广东省2020年高二数学上学期期中考试卷（六）

广东省2020年高二数学上学期期中考试卷（六）

（理科）

（考试时间120分钟满分150分）

一、单项选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共6（）分）

1.已知集合人={（x,y）|x,y为实数，且x2+y2=i},B={（x,y）|x,y为实数,且丫=*},则

AcB的元素个数为（）

A.0B.1C.2D.3

2.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是（I,0,1）,（1,1,0）,

（0,1,1）,（0,0,0）,画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到

3.圆（x+2）2+y2=4与圆（x-2）~+（y-1）2=9的位置关系为（）

A.内切B.相交C.外切D.相离

4.下列命题中正确的有（）个.

①若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线互相平行.

②空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

③四面体的四个面中，最多有四个直角三角形.

④若两个平面垂直，则一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线.

⑤若两个平面垂直，过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.

A.1B.2C.3D.4

5.直三棱柱ABC-A[B[C]中，若NBAC=90。，AB=AC=AA,,则异面直线BA1与AC]所成的

角等于()

A.30°B.45°C.60°D.90°

6.已知过点A(-2,m)和B(m,4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m的值为()

A.0B.-8C.2D.10

x-y〉0

7.已知x,y满足约束条件，x+y<2，若z=ax+y的最大值为4,则a=()

A.3B.2C.-2D.-3

8.过点P(1,1)的直线，将圆形区域｛(x,y)|x2+y2“｝分两部分，使得这两部分的面积之

差最大，则该直线的方程为()

A.x+y-2=0B.y-1=0C.x-y=0D.x+3y-4=0

9.过点A(a,a)可作圆x2+y2-2ax+a2+2a-3=0的两条切线，则实数a的取值范围为()

A.a<-3或B.l<a<-^C.a<-3D.-3<a<l或

222

10.已知A,B是球O的球面上两点，NAOB=90。，C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC

体积的最大值为36,则球O的表面积为（）

A.36TlB.64nC.144nD.256n

11.已知矩形ABCD,AB=1,BC=V2.将4ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，

在翻折过程中（）

A.存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直

B.存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直

C.存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直

D.对任意位置，三对直线"AC与BD","AB与CD","AD与BC"均不垂直

12.在平面直角坐标系中，两点Pi（xPyi）,P2（X2,y2）间的"L-距离"定义为|P1P2l=|xi-

x2l+lyi-y2l.则平面内与x轴上两个不同的定点F,,F2的"L-距离"之和等于定值（大于|F]F2l）

的点的轨迹可以是（）

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知两直线h：ax-2y+l=0,I2：x-ay-2=0.当a=时，

14.在平面直角坐标系xOy中，点A(-2,6)关于直线3x-4y+5=0的对称点的坐标

为.

15.已知x?+y2=4x,则x2+y2的取值范围是.

16.设mSR,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,

y).则|PA|・|PB|的最大值是.

三、解答题：(本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.在aABC中，已知AB=2,AC=3,A=60°.

(1)求BC的长；

(2)求sin2c的值.

18.Sn为数列｛an｝的前n项和，己知an>0,an2+2an=4Sn+3

(I)求｛aj的通项公式：

(II)设bn=—T—，求数列｛、｝的前n项和.

anan+l

19.如图，在三棱柱ABC-A]Bi5中，ZBAC=90°,AB=AC=2,A,A=4,A]在底面ABC的

射影为BC的中点，D是BQi的中点.

(1)证明：A]D_L平面A]BC；

(2)求二面角A]-BD-B,的平面角的余弦值.

20.在平面直角坐标系xoy中，已知圆C］：(x+3)2+(y-1)2=4和圆C2：(x-4)2+(y-

5)2=4

(1)若直线1过点A(4,0),且被圆C］截得的弦长为2愿，求直线1的方程

(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线h和12,它们分别与圆

G和C2相交，且直线h被圆C］截得的弦长与直线12被圆C2截得的弦长相等，求所有满足条

件的点P的坐标.

21.已知过原点的动直线1与圆C］：x?+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.

(1)求圆C］的圆心坐标；

(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；

(3)是否存在实数k,使得直线L：y=k(x-4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的

取值范围；若不存在，说明理由.

参考答案

一、单项选择题

1.C2.A.3.B,4.C.5.C.6.B.7.B8.A9.A.10.C.

11.B12.A.

二、填空题

13.解：•两直线h：ax-2y+l=0,12：x-ay-2=0相互垂直，

ax1-(-2)(-a)=0,

解得a=0

故答案为：0

14.解：设点A关于直线1：3x-4y+5=0对称点B的坐标为(a,b),

a-2-4号5=0

2

6

a+24

即於"O.

l4a+3b=10

解得a=4,b=-2,

所以点B的坐标为(4,-2).

故答案为：(4,-2).

15.解：・.・x2+y2=4x,J(x-2)2+y2=4,

故令x-2=2cos0,y=2sin0,

/.x2+y2=(2+2cos0)2+(2sin0)2

=4+8cos0+4cos20-i-4sin20

=8+8cos0,

Vcos0e[-1,1],

A8+8cos0e[O,16]

故答案为：[0,16]

16.解：有题意可知，动直线x+my=O经过定点A(0,0),

动直线mx-y-m+3=0即m(x-1)-y+3=0,经过点定点B(1,3),

注意到动直线x+my=0和动直线mx-y-m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点,

则有PA±PB,.,.|PA|2+|PB|2=|AB|2=10.

故|PA|・|PB|/PA」*D」,=5(当且仅当|PA|=|PB1=5^时取"=")

故答案为：5

三、解答题

17.解：(1)由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2-2AB»ACcosA=4+9-2x2x3x-=7,

2

所以BC47

(2)由正弦定理可得：-4^=-^,则sinC二暮sinA=2s曙。=厚,

sinCsinABCV77

VAB<BC,・・・C为锐角，

2

则cosC=71-sinc=^1-

因止匕sin2C=2sinCcosC=2x2ZZl.

777

18.解：(I)由aj+ZanFSn+B,可知an+J+2an+]=4Sn+]+3

两式相减得an+J-aj+2(an+i-an)=4an+i,

22

即2(an+i+an)=an+1-an=(an+1+an)(an+i-an)，

Van>0,Aan+i-an=2,

Vai2+2ai=4a]+3,

.*.ai=-1(舍)或ai=3,

则｛a0｝是首项为3,公差d=2的等差数列,

,｛a"的通项公式如=3+2(n-1)=2n+l：

(II)Van=2n+l,

***bn=anan+l~（2n+l）（2n+3）=2（初一薪），

数列｛bn｝的前n项和《-飘-%湍-表）46一六）=3（2^3）-

19.（1）证明：如图，以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、0A]所在直线分别为x、y、z

轴建系.

贝ijBC=V2AC=2V2-A]O=｛AA]2_A02=g

易知A]（0,0,V14），B（5/2-0，0），C（-近，0,0）,

A（0,近，0）,D（0,-A/2，A/14），B]（心V14）•

A^D=（0,-M，0），而=（-我，-V2>VH），

BfD=（-&,0,0）,BC=（-2V2,0,0）,西=（0,0,V14）­

VA7D«0A7=0,，AID，OAI，

又：不i•正=0,...AIDLBC,

又,.•OA]CBC=O,.,.A]D，平面A]BC；

(2)解：设平面A]BD的法向量为：=(x,y,z),

wA<D=0-V2y=0

由____\得

五

,m-BD=0-&x-ay+Jz=0'

取z=l,得涓（V7,0,I）,

设平面B]BD的法向量为；=（x,y,z）,

fii-B[D=0[-V2x-V2y+V14z=0

由彳，行4L

。•丽二0"V2x=0

取z=i,得:=（0，1），

—•—♦

・一--*、_m・n1_1

1rnGlG|2,2X2j2m

又•.•该二面角为钝角，

，二面角A,-BD-Bi的平面角的余弦值为-

20.解：(1)由于直线x=4与圆Ci不相交；

，直线1的斜率存在，设1方程为：y=k(x-4)

圆C］的圆心到直线1的距离为d,•••1被。Ci截得的弦长为2M

22=1

.-.d=^2-(V3)

I-1-7k|7

d=--10从而k(24k+7)=0即k=0或k.----

Vl+k224

直线1的方程为:y=0或7x+24y-28=0

(2)设点P(a,b)满足条件，

由题意分析可得直线h、b的斜率均存在且不为0，

不妨设直线1］的方程为y-b=k(x-a),kxO

则直线12方程为：y-b=-g(x-a)

k

V0C］和。C2的半径相等，及直线h被圆C］截得的弦长与直线12被圆C2截得的弦长相等,

/.OC］的圆心到直线1］的距离和圆C2的圆心到直线12的距离相等

整理得|l+3k+ak-b|=|5k+4-a-bk|

1+3k+ak-b=±(5k+4-a-bk)即(a+b-2)k=b-a+3或(a-b+8)k=a+b-5

fa+b-2=0a-b+8=0

因k的取值有无穷多个，所以或，

b-a+3=0a+b-5=0

4a=T

92

解得^'2或l日c

这样的点只可能是点P|-=）或点P2（

21.解:（1）VHC1：x2+y2-6x+5=0,

整理，得其标准方程为：（x-3）2+y2=4,

...圆Ci的圆心坐标为（3,0）；

（2）设当直线1的方程为丫=1«、A（xi，yi）、B（X2,y2）1

联立方程组[（x-3）之+了?：4

尸kx

消去y可得：（1+k2）x2-6x+5=0,

由4=36-4(1+k2)x5>0,可得k2Vg

5

6

由韦达定理，可得X]+X2=2，

1+k2

线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为其中

55

线段AB的中点M的轨迹C的方程为：（X-/2+y2*,其中

乙SJ

（3）结论：当ke[-2符，2当U{-旨3}时，直线L：y=k（x-4）与曲线C只有一个交

点.

理由如下：

((3、2,29

(X—