高考数学一轮复习 第八章 第1讲 空间几何体及其表面积与体积配套限时规范训练 理 苏教版

第八章立体几何第1讲空间几何体及其表面积与体积分层训练A级基础达标演练(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．以下命题：①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数是________．解析命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥．命题②题，因这条腰必须是垂直于两底的腰．命题③对．命题④错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才行．答案12．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的四个顶点，这些几何形体是________(写出所有正确结论的编号)．①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．解析①显然可能；②不可能；③取一个顶点处的三条棱，连接各棱端点构成的四面体；④取正方体中对面上的两条异面对角线的四个端点构成的几何体；⑤正方体ABCD－A1B1C1D1中，三棱锥D1－DBC满足条件．答案①③④⑤3．(·常州模拟)在三棱锥S－ABC中，面SAB，SBC，SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形，且AB＝BC＝CA＝2，则三棱锥S－ABC的表面积是________．解析设侧棱长为a，则eq\r(2)a＝2，a＝eq\r(2)，侧面积为3×eq\f(1,2)×a2＝3，底面积为eq\f(\r(3),4)×22＝eq\r(3)，表面积为3＋eq\r(3).答案3＋eq\r(3)4.(·湖北卷)圆柱形容器内盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.解析设球的半径为rcm，则πr2×8＋eq\f(4,3)πr3×3＝πr2×6r.解得r＝4cm.答案45.(·苏州模拟)如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________．解析由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为eq\f(\r(3),2)，连接顶点和底面中心即为高，可求得高为eq\f(\r(2),2)，所以体积V＝eq\f(1,3)×1×1×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),6).答案eq\f(\r(2),6)6.如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为a，∠A1AB＝∠A1AC解析如题图，过B作BD⊥AA1于D，连接CD，则△BAD≌△CAD，所以∠ADB＝∠ADC＝90°，所以AD⊥CD，AD⊥BD，所以△BCD为垂直于侧棱AA1的截面．又因为∠BAD＝60°，AB＝a，所以BD＝eq\f(\r(3),2)a.所以△BDC的周长为(eq\r(3)＋1)a，从而S侧＝(eq\r(3)＋1)a2，S底＝eq\f(1,2)×a2sin60°＝eq\f(\r(3),4)a2.故S全＝S侧＋2S底＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),2)＋1))a2.答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),2)＋1))a2二、解答题(每小题15分，共30分)7.(·辽宁卷)如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝eq\f(1,2)PD.(1)证明：PQ⊥平面DCQ；(2)求棱锥Q－ABCD的体积与棱锥P－DCQ的体积的比值．(1)证明由条件知四边形PDAQ为直角梯形．因为QA⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD.又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC.在直角梯形PDAQ中可得DQ＝PQ＝eq\f(\r(2),2)PD，则PQ⊥QD.又DQ∩DC＝D，所以PQ⊥平面DCQ.(2)解设AB＝a.由题设知AQ为棱锥Q－ABCD的高，所以棱锥Q－ABCD的体积V1＝eq\f(1,3)a3.由(1)知PQ为棱锥P－DCQ的高，而PQ＝eq\r(2)a，△DCQ的面积为eq\f(\r(2),2)a2，所以棱锥P－DCQ的体积V2＝eq\f(1,3)a3.故棱锥Q－ABCD的体积与棱锥P－DCQ的体积的比值为1.8.如图，在三棱锥P－ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，AP＝BP＝AB，PC⊥AC.(1)求证：PC⊥AB；(2)求点C到平面APB的距离．(1)证明取AB中点D，连接PD，CD.因为AP＝BP，所以PD⊥AB，因为AC＝BC，所以CD⊥AB.因为PD∩CD＝D，所以AB⊥平面PCD.因为PC⊂平面PCD，所以PC⊥AB.(2)解设C到平面APB的距离为h，则由题意，得AP＝PB＝AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝2eq\r(2)，所以PC＝eq\r(AP2－AC2)＝2.因为CD＝eq\f(1,2)AB＝eq\r(2)，PD＝eq\f(\r(3),2)PB＝eq\r(6)，所以PC2＋CD2＝PD2，所以PC⊥CD.由(1)得AB⊥平面PCD，于是由VC－APB＝VA－PDC＋VB－PDC，得eq\f(1,3)·h·S△APB＝eq\f(1,3)AB·S△PDC，所以h＝eq\f(AB·S△PDC,S△APB)＝eq\f(2\r(2)×\f(1,2)×2×\r(2),\f(\r(3),4)×2\r(2)2)＝eq\f(2\r(3),3).故点C到平面APB的距离为eq\f(2\r(3),3).分层训练B级创新能力提升1．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点M是BC的中点，点P是平面ABCD内的一个动点，且满足PM＝2，P到直线A1D1的距离为eq\r(5)，则点P的轨迹是________．解析由PM＝2，知点P在以M为圆心，2为半径的圆上．又由P到直线A1D1的距离为eq\r(5)，知点P在与BC平行且过AB中点的直线上，故点P的轨迹是它们的交点，即为两点．答案两个点2.(·南京模拟)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，AC＝eq\r(5)，AA1＝3，M为线段B1B上的一动点，则当AM＋MC1最小时，△AMC1的面积为________．解析如图，当AM＋MC1最小时，BM＝1，所以AM2＝2，C1M2＝8，ACeq\o\al(2,1)＝14，于是由余弦定理，得cos∠AMC1＝eq\f(AM2＋MC\o\al(2,1)－AC\o\al(2,1),2AM·MC1)＝－eq\f(1,2)，所以sin∠AMC1＝eq\f(\r(3),2)，S△AMC1＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×2eq\r(2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3).答案eq\r(3)3．(·苏北四市调研三)已知点P，A，B，C是球O表面上的四个点，且PA、PB、PC两两成60°角，PA＝PB＝PC＝1cm，则球的表面积为________cm2.解析如图，取AB的中点M，连接PM、CM，过P作棱锥的高PN，则垂足N必在CM上，连接AN.棱锥的四个侧面都是边长为1的正三角形，故可得CM＝PM＝eq\f(\r(3),2)，从而CN＝eq\f(2,3)CM＝eq\f(\r(3),3)，在Rt△PCN中，可求得PN＝eq\f(\r(6),3)，连接AO，则AN＝CN＝eq\f(\r(3),3)，设AO＝PO＝R，则在Rt△OAN中，有R2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)－R))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))2，解得R＝eq\f(\r(6),4).∴球的表面积S＝4πR2＝eq\f(3π,2)(cm2)．答案eq\f(3,2)π4．(·南通一模)某四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a，则该四面体体积的最大值为________．解析如图所示，在四面体ABCD中，若AB＝BC＝CD＝AC＝BD＝a，AD＝x，取AD的中点P，BC的中点E，连结BP，EP，CP，易证AD⊥平面BPC，所以VA－BCD＝eq\f(1,3)S△BPC·AD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×a×eq\r(a2－\f(x2,4)－\f(a2,4))·x＝eq\f(1,12)a·eq\r(3a2－x2x2)＝eq\f(1,12)a·eq\r(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(3a2,2)))2＋\f(9a4,4))≤eq\f(1,8)a3，当且仅当x2＝eq\f(3,2)a2，即x＝eq\f(\r(6),2)a时取等号．答案eq\f(1,8)a35.(·台州中学期中)如图所示，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，AD＝4.将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD.(1)求证：AB⊥DE；(2)求三棱锥E－ABD的侧面积．(1)证明在△ABD中，因为AB＝2，AD＝4，∠DAB＝60°，所以BD＝eq\r(AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠DAB)＝2eq\r(3)，所以AB2＋BD2＝AD2，所以AB⊥BD.又因为平面EBD⊥平面ABD，平面EBD∩平面ABD＝BD，AB⊂平面ABD，所以AB⊥平面EBD.又因为DE⊂平面EBD，所以AB⊥DE.(2)解由(1)知AB⊥BD，因为CD∥AB，所以CD⊥BD，从而DE⊥BD，在Rt△DBE中，由DB＝2eq\r(3)，DE＝DC＝AB＝2，得S△BDE＝eq\f(1,2)DB·DE＝2eq\r(3).又因为AB⊥平面EBD，BE⊂平面EBD，所以AB⊥BE.因为BE＝BC＝AD＝4，所以S△ABE＝eq\f(1,2)AB·BE＝4，因为DE⊥BD，平面EBD⊥平面ABD，所以ED⊥平面ABD，而AD⊂平面ABD，所以ED⊥AD，所以S△ADE＝eq\f(1,2)AD·DE＝4.综上，三棱锥E－ABD的侧面积S＝8＋2eq\r(3).6．(·苏州调研一)如图(1)所示，在直角梯形ABEF中(图中数字表示线段的长度)，将直角梯形DCEF沿CD折起，使平面DCEF⊥平面ABCD，连结部分线段后围成一个空间几何体，如图(2)所示．(1)求证：BE∥平面ADF；(2)求三棱锥F－BCE的体积．(1)证明法一取DF的中点G，连结AG，EG，∵CE綉eq\f(1,2)DF，∴EG綉CD.又∵AB綉CD，∴EG綉AB.∴四边形ABEG为平行四边形．∴BE∥AG.又∵BE⊄平面ADF，AG⊂平面ADF，∴BE∥平面ADF.法二由题图(1)可知BC∥AD，CE∥DF，折叠之后平行关系不变．∵BC∥AD，BC⊄平面ADF，AD⊂平面ADF，∴BC∥平面ADF.同理CE∥平面ADF.∵BC∩CE＝C，BC、CE⊂平面BCE，∴平面BCE∥平面ADF.∵BE⊂平面BCE，BE⊄平面ADF，∴BE∥平面ADF.(2)解法一∵VF－BCE＝VB－CEF，由题图(1)，可知BC⊥CD，又∵平面DCEF⊥平面ABCD，平面DCEF∩平面ABCD＝CD，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥平面DCEF.由题图(1)可知，DC＝CE＝1，S△CEF＝eq\f(1,2)CE×DC＝eq\f(1,2)，∴VF－BCE＝VBvCEF＝eq\f(1,3)×BC×S△CEF＝eq\f(1,6).法二由题图(1)，可知CD⊥BC，CD⊥CE，∵BC∩CE＝C，∴CD⊥平面BCE.∵DF∥CE，点F到平面BCE的距离等于点D到平面BCE的距离为1，由题图(1)，可知BC＝CE＝1，S△BCE＝eq\f(1,2)BC×CE＝eq\f(1,2)，∴VF－BCE＝eq\f(1,3)×CD×S△BCE＝eq\f(1,6).法三