用空间向量解决距离、夹角的应用（第 3课时）（分层作业） （夯实基础+能力提升）

L4.2用空间向量解决距离、夹角的应用（第3课时）

（分层作业）（夯实基础+能力提升）

【夯实基础】

一、单选题

1.（2022・湖北•高二阶段练习）空间直角坐标系。-孙z中，经过点「（见,%"。），且法向量为加=（A,3,C）的

＞

平面方程为4（万-毛）+5（了-%）+（:卜-20）=（）,经过点/（不,％,2（1）且一个方向向量为〃=3%0）（〃13*0）

的直线/的方程为七员;匕为二三亘，根据上面的材料解决下面的问题：现给出平面。的方程为

Nv0）

x-y+V2z-7=0,经过点（0,0,0）的直线/的方程为5云，则直线/与平面a所成角为（）

A.60°B.120°C.30°D.150°

【答案】C

【分析】利用空间向量法求解线面角即可.

【详解】由题知：平面a的法向量m=（l，T夜），直线/的方向向量'=（-3,5,夜）,

|-3-5+2[2

所以sina=

J1+1+2-J9+25+22

因为ae[0,90],所以&=30.

故选：C

2.（2022・安徽•高二期末）直角梯形力8a＞中，AB〃/503=4,。。=2,4£）=2忘,3。_148,£是边48的

中点，将三角形ADE沿OE折叠到AQE位置，使得二面角A-OE-B的大小为120，则异面直线A。与CE

所成角的余弦值为（）

A.-B.巫C.也D.-

4444

【答案】D

【分析】建立空间直角坐标系求解即可

【详解】建如图所示空间直角坐标系，得A（石，T，o）,D（0,0,2）,E（0,0,0）,C（0,2,2）,所以

AD=（-^l）2）,EC=（O,2,2）,所以8sM，EC=^p^=:

二、多选题

3.（2021•浙江・金华市曙光学校高二阶段练习）在长方体ABCD-A'5'C'£>'中，AB=AD=1,AAf=2（/1>1）,

则异面直线A'8与8'C所成角的大小可能为（）

兀0K八几~乃

A.-B.-C.-D.一

6432

【答案】AB

【分析】根据空间向量夹角公式、长方体的性质，结合空间向量加法的几何意义、余弦函数的单调性、异

面直线的性质进行求解即可.

【详解】因为AB=AO=1,AA'=Aa>\）,所以由勾股定理可知：=

A'BB'C=(A'A+AB)(B'B+BC)=A'AB'B+A'ABC+ABB'B+ABBC=A2+0+0+0=A2,ISC^K^

jr

A'B与B'C所成角为伏ee(0,1]),

“心因把1

cos8=7————T==——=1——z——,

n2-+I22+1

因为2>1，

所以万>1=万+1>2=0(±6=0卜焉>;=1>1-七>；,

']TTTT

即5<cos0<l,因为0e(0,卞，所以0<。<玄，因此选项AB符合，

故选：AB

4.(2022・湖北•石首市第一中学高二阶段练习)如图，在直三棱柱48C-AqG中，AC=CB=2,4A=3,

A.点G到平面AMC的距离为1

B.点G到平面AMC的距离为淬

C.直线4G与平面ABC所成角的正弦值为华

D.直线4G与平面A8c所成角的正弦值为返

22

【答案】BD

【分析】建立空间直角坐标系，结合点面距离、线面角等知识确定正确选项.

【详解】以G为原点，GA，c国,C。的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直

角坐标系G-孙z.

则A(2,0,0),耳(0,2,0),C(0,0,3),所以4A=(—2,2,0),AC=(—2,0,3),

n-AB.=-2x4-2y=0./=小八\

设平面AB。的法向量为，则｛忌=.2x+3z=0'令1'得"=(3,3,2).

|AC-»|1(-2,0,0)-(3,3,2)13722

因为AG=(-2,0,0),所以点G到平面A£C的距离:|n|后11

|的「"|_63电

直线4G与平面A4C所成角的正弦值为

|AGH〃「2X后22

故选：BD

三、填空题

5.（2022•四川・成都七中高二期中（理））如图，在正方体中，直线AB和平面所

成角的正弦值是

【分析】建立空间宜角坐标系，利用向量法来求得直线和平面所成角的正弦值.

【详解】设正方体的边长为1,建立如图所示空间直角坐标系,

则A。0,i)C(o,Li),5。,1,0),

A3=(o,l,-1),设平面AQG的法向量为〃=(x,y,z),

n-DA.=x+z=0,,,、

则["G=y+z=。’故可设"=(一1"

设直线AB和平面AQG所成角为。,

22/6

贝ijsin0=

x/2xx/3-3

6.（2022♦重庆长寿•高二期末）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多

年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖膈.如下图，四面体P-ABC为鳖席，山，平面48C,

ABVBC,且P1=AB=3C=1,则二面角A-PC-8的余弦值为

【答案】y

【分析】建立空间直角坐标系，分别计算平面APC与平面PBC的法向量，然后利用公式计算即可.

［详解】依据题意建立如图所示的空间直角坐标系：

A(0,0,0),8(1,0,0),P(0,0,l),C(l,l,0),

所以AC=(l,l,0),AP=(0,0,l),BC=(0,1,0),PB=(l,0,-l).

设平面APC的法向量为马=（为,％,21）

/?1-AC=0jZ1=0

百+y=0

n}-AP-0

不妨设Ji=1.则西=T,=(-1,1,0)

设平面PBC的法向量为%=（z,必，Z2）

n2BC=0%=。

n2PB=0x2-z2=0

不妨设多=1，则Z?=l,必=°，«2=0,0,1）

11

设4一尸。一3为a,则cosa=|c°s8㈤卜箫一万友一,

故答案为：y

7.（2022.全国•高二课时练习）在如图所示的正方体AB8-ABCQ中，E是CQ的中点，则异面直线OE

与AC所成角的余弦值为

10

【分析】以。为原点，D4为X轴，OC为y轴，。。为Z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异

面直线DE与AC所成角的余弦值.

【详解】解：以。为原点，D4为x轴，OC为V轴，为z轴，建立空间直角坐标系,

设正方体ABC。-ABC。中棱长为2,

则£＞（0,0,0）,E（0,l,2）,A（2,0,0）,C（0,2,0）,

DE=（0,1,2）,AC=（-2,2,0）,

设异面直线DE4AC所成角为0,

川coaI-2=2=巫

'|£（EHAC|百.•10,

••・异面直线DE与AC所成角的余弦值为叵.

10

故答案为：叵.

10

8.（2022.江苏淮安•高二期中）空间直角坐标系。-孙z中，经过点P（』,％,z。）且法向量为机=（A,8,C）的平

面方程为A（x-x0）+3（y-%）+C（z-z（））=0,经过点P*。,为为）且一个方向向量为n=（〃,也①①丰0）的直

线/的方程为^1二匕比二三生，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面a的方程为

Nvco

x_y+夜Z-7=O,经过（o,（）,0）的直线/的方程为。=4=±,则直线/与平面a所成角大小为.

【答案】

【分析】依题意可得平面a法向量为机=（1,-1,夜），直线方向向量〃=（3,-5,-&）,

根据空间向量法求出线面角的大小；

【详解】解：由平面a的方程为x-y+&z-7=0得平面a法向量为m=

经过（0,0,0）直线/的方程为=$得直线方向向量〃=（3,-5,-拒），

设直线/与平面a所成角是，,

...z/7,n1x3+（—1）x（—5）+V2x（—\/2）1

贝ijcos<mn>=-----=-----/~/~,

9Im||nIJ1+1+2.J9+25+22

71Jl

又<〃7,〃>£[0,乃],所以所以。="；

36

故答案为：J

6

9.（2022•全国・高二课时练习）（1）若空间直线4与4所成的角为。，它们的一个方向向量分别为《与4，

向量4与4的夹角为夕，则。与夕的关系是：e=,即cos0=1

（2）若直线/与平面a所成的角为。，向量"是直线/的一个方向向量，〃是平面a的一个法向量，"与"的

为9,则。与。的关系是：0=,即sin0=

（3）二面角的大小。与两平面法向量的夹角S之间的关系为

汽n-，兀

(p,v<(p<—--(p^<(p<-

【答案】|cos^>|，=。或。=兀-W

九冗,

7r-(p,—<(p<7r(p--,—<(p<n

【分析】（1）分两种情况讨论可得。，根据诱导公式可得cos。；

（2）分两种情况讨论可得氏根据诱导公式可得cos。；

（3）根据两平面的法向量的方向可得答案.

7T

【详解】（1）当。时;。=夕，cos0=cos9；

当,<84乃时，O-n-cp,cos0-cos(zr-(p)=-cos(p,

TT777T

(2)当04夕《耳时，0---(p.cos0=cos(~-^>)=sin；

冗

当5〈夕(乃时，0=7V-(p,cos0=cos(^-(p)=-cos(P.

（3）根据两平面的法向量的方向可知，：面角的大小。与两平面法向量的夹角。可能相等，也可能互补,

所以8=9或6=兀-9.

(p,Q<(p<^

--(p90<(p<-

2；Icos^；0=(p或9=R-(p.

故答案为：，；|cos^|；■

7t/7171/1

7V-(p,—<(p<7T甲一5、5〈①G冗

四、解答题

10.（2022•重庆南开中学高二期末）四棱锥尸-钻8,底面为矩形，PZU面A8CD,且A8=4,8C=PZ）=2,

。点在线段AB上，且AC,而PQ»

D

(1)求线段AQ的长；

(2)对于(1)中的Q,求直线PB与面PDQ所成角的正弦值.

【答案］⑴1

⑵画

10

【分析】(1)根据线面垂直得到ADQDC4,再由相似比得方程可求解;

(2)建立空间直角坐标系，求平面的法向量，运用夹角公式先求线面角的余弦值，再转化为正弦值即

可.

(1)

二在矩形ABCD中，易得:

…ADAQ,八AD2BC24,

ADQDCA=>——=—^^>AQ=------=------=-=1

DCDADCAB4

(2)如四建立空间直角坐标系:

则0(0,0,0),P(0,0,2),5(2,4,0),A(2,0,0),C(0,4,0),

.­.PB=(2,4,-2),

由题意可知：AC为平面PQQ的一个法向量,

AC=(-2,4,0),

PBAC-4+16_12__3__5/30

cos〈PB,AC)=

“罔V20-V24-275x276-V30-10

・・・直线与面PDQ所成角的正弦值为强.

10

II.(2022.福建泉州.高二期末)在四棱锥P-ABCD中,

PA=PB,NBAD=90，/FAO=90,AB//CD,AD=AB=2CD=2,平面PB£)_L平面PAD.

(2)求二面角5-PC-4的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

【分析】(1)作根据面面垂直的性质可得AE_L平面网肛，则AE_LP3，根据题意

AZ)_LPA1

一AOJ■平面R4B,则4)_LP3,利用线面垂直判定定理可证尸5_1_平1mpA。；(2)建系，利

AD±AB]

用空间向量求二面角，根据|cos6|=kos(见“先求余弦值，再求正弦值.

(1)作AE_LP£>于点E,平面PBOL平面PAD,平面「3D1平面R4T>=二4EJ_平面P8D,P3u平

面尸8。，则AE_LP3又ADLPAAD，ABPAAB=A,AD_L平面BABA8i平面RW,贝U

ADYPBAEYPB.AZ)cA£=AP8_L平面尸A。

(2)取A8中点为。，则由P4=P3,得PO_LAB又A£>_L平面得ADLPO,所以尸OJL平面A8C£>

以。为原点，。8,。(?,。？方向分别为％%2轴的正方向，建立空间直角坐标系。-孙z,则

5(1,0,0),C(0,2,0),P(0,0,1),A(-LO,O)设平面BPC的法向量为加=①"c),尸片=(1,0,—1),BC=(—1,2,0)则

则I"一：：°八今匕=1，则m=(2,1,2)设平面APC的法向量为

〃=(x,y,z),AC=(l,2,0),AP=(l,0,l)则•::;一:，则'-0令？=1，则“=(-2』,2)故

p

E

__m_-n_£

cos(m,n故二面角B-PC-4的正弦值为』1-

H-H9

12.（2022•安徽省宣城中学高二期末）如图，在圆锥PO中，己知「。=2,。的直径A8=2,点C是AB的

（2）求二面角A-PC—3的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵拽

9

【分析】（1）首先连接OC,根据题意易证AC，。。，ACrPO,再利用线面垂克的判定即可证明AC,平

面「前：

（2）利用空间向量法求解二面角即可.

（1）连接。＜?,如图所示:

因为。4=OC,Z）为AC的中点，所以ACLOQ.

又POJ"底面,O,ACu底面（O,所以ACJ.P。.

因为ORPO是平面内的两条相交直线，所以AC，平面POO

（2）

以。为坐标原点，O8,OC,OP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴,

建立空间直角坐标系，如图所示：

则A（—L0,0）,B（l,0,0）,C（0,l,0）,P（0,0,2）.

AP=（l,O,2）,CP=（O,-l,2）,BC=（-l,l,O）

%+2Z]=0

设平面APC的一个法向量为勺=（x”％,zj,则有J；cp=（）,即

-yx+2Z[=0

令4=1,则须=-2,必=2,所以《,=（—2,2,1）

F+>2=0

设平面BPC的一个法向量为〃2=（9,必/2），则有即

—必+2z?=0

令％=2,则毛=2,z?=1,所以乙=（2,2,1）

所以何如叫=用="+4+；”+4+1总

所以sin如〃=竽.

故二面角4-PC-8的正弦值为生叵.

9

13.（2022♦福建莆田・高二期末）如图，在四棱锥P—ABCQ中，底面A8C。且尸。=2啦,

AB=BC=^AD=2,BAD=90,BC//A。，点M为棱PC的中点.

p

一

BC

⑴证明：PA1DM;

(2)求平面ABM与平面ABC。所成角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵题

11

【分析】(1)解法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积为0来证明两直线的垂直关系；

解法二：作出辅助线，证明平面尸C。，得到再得到£>MJ_PC,得到所以。MJ_平面

PAC,所以

(2)解法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求解两平面的夹角的余弦值；

解法二：作出辅助线，得到平面ABM与平面A8C。所成角的平面角，在直角三角形中求出三角函数值.

(1)解法一：因为2班。=90,所以AB_LA£>.

如图，以A为原点，分别以48，AD为x轴，y轴的正方向，过点A作Az〃PO,则Az_L平面初)'，以Az

为z轴建立空间直角坐标系，

则A(0,0,0),8(2,0,0),C(2,2,0),。(0,4,0),P(0,4,20),

因为点M为棱PC的中点，所以历(1,3,夜).

于是AP=(O,4,20),OM=(1,-1,a),

所以APOM=4x(-l)+2应x夜=0.

所以APJ.DW，即B4J_DW.

解法二：

如图，取A。中点N,连接CMAC,

因为PDJ_平面ABCD,ACu平面ABCD,

所以PO_LAC

因为/BA£>=90,BC//AD,AB=BC=2,

所以四边形A8CN为正方形，4c=2&,

所以A©=NC=2且CNLAO,所以CD=2及，

所以在△ACZ)中，AC2+C£f=A£>2,所以CD_LAC,

又因为尸。，AC,POcCZ)=。，PD,C〃u平面尸CD,所以ACJ_平面PC£>,

因为OMu平面PCO,所以AC_LDM

在△PCD中，CD=PD,M为PC中点，所以QM_LPC,

因为ACPC=C,AC,PCu平面B4C,

所以OM,平面PAC,

又因为附u平面附C,所以DM_LR4

(2)由(1)得AB=(2,0,0),AM=(1,3,0).

n•AB=02x=0

设方=(x,y,z)是平面MAB的法向量，则・,即

n\M=0x+3y+0z=0

取Z=3,Wy=-V2,x=0,则〃=(0,-也3)是平面MA8的一个法向量.

又因为PD_L平面ABCD,所以。P=(0,0,2夜)是平面ABCD的一个法向量.

设平面ABM与平面ABCD所成的角为0,

则cos®=\COs(n,DP)\=瑞=2点洛二驾

所以平面ABM与平面ABCD所成角的余弦值为誓

方法二：分别取43,C£)的中点E,F,连接EM,EF,FM,则EF//AD,MF//P£),E尸=3,MF=&,

又由（1）知P£）J_AC,同理可得PO_LA。，

所以MF_LAC,MF_LAO,

因为力CcM=O,AC,AZ）u平面ABC。，

所以MEL平面ABCD,

乂因为A8u平面A8CO,所以MF_LA8,

因为EF//43,AD±AB.所以防_LAB,

又因为EPcMF=R,EF,MFu平面MEF,

所以ABJ_平面MEF,

因为MEu平面ME凡所以AB_!ME

又因为£F，AB,所以NMEF为二面角M—AB—。的平面角.

在放中，tanZMEF=—=—,所以cosNA/EF=之叵，

EF311

所以平面ABM与平面A8CD所成角的余弦值为当.

14.（2022•海南・琼海市嘉积第二中学高二期末）如图，三棱柱ABC-ABC中，BC=BBt,BC,QB,C=O,

4。，平面83℃.

(1)求证：AB1B.C；

(2)若NB/C=60。，直线AB与平面BBCC所成的角为30。，求二面角A-Bg-A的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)7

【分析】(1)由线面垂直得到线线垂直，再由菱形得到对角线垂直，进而证明线面垂直，线线垂直;

(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角.

(I)；AO_L平面BBgC,80<=平面88℃

AO1B.C,

VBC=BBt,四边形BBC。是平行四边形，

四边形BBC。是菱形.

BC,1B,C,

VAOr>BCt=O,AOu平面ABC-BQU平面ABQ

qcj.平面ABG，

VABI平面48cl

，BtC±AB.

(2)：AB与平面33CC所成角为30°,4O_L平面33CC，

ZABO=30°,

若NB|BC=60。，则aBCBi是正：:角形.

令8c=2,则&C=2,B0=y/3,04=1,

以。为原点，分别以OB,0B},Q4所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

则0(0,0,0),8(亚0,0),4(0,1,0)，A(0,0，l)，G(-6,0,0b

设平面A8C的一个法向量为4=(x,y,z),

AB,=(0,1-I),C,B,=(73,1,0),

n•AB=y-z=0

}}令X=l,解得％=(1,-6,-6卜

4•G耳=6x+y=0

设平面BCM的一个法向量为“=（%y，z），

A4=•=(&(),T)

n-AB=0y/3x-Z=0

2il即令x=l,解得%=0,-百,G),

n2C]B]=06x+y=0

设二面角A-B£-A的大小为6,由图知夕非钝角,

1

cos^=|'COS77H=,,=-.

p2河也|7

二面角A,-B©-A的余弦值为y.

15.（2022•江西抚州•高二期末（理））如图在边长是2的正方体A8C0-ABCQ中，E,F分别为A3,

AC的中点.

(1)证明：平面EACJ•平面D4C；

(2)求面DEF与面所成二面角的大小.

【答案】(1)证明见解析

⑵2

6

【分析】(1)(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得;

(1)解：据题意，建立如图空间直角坐标系.

于是:0(0,0,0),A(2,0,2),c(o,2,o),E(2,l,0),*1,1,1),

A=(-1,0,1),=(2,0,2),DC=(O,2,O),

因为斯图=-1X2+0X0+1X2=0,

EF±DA,,即EF_LDA、,

X£F£>C=-lx0+0x2+lx0=0-

EFVDC即EFDC,

又£>Cu平面OCA且D41coe=。，

EF_L平面AC。，

又•••EFu平面EAC,.•.平面E\C1平面D4.C.

⑵解:由题知D（0,0,0）,F（l,l,l）,£（2,1,0）,B=（2,2,0）,

。F=（1,1,1）,EF=（-1,0,1）,OB=（2,2,0）,

设面£＞EF的法向量为勺=（%,必,21）,贝卜,'c，

E17rc•勺=0

—x,+Z]=0

即，c，不妨取力=（1,-2,1）,

■+X+Z=0

DFn=0

设面。8尸的法向量为〃2=（工2，＞2,22），则'2

DB-n2=0

2X+2y2=0

2不妨取巧=。,一1,0），

x2+y2+z2=0

%•%_3_G

贝|Jcos必％

同.㈣瓜乂立2

分析可知面。£尸与面。3尸所成二面角是锐角，所以所求二面角为?

6

16.（2022•浙江•绍兴市教育教学研究院高二期末）如图，已知四棱锥

PAB,AD//BC,PB1PD,AB=4,BC=\,AD^,PB=2

（1）证明：平面PA£＞；

（2）求直线CO与平面24。所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；

⑵冬

【分析】（1）由题可得然后利用线面垂直的判定定理即得;

(2)由题可知C到平面皿＞的距离等于8到平面皿＞的距离，设直线8与平面皿)所成角为。，可得

sin®=M，即得；或利用坐标法即得.

(1)由题意8。，平面丛氏4。〃3。，

所以A£»_L平面P4B，P3u平面E4B,

AADYPB,又PB_LPr＞,P£＞cAO=£＞,

所以P8_L平面

(2)法一：由BC〃A£＞可知BC；平面PAD,

所以C到平面PAD的距离等于B到平面PAD的距离，

又由(1)知PBJL平面PAD,

设直线CD与平面皿＞所成角为0,

由题可得CD=2不，

所以sin。=-

CD5

法二：如图，以A为原点，分别以射线为轴的正半轴，建立直角坐标系A-xyz,

则A(0,0,0),D(0,3,0),C(4,l,0),尸(3,0,百),

Z.CD=(-4,2,0),AP=(3,0,@,AD=(0,3,0).

设平面R4£)的法向量为〃=(x,y,z),

3=八=°,可取〃=(|,0,-6).

〃•AD=0

设宜线CD与平面PAD所成角为0，

所以sin。=|cosn,C£)|=

17.（2021・河北唐山•高二期中）如图，已知长方体ABCO-AB|GR,A8=2,44=1，直线80与平面叫8田

所成的角为30。，AE垂直BZ）于E,P为人用的中点.

（1）求异面直线AE与8尸所成的角的余弦;

（2）求点A到平面B。尸的距离.

【答案】（1）亨

⑵述

5

【分析】（1）利用空间向量求异面直线夹角，根据cose=|cos〈AE，3P〉|,运算求解；（2）利用空间向量

求点到面的距离，根据4=理包，运算求解.

1”1

（1）在长方体A8co中，以A8所在直线为x轴，4。所在直线为），轴，A4所在直线为z轴建立空

间直角坐标系如图.

由已知AB=2,AAt=1,

可得A(0,0,0)、8(2,0,0)、F(I,0,1).

又平面AA4B,从而8。与平面然8出所成的角即为8A=30。,

又AB=2,AE1.BD,AE=1,AD=—

3

从而易得出,乎,0),力(0,孚o)

(［百)

AE=,0,BF=(―1,0,1).

设异面直线AE与3/所成的角为

\AE-BF\V2

则cos0=|cos(AE,BF)|=

\AE\\BF\4

即异面直线AE、BF所成的角的余弦为叵

4

(2)设〃=(x,y,z)是平面8。尸的一个法向量.

-2,丝,0〕,

BD=BF=(—I»0,1),AB=(2,0,0).

3

7

-x+z=0

nBF=0

由<、2A/3,,即

n-BD=02x-----y=0

3

取"=(1,6,1),

所以点A到平面BDF的距离d=型型=与=正

1«15

18.(2021•北京二中高二期末)如图，正方形4)/与梯形A88所在平面互相垂直，已知45〃CD,

ADLCD,AB=AD=-CD.

2

⑴求证：BF〃平面C£>E.

(2)求平面BDF与平面CDE夹角的余弦值

EM

(3)线段EC上是否存在点V,使平面瓦加，平面也小？若存在，求出工7的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)证明见解析；

(2)—:

3

EM1

(3)存在,~EC~2

(1)根据线面平行、面面平行的判定定理，结合面面平行的性质定理进行证明即可；

(2)根据面面垂直的性质，结合正方形的性质建立空间直角坐标系，利用空间夹角公式进行求解即可;

(3)根据空间向量数量积的运算性质，结合面面垂直的判定定理进行求解即可.

(1)因为钻〃CD,ABu平面COE,C3u平面CDE,

所以〃平面CDE,同理，AF〃平面CDE,

又A8AF=A,所以平面/平面CDE,

因为BFu平面A3尸，

所以8尸〃平面CDE：

(2)因为平面ADEF_L平面ABCD,

平面ADEF平面ABCD=AD,CDLAD,

CZ)u平面43C。，所以COL平面仞£万，

又£>Eu平面A£>EF,取CDLED.

而四边形ADEF时正方形，所以A。_LDE乂8_L，

以。为原点，DA,DC,DE所在直线分别为x轴，了轴，z轴，建立空间直

角坐标系。一孙z.设AD=1,则£>(0,0,0),8(1,1,0),尸(1,0,1),

C(0,2,0),£(0,0,1),取平面CDE的一个法向量ZM=(1,0,0),设

平面8QF的一个法向量”=(x,y,z),则‘；d即x+y=0

x+z=0

令x=l,则y=z=-l,所以3=设平面3DF与平面C£)£

所成锐二面角的大小为e,贝ijcose=kos(zw£，=t=q.

所以平面BDF与平面CDE所成锐二面角的余弦值是也.

3

(3)若M与C重:合，则平面3DM(C)的一个法向量？=(0,0,1),

由(2)知平面切》的一个法向量7=。,一1,一1),则,%.〃=一1=0,

则此时平面BDF与平面BDM不垂直.若M与C不重合,

如图设第=4(0<2<1),则M(O,241T),

EC

m・DB=O

设平面BDM的一个法向量机=（玉）,%,4），则，

m-DM=0

%+为=°_22

M+(1T)Z0=0令%=1,则%=T

所以m=（1,-1,——）,若平面BDM，平面BDF等价于5•〃=0,

1—/I

即1+1-y=0,

1-A

所以2=ge[0』.所以，线段EC匕存在点仞使平面及邛，平面瓦）“，且詈=（

JT

19.（2022・广东•高二期末）四边形48CD是平行四边形，NCBA=-,四边形A8EF是梯形，BE//AF,且

4

ABYAF,AB=BE=~AF,BC=6,平面ABC£>J"平面.

（1）求证：AC_LEF；

（2）求直线EC与平面E/7）所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

【分析】（1）利用余弦定理求出4C,即可得到AC_LM,由面面垂直的性质得到ACJ■平面ABEF,即可

得证；

(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得：

(I)证明：因为=BC=5/2»/.CBA=—,

由余弦定理囚。2=482+8。2―248・8。(：0$/。84=1+2—2乂1乂0乂巫=1,

2

7T

所以AC=1,则AC?+AB?=Be),所以N8AC=],即AC_LAB,

又平面"C£)"L平面ABEF,平面ABC£>I平面ABEF=A8，ACu平面ABC。

所以ACL平面ABE/，又EFu平面ABEF,所以AC_L£F；

⑵解:如图建立空间直角坐标系，则E(LLO)、*0,2,0)、C(0,0,l)、0(-1,0,1),

所以EC=(—1,—1,1),EF=(-1,1,0),ED=(-2,-1,1),

n-EF=-x+y=0../…7

设平面EFD的法向量为〃=(x,y,z),所以，,,令x=l,n则〃=(1,1,3),

n-ED=-2x-y+z=0

_E_C_-_n_\_=____1___=后

设直线EC与平面EFD所成角为0，则Sin0=

|£C|-|/?|-%/3XVH_33''

故直线EC与平面EFD所成角的正弦值为噜；

20.(2022•河南•信阳高中高二期末(理))如图1,在等边A8C中，点。，E分别为边A8,AC上的动点

r)E

且满足0E/ZBC,记.将△AOE沿DE翻折到△MOE的位置并使得平面平面DECB,连接MB,

BC

MC得到图2,点N为MC的中点.

⑴当EN〃平面MBD时，求2的值；

(2)试探究：随着4值的变化，二面角B-MO-E的大小是否改变？如果改变，请说明理由；如果不改变，请

求出二面角B-ME>-E的正弦值大小.

【答案】(1)2=；

(2)不改变，卓

【分析】(1)首先取MB的中点为P,连接DP,PN,再结合线面平行的性质即可得到

(2)利用空间向量法求解即可.

(1)取MB的中点为尸，连接。尸，PN,

因为MN=CN,MP=BP,所以NP〃8C,

又DEHBC,所以即ME,D,P四点共面,

又硒〃平面BMD,ENu平面NEDP,

平面NEOPD平面MBD=DP,

所以EN〃PD,即NEDP为平行四边形，

所以NP=OE,则力E=38C,即2=]

(2)取DE的中点。，连接M。，则MOJ_OE,因为平面例。£，平面QECB,

平面A/OEA平面DECB=DE,且MOLDE,所以平面DECB,

如图建立空间直角坐标系，

不妨设8C=2,则0(/1,0,0),80,6(1-2),0),

所以用。=卜,0,-62),08=(1-4,6(1-4),0),

设平面的法向量为m=(x,y,z),则

MD-m-Ax-上九z厂=0，即《x=y[?>厂z,，

Z)B/?2=(l-/l)x+V3(l-A)y=O[x=->J3y

令x=7L即m=

又平面EMD的法向量"=(0,1,0),

所以8s限仍丽飞一三，

即随着尤值的变化，二面角8-MD-E的大小不变.

且sin

所以二面角3-的正弦值为平.

21.(2022・四川乐山・高二期末(理))如图，在四棱锥P-A3co中，底面438是边长为2的正方形,

侧面PA。是正三角形，侧面皿>，底面A8C£),平面P8C'平面R4£>=/.

（1）判断/与BC的位置关系并给予证明；

（2）求平面PBC与平面PAD所成二面角的余弦值.

【答案】（1）〃/3C，证明见解析

【分析】（1）依题意可得AD//3C,即可得到3c〃平面PAO,根据线面平行的性质定理得到〃/3C；

（2）取AO的中点。，8C的中点G,连接。P、0G,根据面面垂直的性质定理得到P。！•底面ABC。,

建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得；

（1）解：IHBC

证明：•底面A8C3为正方形，

/.AD//BC,

.BC（Z平面PAO,ADu平面PAD,

8c〃平面PAD,

3Cu平面PC8,平面「3c平面H4T>=/

:.l//BC

（2）解：取A。的中点。，8c的中点G,连接OP、0G,

依题意POVAD,侧面PAD，底面ABCD,侧面PAD1底面ABCD=AD,

尸Ou侧面尸AO,所以P。，底面ABC。，又ABC。是正方形，所以OG_LAO,

建立如图所示空间直角坐标系：则P（0,0,G）,B（2,T,0）,C（2,l,0）,G（2,0,0）,

设平面P3C的法向量为〃=（x,y,z）,PB=（2,-1,-V3）,8c=（0,2,0）,

n-PB-lx—y-Gz=0'令Z=l,故X等

所以y=0,

n-BC=2y=0

所以〃=与,0,1,

•.侧面底面A3CD,侧面尸AO'UK®ABCD=AD,OG±AD,OGcABCD

.0GL平面尸4),

■­■平面PAD的法向量为m=(2,0,0),

设平面PBC与平面R4D所成二面角为凡显然二面角为锐二面角，

n-m出

所以c°丽=77，=亍，

-2X

所以平面尸8c与平面PAD所成：面角的余弦值为巨；

7

22.(2022•江苏省镇江中学高二期末)已知几何体ABCCE/中，平面ABC。_L平面CCER四边形4BC。

是边长为4的菱形.NBC£)=60。，四边形C0EF是直角梯形，EFCD,EDVCD,且EF=ED=2.

(1)求证：AC1.BE：

(2)求平面4OE与平面BC尸所成角的余弦值.

【答案】(1)证明过程见解析

⑵毡

7

【分析】(1)作出辅助线，由线线垂宜得到线面垂直，进而证明出AC1_B£>；(2)建立空间直角坐标系,

利用空间向量求解二面角的余弦.

⑴连接8D,

因为四边形48。是菱形，

所以ACLB，

因为平面48CO_L平面CDE尸，交线为CD,EDLCD,E£)u平面C£)EH

所以EC平面ABC。，

因为ACu平面ABCD,

所以ED1.AC,

因为8。1ED^D,

所以ACJ_平面BDE,

因为8Eu平面BDE,

所以AC_L8。

(2)取BC的中点G,连接OG,BD,

因为NBCD=60。，四边形ABC。是边长为4的菱形，

所以。G_LBC,因为A£>〃BC,所以QG_LAD,

以O为坐标原点，D4所在直线为x轴，QG所在直线为y轴，CE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，

则B(2,2区0),C(-2,2A/3,0),网一1,G,2),

设平面5C77的法向量为机=(x,y,z),

平面ADE的法向量为/2=(0,1,0),

cosm,n=