高考真题教材高考真题审题答题一

教材高考；审题答题(一)函数与导数热点问题

I三年真题考情I

核心热点真题印证核心素养

2017-11,21;2018-I,21;2017.III,数学运算、

利用导数研究函数的性质

21;2018-11,21逻辑推理

数学运算、

利用导数研究函数的零点2018.11,21(2)；2018•江苏，19

直观想象

2017.III,21;2017-11,21;2016-11,数学运算、

导数在不等式中的应用

20;2018-I,21逻辑推理

I审题答题指弓11

教材链接高考——导数在不等式中的应用

［教材探究］(引自人教A版选修1—1P99习题3.3B组(3)(4)两个经典不等式)

利用函数的单调性证明下列不等式，并通过函数图像直观验证.

(3片>1+尤"0)；

(4)lnx<x<eA(x>0).

［试题评析］1.问题源于求曲线y=e》在(0,1)处的切线及曲线y=lnx在(1,0)处

的切线，通过观察函数图像间的位置关系可得到以上结论，可构造函数八%)=砂

-%—1与g(x)=x—Inx—1对以上结论进行证明.

2.两题从本质上看是一致的，第(4)题可以看作第(3)题的推论.在第(3)题中，用“Inx”

替换“x”，立亥“得至Ux>l+lnx(x>0且xWl),进而得到一组重要的不等式链：e、>x

+l>x-l>lnx(x>0且xW1).

3.利用函数的图像(如图)，不难验证上述不等式链成立.

【教材拓展】试证明：e“一lnx>2.

证明法一设fix)=eA—Inx(x>0),

则/(%)=ex-p令0(x)=砂一

则“(%)=-+±>0在(0,+8)恒成立,

所以夕(X)在(0,+8)单调递增，

即/(%)=厘一;在(0，+8)上是增函数，

X/(l)=e-l>0,/出=&—2<0,

.\f(x)=ex—：在1)内有唯一的零点.

不妨设/(xo)=O,则0叼=；,从而xo=ln；=—Inxo,

xoxo

所以当x>xo时，/(x)>0；当O<x<xo时，/(x)<0.

:

.,.»=e'-lnx在x=x0处有极小值，也是最小值.

.,./(x)min=7(xo)=e-^o—InX0=^+xo>2,烦©'，

故eA—Inx>2.

法二注意到e*>l+x(当且仅当x=0时取等号)，

x—iNlnx(当且仅当x=l时取等号)，

e%+%—1>1+%+lnx,故炉一111%>2.

探究提高1.法一中关键有三点：(1)利用零点存在定理，判定极小值点

1);(2)确定e*o=5，xo=—lnxo的关系；(3)基本不等式的利用.

2.法二联想经典教材习题结论，降低思维难度，优化思维过程，简洁方便.

【链接高考】(2017•全国HI卷)已知函数八x)=lnx+af+(2a+l)x.

(1)讨论人x)的单调性；

3

(2)当a<0时，证明人x)W一心一2.

⑴解兀1)的定义域为(0,+8),

n11(2ox+l)(x+1)

且f(x)=-JC+2ax+2。+1=X

若aNO时，则当xG(0,+8)时，/Q)>O,

故人x)在(0,+8)上单调递增，

若a<0时，则当x©(0,一J)时，/(沙>°；

当x4一/，+8)时，/(X)<o.

故人x)在(0,一/)上单调递增，在(一支，+8)上单调递减.

⑵证明由(1)知，当。<0时，五%)在％=—表处取得最大值，最大值为1一力=

d—1，

12aJ4〃

所以於)W一12等价于ln［-^)-l-£<一12,

即心力+岂+iwo,

设g(x)=lnx—x+1,贝UgXx)=；—L

Ji

当xG(0,1)时，g,(x)>0；%e(l,+8)时，g，(x)<0.

所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减.

故当x=l时，g(x)取得最大值，最大值为g(l)=0.

所以当x>0时，g(x)W0,

从而当。<0时，In1一三j+£+lW0,

3

故於)W-口-2.

教你如何审题—利用导数研究函数的零点

【例题】(2018•全国II卷)已知函数/(乃=——ax2.

(1)若。=1,证明：当xNO时，1x)Nl；

(2)若火功在(0,+8)只有一个零点，求。

［审题路线］

求导/«)=e*-2x分析需再次求导推断

突破/(％)的符号

解

决

求导外)望叶逊)

函Jy

数

(

的

零

点

［自主解答］

⑴证明当。=1时，火x)=e、*—'%2,则/(x)=e，,—2x.

令g(x)=/(x)，则g'(x)=eJ2.

令g，(x)=O,解得x=ln2.

当xC(O,In2)时，g，(x)<0；

当x@(ln2,+8)时,g，(x)>0.

.•.当x20时，g(x)^g(ln2)=2-21n2>0,

...於)在［0,+8)上单调递增，.•.於/黄o)=i.

(2)解若人x)在(0,+8)上只有一个零点，即方程e*—af=0在(0,+8)上只有

一个解，

e%e%

由。=尹，令夕(x)=9，无e(o,+°°),

e'(%—2)

0'(尤)=---^3-------，令夕口)=0,解得x=2.

当x@(0,2)时，d(x)<0；

当尤£(2,+8)时,“(%)>0.

.e2.e2

••9(X)min一0(2)—q.♦♦a—I

探究提高1.利用导数研究函数的零点主要考查直观想象、逻辑推理、数学运算

核心素养.考查的主要形式：(1)求函数的零点、图像交点的个数；(2)根据函数的

零点个数求参数的取值或范围.

2.导数研究函数的零点常用方法：(1)研究函数的单调性、极值，利用单调性、极

值、函数零点存在定理来求解零点问题；(2)将函数零点问题转化为方程根的问题，

从而同解变形为两个函数图像的交点，运用函数的图像性质求解.

【尝试训练】已知三次函数/(为二始+加?+⑪+或mb,cGR)过点(3,0),且函

数7(x)在点(0,/0))处的切线恰好是直线y=0.

⑴求函数人x)的解析式；

(2)设函数g(x)=9x+m一1,若函数y=/(x)—g(x)在区间［―2,1］上有两个零点，

求实数机的取值范围.

解(l*(x)=3f+2加;+c,由已知条件得，

优3)=27+90+3c+d=0,

(0)=c=0，解得b=-3,c=d=O,

〔八0)=1=0,

所以,/(%)=%3—3x2.

(2)由已知条件得，Hx)—gOOu%3—•3/一9%一m+1在［-2,1］上有两个不同的零点,

可转化为y=m与^=x3—3X2—9x+l的图像有两个不同的交点；

令/?(x)=%3—3X2—9x+l>

/?,(-^)=3-^2—6%—9,—2,1］,

令勿(x)>0得一2Wx<—1；令h'(x)<0得一1<xW1.

所以〃(x)max=〃(一l)=6,

又五-2)=—1,次1)=—10,所以/G)min=-10.

数形结合，可知要使丁=机与y=三一3f—9x+l的图像有两个不同的交点，贝U

—1Wm<6.

故实数机的取值范围是［—1,6).

满分答题示范—利用导数研究函数的性质

【例题】(12分)(2015•全国II卷)已知函数火x)=lnx+o(l—x).

(1)讨论Hx)的单调性；

(2)当兀0有最大值，且最大值大于2a—2时，求实数a的取值范围.

［规范解答］

(1)/(力的定义域为(0,+8),/(7)=」a……rtu

X

若a<0,则/'(力>0,所以/(z)在(0,+8)上单调递增.

若a>o,则当2、e(o时，/'(2、)〉0；

当工e+8)时,r(1)Vo.

1

所以/Or)在(0,上单调递增，在+8匕单调递减.

...............................................4'团

综上.知当a&0时,/(z)在(0,+8)上单调递增；

当a>0时,/(z)在(0,，)匕单调递增，在什，+8)上单

调递减.............................................6'⑶

(2)由(1)知，当a&0时，/(z)在(0,+8)上无最大值;

当a>0时,/(z)在1='处取得最大值，

a

最大值为=ln9+a(1j——Ina-\~a—1.

因此—2等价于Ina+a—K0......9Z|-41

令g(a)=Ina+a—1,则g(a)在(0,+8)上单调递增，

g⑴=0.

于是，当0Va<l时,g(a)V0；当a>l时，g(a)>0.

............................................11'回

因此，实数a的取值范围是(0,1)...............12,⑹

［高考状元满分心得］

❶得步骤分：抓住得分点的步骤，“步步为赢”、求得满分.如第(1)问中求定义

域、求导，第(1)问中表述结论，第⑵问中表述结论.

❷得关键分：解题过程不可忽视关键点，有则给分，无则没分如第⑵问中，对g(a)

在(0,+8)上单调性的判断及得到条件g(i)=o.

❸得计算分：解题过程中计算准确是得满分的根本保证.如第(1)问中求导准确；

第(2)问中，正确计算出不小的值.

［构建模板］

年三宴)……求定义域

年乏)...求导y=f"

I

超)……求y=/(2)的单调性

I

...讨论并得到y=/(H)的最值

I

建殛……转化条件，得到关于。的不等式

I

……巧设函数，根据函数的单调性，得到a的范围

I

……检验反思，规范步骤,明确结论

【规范训练】(2018•全国I卷)已知函数火%)=。——Inx—1.

(1)设x=2是五x)的极值点，求a,并求人x)的单调区间；

(2)证明：当时，>)^0.

(1)解人劝的定义域为(0,+8),f(x)=ae-\..

由题设知，/(2)=0,所以。=止.

111

从而人功=委对一Inx—1,f(x)=^2e'--.

当0<%<2时，/(x)<0；当x>2时，/(x)>0.

所以人x)在(0,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增.

(2)证明当。'I时，In%—l(x>0).

e*e'1

设则f

g(x)=CT-lnx—l(x>0),CgJi(x)=---(x>0).

当0<x<l时，g'(x)<0；当x>l时，g'(x)>0.所以尤=1是g(x)的最小值点.

故当x>0时，g(x)2g(1)=0.

因此，当时，於)三0.

I热点跟踪训练高效训练，提升麓谊

1.(2019•渭南检测)已知函数火x)=ln%—af+x有两个不同的零点，求实数。

的取值范围.

解令g(x)=lnx,h(x)=a^—x,

将零点问题转化为两个函数图像交点的问题.

当aWO时，g(x)和/z(x)的图像只有一个交点，不满足题意;

x~\~Inx

当〃>0时，由In%—〃/+%=0,d导a=^2.

x~\~Inx

令人x)='F-,则r(x)的定义域为(0,+8).

「+—(lnx+无)-2x1_21nx

则/(%)=---——彳----------=—m一，易知厂'(1)=0,

当0<%<1时，/(x)>0,«x)是增函数，

x+Inx

当Q1时，/(%)<0,«%)是减函数，且f>0,

r(x)max=r(l)=b所以0<a<l.

故实数a的取值范围是(0,1).

2.已知函数火jOnZR+af+bx+S在尤=—1和x=2处取得极值.

(1)求I/(x)的表达式和极值；

(2)若兀0在区间［加，冽+4］上是单调函数，试求机的取值范围.

解(1)依题意知了(jOnGf+Zax+buO的两根为一1和2,

-1=-l+2,

a——3,

・•・〈

后bTX2,b=~12.

=2始一3f—12尤+3,

：.f(x)=6f—6x-12=6(x+l)(x-2),

令/(x)>0,得x<—1或x>2；令了(尤)<0,得一l<x<2,

；・函数段)在(一8,—1］和［2,+8)上单调递增;在(一1,2)上单调递减.

二犹%)极大值=犬—1)=10,兀乃极小值=/(2)=-17.

(2)由(1)知,0)在(—8,—1］和［2,+8)上单调递增,在区间(―1,2)上单调递

减.

mN—1,

.,.根+4W-1或加三2.

〔根+4W2

:.mW一5或m三2,

则机的取值范围是(一8,-5］U［2,+8).

3.(2019•宜春调研)已知函数/OOugf+XleX,其中e是自然对数的底数，a©R.

⑴当。>0时，解不等式於)W0；

(2)当。=0时，求整数/的所有值，使方程五x)=x+2在［/,/+1］上有解.

解(1)因为er>0,(ax2+x)e*W0,所以af+xWO.

又因为。>0,所以不等式化为xQ+0wO.

所以不等式加0三0的解集为［―%0.

(2)当a=0时，方程即为泥工=l+2,

由于e5O,所以x=0不是方程的解，

一-22

所以原方程等价于e*—:一1=0.令/z(x)=ex---1,

因为〃(%)=^+1>0对于XG(—8,0)U(0,+8)恒成立，

所以/z(x)在(一8,0)和(0,十8)内是单调递增函数，

又//(l)=e—3<0,/i(2)=e2—2>0,h(—3)=e3—j<0,

7i(—2)=e2>0,

所以方程於)=x+2有且只有两个实数根，且分别在区间［1,2］和［—3,—2］上，

所以整数/的所有值为{—3,1}.

X~\~CL

4.(2019•合肥―中质检)已知函数於)=h.

(1)若加0在区间(一8,2)上为单调递增函数，求实数。的取值范围；

(2)若a=Q,xo<L设直线y=g(x)为函数40的图像在x=xo处的切线，求证：

Hx)Wg(x).

,x—(1—a)

⑴解易知〃x)=-----G----，

由已知得了(x)》0对x©(—8,2)恒成立，

故xWl—a对xG(—8,2)恒成立，

1—aN2,...aW—1.

故实数a的取值范围为(一8,-1］.

Y

(2)证明当。=0时，则於)=#.

函数_/(x)的图像在龙=我处的切线方程为y=g(x)=f(xo)(x~xo)+/xo).

令A(x)=/x)—g(x)

=_/(x)—f(xo)(x—xo)一五阳))，x@R，

r1—X1~X0

则rh'(x)=/(x)-f(xo)=~r-—^-

(1-x)e'o-(1-xo)e*

—eA'+-ro

设0(x)=(l—x)e/o—(1—xo)-,xGR,

则e'(x)=-'exo—(l—阳))8，

*.*xo<l>9'(x)<0,

.,.0(x)在R上单调递减，而e(xo)=O,

.,.当x<xo时，9(x)>。，当x>xo时，9(x)<0,

.,.当x<xo时，h'(x)>0,当x>xo时，h'(x)<0,

在区间(一8,xo)上为增函数，在区间(X0，+8)上为减函数，.时，

〃(x)W/i(xo)=O,

•••Hx)Wg(x).

5.已知函数0nx—q,g(x)=x2—x.

(1)当a=0时，若g(x)勺(x)在区间(1,+8)上恒成立，求实数上的取值范围；

(2)是否存在常数上使得函数人x)和g(x)在区间(0,+8)上具有相同的单调性?

若存在，求出左的值；若不存在，请说明理由.

解(1)当a=0时，由g(x)勺(x)得Mnx<x,

Y

因为X>1,所以lnx>0,所以力在(1,+8)上恒成立.

人工eIn%—1

令心尸部(x>l),则《)=(1”)2,

由t'(x)=Q得x=e,

当l<x<e时,f(x)<0,7(x)在(1,e)上为减函数,

当x>e时，«x)>0,©)在(e,+8)上为增函数.

所以f(x)min=/(e)=e.所以实数上的取值范围为(一8,e).

(2)g(x)=f—x在(0,上单调递减，在g,+8)上单调递增.

2x1~k

函数段)=—-a,/(x)=，

当上WO时，/(x)>