解，然后结合三角形三边关系验证答案．【解析】解：设这个等腰三角形的腰长为a，底边长为b．∵D为AC的中点，∴AD＝DC＝AC＝a．根据题意得或解得或又∵三边长为10，10，7和8，8，11均可以构成三角形．∴这个等腰三角形的底边长为7或11．【点睛】本题考查等腰三角形的性质及相关计算．学生在解决本题时，有的同学会审题错误，以为15，12中包含着中线的长，从而无法解决问题，有的同学会忽略掉等腰三角形的分情况讨论而漏掉其中一种情况．注意：求出的结果要看看是否符合三角形的三边关系定理．3．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E．△ABC的周长为19，△ACE的周长为13，则AB的长为（）A．3 B．6 C．12 D．16【答案】B【分析】根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式即可得到结论．【解析】∵AB的垂直平分线交AB于点D，∴AE＝BE，∵△ACE的周长＝AC+AE+CE＝AC+BE+CE=AC+BC＝13，△ABC的周长＝AC+BC+AB＝19，∴AB＝△ABC的周长﹣△ACE的周长＝19﹣13＝6，故选：B．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形周长等知识，解答本题的关键是熟练掌握运用垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．4．已知下列说法，其中结论正确的个数是（）①等腰三角形一边上的高就是这条边上的中线；②等腰三角形的对称轴就是底边上的中线；③若一条直线上的一点P到线段两端的距离相等，则这条直线是这条线段的垂直平分线；④若两个直角三角形的一条直角边和斜边分别对应相等，则这两个直角三角形全等．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】分别根据等腰三角形三线合一的性质、等腰三角形的对称性、线段垂直平分线的性质、直角三角形全等的判定定理分别对各项进行判断即可．【解析】解：①等腰三角形底边上的高就是这条边上的中线，故原说法错误；②等腰三角形的对称轴就是底边上的中线所在的直线，故原说法错误；③若一条直线上的一点P到线段两端的距离相等，只能说明这个点在这条线段的垂直平分线上，此说法错误；④若两个直角三角形的一条直角边和斜边分别对应相等，则这两个直角三角形全等，正确．故选：A．【点睛】本题考查轴对称的性质、轴对称图形、全等三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题．5．如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，若∠BAC＝100°，则∠EAG的度数是（）A．10° B．20° C．30° D．40°【答案】B【分析】根据三角形内角和定理求出∠C＋∠B，根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠B，同理，∠GAC＝∠C，计算即可．【解析】解：∵∠BAC＝100°，

∴∠C＋∠B＝180°−100°＝80°，

∵DE是AB的垂直平分线，

∴EA＝EB，

∴∠EAB＝∠B，

同理∠GAC＝∠C，

∴∠EAB＋∠GAC＝∠C＋∠B＝80°，

∴∠EAG＝100°−80°＝20°，

故选：B．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．6．如图，在等边三角形中，边上的高，是高上的一个动点，是边的中点，在点运动的过程中，存在的最小值，则这个最小值是（）

A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】先连接CF，再根据EB=EC，将FE+EB转化为FE+CE，最后根据两点之间线段最短，根据等边三角形的各边上的高相等，求得CF的长，即为FE+EB的最小值．【解析】连接CF，

∵等边△ABC中，AD是BC边上的中线∴AD是BC边上的高线，即AD垂直平分BC∴EB=EC，当B.F.E三点共线时，EF+EC=EF+BE=CF，∵等边△ABC中，F是AB边的中点，是等边三角形边上的高，和中∴AD=CF=8，∴EF+BE的最小值为8，故选D【点睛】此题考查等边三角形的性质、轴对称-最短路线问题，解题关键在于作辅助线.7．如图，点是的角平分线上一点，于点，点是线段上一点．已知，，点为上一点．若满足，则的长度为A．3 B．4 C．5 D．3或5【答案】D【解析】【分析】分两种情况，画出示意图，分别求解即可.【解析】过点作根据角平分线的性质可得：易得①如图所示：在和中，≌，②如图所示：同理可得：【点睛】考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，注意分类讨论，不要漏解.8．如图，在三角形ABC中，，，于点R，于点S，则下列结论：①；②；③．其中结论正确的是（）．A．①②③ B．①② C．① D．①③【答案】B【分析】易证Rt△APR≌Rt△APS，可得AS=AR，∠BAP=∠1，再根据AQ=PQ，可得∠1=∠2，即可求得QP∥AB，即可解题．【解析】解：如图，在Rt△APR和Rt△APS中，，∴Rt△APR≌Rt△APS（HL），∴AR=AS，①正确；∠BAP=∠1，∵AQ=PQ，∴∠1=∠2，∴∠BAP=∠2，∴QP∥AB，②正确，∵△BRP和△QSP中，只有PR=PS，再没有其余条件可以证明△BRP≌△QSP，故③错误．故选：B．【点睛】本题涉及到全等三角形的判定和角平分线的判定，需要结合已知条件，求出全等三角形或角平分线，从而判定三个选项的正确与否．9．如图，在纸片中，，折叠纸片，使点落在的中点处，折痕为，则的面积为（）A． B．10 C．11 D．【答案】A【分析】过点D作AB的垂线，垂足为G，过D作CF的垂线，垂足为H，过A作BC的垂线，垂足为N，分别求出△DEA和△DFC的面积，利用S△DEF＝×（S△ABC－S△DEA－S△DFC）可得结果．【解析】解：过点D作AB的垂线，垂足为G，∵∠BAC＝120°，∴∠GAC＝60°，∠GDA＝30°，∴AG＝，DG＝，设AE＝x，则BE＝12－x＝DE，在Rt△DGE中，，即，解得：x＝，∴S△ADE＝DG×AE＝＝，过D作CF的垂线，垂足为H，过A作BC的垂线，垂足为N，∵，∴AN＝AB＝6，BN＝，∴BC＝，设DF＝y，则CF＝，DH＝，CH＝，则有，即，解得：，则S△DFC＝，∴S△DEF＝×（S△ABC－S△DEA－S△DFC）＝＝＝故选A．【点睛】此题主要考查了翻折变换以及勾股定理、等腰三角形的性质等知识，正确得出AE、BF的长是解题关键．10．如图，在等腰中，，点P是内一点，且，，，以为直角边，点C为直角顶点，作等腰，下列结论：①点A与点D的距离为；②；③；④，其中正确结论有是（）

A．①②③ B．②④ C．①② D．②③④【答案】C【分析】连结AD，由等腰，可得AC=BC，等腰，可得CD=CP，由余角性质可∠DCA=∠PCB，可证△ADC≌△BPC（SAS）可判断①，由勾股定理DP=，再由，可证△ADP为等腰直角三角形，可判断②，由PB与PD可求BD=2，由勾股定理AB=，可判断③，由面积可判断④即可【解析】连结AD，在等腰中，，∴AC=BC，∵是等腰三角形，∴CD=CP，∴∠ACD+ACP=90°，∠ACP+∠PCB=90°，∴∠DCA=∠PCB，在△ADC和△BPC中，AC=BC，∠DCA=∠PCB，DC=PC，∴△ADC≌△BPC（SAS），∴，①点A与点D的距离为正确，在Rt△DCP中，由勾股定理DP=，在△ADP中，，∴△ADP为等腰直角三角形，∴AD⊥DP，②正确；BD=BP+PD=2，在Rt△ADB中，由勾股定理，AB=，③不正确；，④不正确．故选择：C．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质与判定，三角形全等的判定与性质，三角形面积，勾股定理的应用，掌握等腰直角三角形的性质与判定，三角形全等的判定与性质，三角形面积，勾股定理的应用是解题关键．二、填空题11．如图，，，，则_________．【答案】50°【分析】只需要证明Rt△ABC≌Rt△ADC得到∠1=∠CAD=40°，则∠2=90°-∠CAD=50°．【解析】解：∵∠B=∠D=90°，∴△ABC和△ADC均为直角三角形，在Rt△ABC和Rt△ADC中，，∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），∴∠1=∠CAD=40°，∴∠2=90°-∠CAD=50°．故答案为：50°．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，直角三角形两锐角互余，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．12．已知命题“等腰三角形两腰上的高线相等”，它的逆命题是________，该逆命题是________命题．（填“真”或“假”）【答案】如果一个三角形两条边上的高线相等，那么这个三角形是等腰三角形真【分析】由题意根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，根据等腰三角形的判定定理判断即可．【解析】解：命题“等腰三角形两腰上的高线相等”的逆命题是“如果一个三角形两条边上的高线相等，那么这个三角形是等腰三角形”，是真命题.故答案为：如果一个三角形两条边上的高线相等，那么这个三角形是等腰三角形；真．【点睛】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．13．等腰三角形有一内角的度数为50°，一腰的垂直平分线与另一腰所在直线相交所成的锐角的度数为___．【答案】或【分析】设此三角形为，一腰的垂直平分线与该腰的交点为D，与另一腰所在直线的交点为E．分类讨论①当角为顶角时；②当角为底角时，作出图形结合三角形内角和定理、线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可求解．【解析】设此三角形为，一腰的垂直平分线与该腰的交点为D，与另一腰所在直线的交点为E．分类讨论：①如图，当角为顶角时，即，∵ED为AC的垂直平分线，∴，即，∴．

②如图，当角为底角时，即，∴．∵ED为AC的垂直平分线，∴，即，∴．

综上可知，一腰的垂直平分线与另一腰所在直线相交所成的锐角的度数为或．故答案为：或．【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理．利用分类讨论的思想，并作出图形是解答本题的关键．14．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝3cm，则BF＝____________cm．

【答案】6【分析】先利用证明，得出，又，将代入即可求出．【解析】解：在与中，，，，，，，，．故答案为：6．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，解题的关键是利用面积公式得出等式．15．如图所示，已知△ABC的周长是22，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，则△ABC的面积是______．

【答案】33【分析】作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，根据角平分线的性质得到OE=OF=OD=3，根据三角形的面积公式计算即可．【解析】解：作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，∴OE=OF=OD=3，∴△ABC的面积=，故答案为：．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．16．如图，过边长为10的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为____．【答案】5【分析】过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP=PF=QC，根据等腰三角形性质求出EF=AE，证△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DE=AC即可．【解析】过P作PF∥BC交AC于F．

∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，

∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形，

∴AP=PF=AF，

∵PE⊥AC，

∴AE=EF，

∵AP=PF，AP=CQ，

∴PF=CQ．

∵在△PFD和△QCD中，，

∴△PFD≌△QCD（AAS），

∴FD=CD，

∵AE=EF，

∴EF+FD=AE+CD，

∴AE+CD=DE=AC，

∵AC=10，

∴DE=5．

故答案为：5．【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中．17．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AC为边，作△ACD，满足AD=AC，点E为BC上一点，连接AE，2∠BAE=∠CAD，连接DE．若BE=a，CE=b，则DE=____（用含a、b的代数式表示）．【答案】2a+b【分析】延长EB至G，使BE=BG，从而得到∠GAE=∠CAD，进一步证明∠GAC=∠EAD，且AE=AG，接着证明△GAC≌△EAD，则DE=CG，即可求解．【解析】解：如图，延长EB至G，使BE=BG，∵∠ABC=90°，∴AB⊥GE，∴AB垂直平分GE，∴AG=AE，∠GAB=∠BAE=∠DAC，∵2∠BAE=∠GAE，∴∠GAE=∠CAD，∴∠GAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC，∴∠GAC=∠EAD，在△GAC与△EAD中，，∴△GAC≌△EAD（SAS），∴DE=CG，∵BE=a，CE=b，∴DE=CG=CE+GE=CE+2BE=2a+b，故答案为：2a+b．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定和性质，通过二倍角这一条件，构造两倍的∠BAE，是本题的突破口，也是常用方法．18．已知：△ABC，DE垂直平分BC边，∠BAC外角平分线与DE交于E，过E作EF垂直直线AB于F．若AF＝2，AB＝3，那么AC长是___．【答案】7【分析】过E作EN⊥AC于N，并连接EB、EC，先证明△FAE≌△NAE得到EF＝EN，AF＝AN，再证明Rt△EFB≌Rt△ENC，得到FB＝NC，即可求解.【解析】解：过E作EN⊥AC于N，并连接EB、EC．∵EA平分∠FAC，∴∠EAF＝∠EAN，∵EF⊥AB，EN⊥AC，∴∠EFA＝∠ENA＝90°，在△FAE和△NAE中，，∴△FAE≌△NAE（AAS），∴EF＝EN，AF＝AN，∵DE垂直平分BC，∴EB＝EC，在Rt△EFB和Rt△ENC中，，∴Rt△EFB≌Rt△ENC（HL），∴FB＝NC，∴AC＝AN+NC＝AF+BF＝2AF+AB＝4+3＝7，故答案为：7．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.三、解答题19．如图：已知BAC=30°，AT平分BAC，TE∥AC．（1）求证：是等腰三角形；（2）若，垂足为点D，AE=4cm，求TD的长．【答案】（1）见解析；（2）2cm【分析】（1）根据角平分线可得∠EAT=∠TAD,利用平行可得∠TAD=∠ETA,再利用等量代换即可得到∠EAT=∠ETA,进而证得是等腰三角形．（2）AT平分BAC,依据角平分线定理可得DT=TF在RT△TFE中,ET=4cm,∠FET=30°,则TF=2cm,则TD=2cm．【解析】解：（1）∵AT平分BAC．∴∠EAT=∠TAD．∵TE∥AC．∴∠TAD=∠ETA．∴∠EAT=∠ETA．∴是等腰三角形．（2）过点T作TFAB，垂足点F,∵AT平分BAC，TFAB，．∴据角平分线定理可得DT=TF．∵在RT△TFE中，ET=4cm，∠FET=30°，则TF=2cm,∴TD=2cm．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定,如何利用角平分线性质作出辅助线是解决此问题的关键．20．如图，已知，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD、CE．

（1）说明的理由；（2）延长BD，交CE于点F，求∠BFC的度数．【答案】（1）见解析；（2）60°．【分析】（1）证明△ABD≌△ACE即可得到结论；（2）由△ABD≌△ACE得到∠ABD=∠ACE，根据∠ABC=∠ACB=60°推出∠FBC+∠ACB+∠ACF=∠ABC+∠ACB=120°，再根据三角形内角和定理求出∠BFC的度数.【解析】（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°,∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,∴∠BAD=∠CAE,∴△ABD≌△ACE,∴BD=CE；（2）∵△ABD≌△ACE,∴∠ABD=∠ACE，∵∠ABC=∠ACB=60°,∴∠FBC+∠ACB+∠ACF=∠ABC+∠ACB=120°,∴∠BFC=180°-(∠ABC+∠ACB)=60°.

【点睛】此题考查三角形全等的判定及性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理，熟记三角形全等的判定定理，根据题意准确证明△ABD≌△ACE是解题的关键.21．如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高．（1）求证：AD垂直平分EF；（2）若AB+AC＝10，S△ABC＝15，求DE的长．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）由角平分线的性质得DE＝DF，再根据HL证明Rt△AED≌Rt△AFD，得AE＝AF，从而证明结论；（2）根据DE＝DF，得，代入计算即可．【解析】（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，∴DE＝DF，在Rt△AED与Rt△AFD中，，∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），∴AE＝AF，∵DE＝DF，∴AD垂直平分EF；（2）解：∵DE＝DF，∴，∵AB+AC＝10，∴DE＝3．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握这些知识点．22．如图，在中，是上一点，且，过作，分别交于点、交于点．（1）求证：是直角三角形；（2）求证：；（3）如果：，请猜想和的数量关系，并证明你的猜想．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3），理由见解析【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可推出，从而得证；（2）证得∠EBC=∠ACD，∠A=∠ACD，则结论可得出；

（3）过点D作DG⊥AC于点G，根据ASA证明△DCG≌△EBC，可得出结论．【解析】（1）∵∴，∵∴即是直角三角形（2）∵，∴∵∴∴∵∴∴（3）过作于∵，∴∵∴∵，∴在和中，∴∴【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，关键是掌握全等三角形的判定定理．23．如图，△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD＝45°，AD与BE交于点F，连接CF．（1）求证：BF＝AC；（2）若CD＝3，求AD的长．【答案】（1）见解析（2）的长为．【分析】（1）利用所给条件，证明，即可证明结论．（2）利用题（1）的全等条件以及勾股定理，先求解长，然后利用垂直平分线的性质，证明，最后求出长即可．【解析】（1）解：BE⊥AC，AD⊥BC，，，，是等腰直角三角形，，与是对顶角，，在中，，在中，，，∵在△BDF和△ADC中，，．（2）解：由（1）可知：，，在中由勾股定理可得：，．，故是的垂直平分线，是上一点，，．【点睛】本题主要是考查了勾股定理、三角形的全等、垂直平分线的性质，注意挖掘题目中的条件，寻找三角形全等的元素，熟练运用勾股定理求解边长，这是解决本题的关键．24．如图，ED⊥AB，FC⊥AB，垂足分别为D，C，并且AC=BD，AE=BF，连接CE．（1）求证：AE∥FB；（2）若DC=DE，∠A=25°，求∠AEC的度数．（3）若DC=DE，∠A=α，则∠AEC=_________（用含α的式子表示）．（4）若∠A=30°，DE=m，则BF=_________（用含m的式子表示）．【答案】（1）见解析；（2）∠AEC=20°；（3）45°-α；（4）2m．【分析】（1）根据垂直的定义得到∠ADE=∠BCF=90°，证明，根据全等三角形的性质即可得到∠A=∠B，根据平行线的判定即可得到结论；（2）由等腰直角三角形的性质得出∠DCE=∠CED=45°，由三角形外角的性质得出答案（3）根据题意可得是等腰直角三角形，可得，再根据三角形的外角性质可得结论；（4）根据直角三角形的性质得到AE=2m，再由BF=AE可得结论．【解析】解：（1）∵AC=BD，∴AC+CD=BD+CD，即AD=BC．在Rt△ADE和Rt△BCF中，∴Rt△ADE≌Rt△BCF（HL）．∴∠A=∠B．∴AE∥FB．（2）∵ED⊥AB，∴∠ADE=90°.∵∠A=25°，∴∠AED=65°.∵DC=DE，∴∠CED=45°.∴∠AEC=∠AED—∠CED=65°—45°=20°.（3）∵∴是等腰直角三角形，∴∵∴故答案为：45°—α.（4）∵ED⊥AB，∴是直角三角形∵∠A=30°，DE=m，∴由（1）得Rt△ADE≌Rt△BCF∴故答案为：2m.【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质，解此题的关键是推出△AED≌△BFC，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等．25．如图1，在△ABC中，∠ABC的平分线与边AC的垂直平分线相交于点D，过点D作DF⊥BC于点F，DG⊥BA交BA的延长线于点G．（1）求证：AG=CF；（2）如图2，点M，N分别是线段AB，射线BD上的动点，若BC=5，S△ABC=5，求MN+AN的最小值．

【答案】（1）见解析；（2）2【分析】（1）如图，连接AD，DC，利用角平分线的性质证明DG=DF，证明Rt△DGA≌Rt△DFC(HL)，即可得到结论；（2）如图，作点M关于BD的对称点，连接，过点A作AP⊥BC于点P，可得当点A，N，P在同一条直线上且AP⊥BC时，MN+AN的值最小，最小值即为AP的长，再利用面积法求解即可.【解析】证明：（1）如图，连接AD，DC，

∵BD平分∠ABC，DG⊥BA，DF⊥BC，∴DG=DF．又∵点D在边AC的垂直平分线上，∴DA=DC．在Rt△DGA和Rt△DFC中，，∴Rt△DGA≌Rt△DFC(HL)．∴AG=CF．（2）∵BD平分∠ABC，点M在线段AB上，∴点M关于BD的对称点在边BC上．如图，作点M关于BD的对称点，连接，过点A作AP⊥BC于点P，

∴．∴MN+AN=+AN≥AP．∴当点A，N，P在同一条直线上且AP⊥BC时，MN+AN的值最小，最小值即为AP的长．∵S△ABC=5，∴．∵BC=5，∴AP=2．∴MN+AN的最小值为2．【点睛】本题考查的是直角三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，垂线段最短，利用轴对称的性质求解线段和的最小值，熟练的运用轴对称的性质，垂线段最短求解线段和的最小值是解本题的关键.26．如图，在等边△ABC中，AB＝AC＝BC＝6cm，现有两点M、N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次回到点B时，点M、N同时停止运动，设运动时间为ts．（1）当t为何值时，M、N两点重合；（2）当点M、N分别在AC、BA边上运动，△AMN的形状会不断发生变化．①当t为何值时，△AMN是等边三角形；②当t为何值时，△AMN是直角三角形；（3）若点M、N都在BC边上运动，当存在以MN为底边的等腰△AMN时，求t的值．【答案】（1）当M、N运动6秒时，点N追上点M；（2）①，△AMN是等边三角形；②当或时，△AMN是直角三角形；（3）【解析】（1）首先设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，表示出M，N的运动路程，N的运动路程比M的运动路程多6cm，列出方程求解即可；（2）①根据题意设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，然后表示出AM，AN的长，由于∠A等于60°，所以只要AM＝AN三角形ANM就是等边三角形；②分别就∠AMN＝90°和∠ANM＝90°列方程求解可得；（3）首先假设△AMN是等腰三角形，可证出△ACM≌△ABN，可得CM＝BN，设出运动时间，表示出CM，NB，NM的长，列出方程，可解出未知数的值．【解答】解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，x×1+6＝2x，解得：x＝6，即当M、N运动6秒时，点N追上点M；（2）①设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图1，AM＝t，AN＝6﹣2t，∵AB＝AC＝BC＝6cm，∴∠A＝60°，当AM＝AN时，△AMN是等边三角形，∴t＝6﹣2t，解得t＝2，∴点M、N运动2秒后，可得到等边三角形△AMN．②当点N在AB上运动时，如图2，若∠AMN＝90°，∵BN＝2t，AM＝t，∴AN＝6﹣2t，∵∠A＝60°，∴2AM＝AN，即2t＝6﹣2t，解得；如图3，若∠ANM＝90°，由2AN＝AM得2（6﹣2t）＝t，解得．综上所述，当t为或时，△AMN是直角三角形；（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，由（1）知6秒时M、N两点重合，恰好在C处，如图4，假设△AMN是等腰三角形，∴AN＝AM，∴∠AMN＝∠ANM，∴∠AMC＝∠ANB，∵AB＝BC＝AC，∴△ACB是等边三角形，∴∠C＝∠B，在△ACM和△ABN中，∵∠AMC＝∠ANB，∠C＝∠B，AC＝AB，∴△ACM≌△ABN（AAS），∴CM＝BN，∴t﹣6＝18﹣2t，解得t＝8，符合题意．所以假设成立，当M、N运动8秒时，能得到以MN为底的等腰三角形．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，将动点问题转化为线段的长是解题的关键．27．等