初中数学知识梳理点

七年级

第二章有理数

1.1正数与负数

正数

定义：比0大的数叫正数。

(1)[positivenumber]：大于。的数.若--个数大于零(>0),则称它是-一个正

数.正数的前面可以加上正号“+”来表示.正数有无数个，其中分正整数，正

分数和正无理数.几何意义正数的几何意义:数轴上0右边的数叫做正数。

负数

任何正数前加上负号都等于负数.负数比零，正数小在数轴线上，负数都在

0的左侧，没有最大与最小的负数，所有的负数都比自然数小比零小(<0)

的数.用负号(即相当于减号)“一”标记.如-2,-5.33,-45,-0.6等。

倒数：乘积为1的两个有理数互为倒数(reciprocal)..

若a、b互为倒数，则ab=l；

科学计数法：将一个数表示成axio的n次幕的形式，其中14间<10,n为整数，这种记数

方法叫科学记数法。

注意：(1)零没有倒数,也没有负倒数.

(2)aWO时,a的倒数为.

(3)求分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母颠倒位置即可.

(4)正数的倒数是正数,负数的倒数仍是负数.

(5)倒数等于它本身的数是±1.

1.2有理数

有理数是整数和分数的统称,•切有理数都可以化成分数的形式.

有理数可分为整数和分数也可分为正有理数,0,负有理数.除了无限不循环小数

以外的实数统称有理数.英文：rationalnumber读音：youIIshii整数和分数

统称为有理数，任何一个有理数都可以写成分数m/n(m,n都是整数，且nWO)的

形式.任何一个有理数都可以在数轴上表示.其中包括整数和通常所说的分数，此

分数亦可表示为有限小数或无限循环小数.

无理数,即非有理数之实数,不能写作两整数之比.若将它写成小数形式，小数点

之后的数字有无限多个,并且不会循环.常见的无理数有大部分的平方根、口和e

(其中后两者同时为超越数)等.无理数的另一特征是无限的连分数表达式.传说

中,无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯斯发现.他以几何方法证明无法用整

数及分数表示.而毕达哥拉斯深信任意数均可用整数及分数表示,不相信无理数

的存在.但是他始终无法证明不是无理数,后来希伯斯将无理数透露给外人——

此知识外泄一事触犯学派章程——因而被处死,其罪名等同于“渎神”.

1.3数轴

规定了唯一的原点(origin),唯一的正方向和唯一的单位长度的直线叫数轴。

原点、正方向、长度单位称数轴的三要素，这三者缺一不可.

1.4绝对值和相反数

绝对值：在数轴上,一个数与原点的距离叫做该数的绝对值(absolutevalue).

中学中的定义是坐标轴上的点到原点的距离.

【相反数】只有符号不同的两个实数，其中一个叫做另一个的相反数。零的相反数是零。

【绝对值】一个正数的绝对值是它本身，一个负数绝对值是它的相反数，零的绝对值为零。从数轴上看，

一个实数的绝对值是表示这个数的点离开原点距离。

1.5有理数运算

⑴有理数的加法法则：

1.同号两数相加,和取相同的符号,并把绝对值相加；

2.绝对值不等的异号两数相加,和取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对

值减去较小的绝对值；

3.•个数与零相加仍得这个数；

4.两个互为相反数相加和为零.

⑵有理数的减法法则：

减去一个数等于加上这个数的相反数.

补充：去括号与添括号：

去括号法则：括号前是“+”号时,将括号连同它前边的“+”号去掉，括号内各项

都不变；括号前是“一”号时,将括号连同它前边的“一”去掉，括号内各项都要

变号.

添括号法则：在“+”号后边添括号，括到括号内的各项都不变；在“一”号后边

添括号，括到括号内的各项都要变号.

⑶有理数的乘法法则：

①两数相乘，同号得正,异号得负,并把绝对值相乘；

②任何数与零相乘都得零；

③几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个数,

积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正；

④几个有理数相乘,若其中有一一个为零,积就为零.

⑷有理数的除法法则：

法则一：两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；

法则二：除以一个数等于乘以这个数的倒数.

⑸有理数的乘方：求n个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的给果叫做募.

正数的任何次第都是正数；负数的奇次募是负数,负数的偶次募是正数.

⑹有理数的运算顺序：

有理数的混合运算法则即先算乘方或开方,再算乘法或除法,后算加法或减法.有

括号时、先算小括号里面的运算,再算中括号,然后算大括号.

[5*(4-5+5)]+5

=(5*4)4-5

=4

⑺运算律：

①加法的交换律：a+b=b+a；

②加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c)；

③乘法的交换律：ab=ba；

④乘法的结合律：（ab）c=a（be）；

⑤乘法对加法的分配律：a（b+c）=ab+ac；

注：除法没有分配律.

第三章代数与式

2.1字母表示数

字母可以表示任意的数，也可以表示特定意义的公式，还可以表示符合条件的某

一个数，甚至可以表示具有某些规律的数，总之字母可以简明地将数量关系表示

出来。比如：A可以表示一个集合；f（x）表示x的函数等等。字母表示数是数学

史上的一次大的发展。

用字母表示数的意义：有助于概念的本质特征，能使数量的关系变得更加简明，

更具有普遍意义。使思维过程简化，易于形成概念系统。

注意：

1.用字母表示数时，数字与字母，字母与字母相乘，中间的乘号可以省略不

写；或用（点）表示。

2.字母和数字相乘时，省略乘号，并把数字放到字母前。

3.出现除式时，用分数表示。

4.结果含加减运算的，单位前加“（）%

5.系数是带分数时，带分数要化成假分数。

2.2代数式

由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式

子，或含有字母的数学表达式称为代数式。例如：ax+2b,-2/3,bA2/26,Na+、2

等。注意：1、不包括等于号（=、三）、不等号（r、<>>><、>、«、才）、

约等号〜2、可以有绝对值。例如：|x|,|-2.25|等。

在实数范围内，代数式分为有理式和无理式。

有理式

有理式包括整式（除数中没有字母的有理式）和分式（除数中有字母且除数不

为0的有理式）。这种代数式中对于字母只进行有限次加、减、乘、除和整数次

乘方这些运算.

整式有包括单项式（数字或字母的乘积或单独的一个数字或字母）和多项式

（若干个单项式的和）。

1.单项式

没有加减运算的整式叫做单项式。

单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式（或字母因数）的数字系数,

简称系数

单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数

使式

有理式

代TI分或

2.多项式

几个单项式的代数和叫做多项式；多项式中每个单项式叫做多项式的项。不

含字母的项叫做常数项。

多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。

齐次多项式：各项次数相同的多项式叫做齐次多项式。不可约多项式：次数大于

零的有理系数的多项式，不能分解为两个次数大于零的有理数系数多项式的乘积

时，称为有理数范围内不可约多项式。实数范围内不可约多项式是一次或某些二

次多项式，复数范同内不可约多项式是一次多项式。对称多项式：在多元多项式

中，如果任意两个元互相交换所得的结果都和原式相同，则称此多项式是关于这

些元的对称多项式。同类项：多项式中含有相同的字母，并且相同字母的指数也

分别相同的项叫做同类项。

无理式

含有字母的根式或字母的非整数次乘方的代数式叫做无理式。

代数式书写格式

(1)两字母相乘、数字与字母相乘、字母与括号相乘以及括号与括号相乘时，

乘号都可以省略不写.如："X与y的积”可以写成“xy”；“a与2的积”应写成“2a”,

“m、n的和的2倍”应写成“2(m+n)”。

(2)字母与数字相乘或数字与括号相乘时，乘号可省略不写，但数字必须写

在前面.例如“xx2”要写成‘2x"，不能写成“x2”；“长、宽分别为a、b的长方形的周

长”要写成“2(a+b)”，不能写成“(a+b)2”。

(3)代数式中不能出现除号，相除关系要写成分数的形式

(4)数字与数字相乘时，乘号(也可以写作•)仍应保留不能省略，或直接计算

出结果.例如“3x7xy”不能写成“37xy”，最好写成“21xy”。

代数式数式的运算

合并同类项：把多项式中同类项合并成一项，叫做合并同类项。合并同类项

的法则是：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。

去括号法则：括号前足“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都

不变符号；括号前是“一”号，把括号和它前面的“一”号去掉，括号里各项都改变

符号。

添括号法则：添括导后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；

添括号后，括号前面是“一”号，

括到括号里的各项都改变符号。

2.3代数式的值

用数值代表代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数

式的值。

第四章-元一次方程

3.1-元-次方程：只含有一个未知数、未知数的最高次数为1的等式叫做一元

一次方程(linearequationinoneunknown)；使方程左右两边的值相等的未

知数的值，叫做方程的解(solution)

标准形式

一元一次方程的标准形式(即所有一元一次方程经整理都能得到的形式)是ax=b(

«WO)。其中&是未知数的系数，匕是常数，落是未知数。未知数一般常设为工儿2。

一元一次方程方程特点

(1)该方程为整式方程。

(2)该方程有且只含有一个未知数。

(3)该方程中未知数的最高次数是1。

满足以上三点的方程，就是一元一次方程。

一元一次方程判断方法

要判断一个方程是否为•元一次方程，先看它是否为整式方程。若是，再对它进行整理。如果能整理为

tfx+=0

的形式，则这个方程就为一元一次方程。里面要有等号，且分母里不含未知数。

变形公式(目，匕为常数，X为未知数，且0W。)

一元一次方程求根公式

一元一次方程的标准形式：ax+b=0(a#0)

其求根公式为：x=-b/a

一元一次方程只有一个根

一元一次方程通常解法

去分母一去括号一移项-合并同类项一未知项系数化为1(即化为x=a的形式)

一元一次方程两种类型

（1）总量等于各分量之和。将未知数放在等号左边，常数放在右边。如：

x+2x+=6

（2）等式两边都含未知数。如：

300x+400=400%

41）X420=60x

第六章平面图形的认识1

如直线、射线、角、三角形、平行四边形、长方形（正方形）、梯形和圆都是几

何图形，这些图形所表示的各个部分都在同一平面内，称为平面图形。

6.1线段射线和直线

1.直线：一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两

方无限延伸的。一条直线可以用一个小写字母表示，如直线1;

2.射线：直线上一点和它一旁的部分叫做射线。这个点叫做射线的端点。一条射

线可以用端点和射线上另一点来表示,如射线1或射线0A；

3.线段：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点。

一条线段可用它的端点的两个大写字母来表示，如线段AB；

4.

（1）线和射线无长度，线段有长度；

（2）直线无端点，射线有一个端点，线段有两个端点。

6.2角

在几何学中，角是由两条有公共端点的射线组成的几何对象。这两条射线叫

做角的边，它们的公共端点叫做角的顶点。一般的角会假设在欧几里得平面上,

但在欧几里得几何中也可以定义角。角在几何学和三角学中有着广泛的应用。

几何之父欧几里得曾定义角为在平面中两条不平行的直线的相对斜度。

角的静态定义（初中定义）

具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点叫做角的顶点，

这两条射线叫做角的两条边。

角的动态定义（高中定义）

一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。

所旋转射线的端点叫做角的顶点，开始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射

线叫做角的终边。意义：为了消除运算局限，突破角度范围。

6.3余角，补角，对顶角

余角和补角：两角之和为90。则两角互为余角，两角之和为180°则两角互为

补角。等角的余角相等，等角的补角相等。

对顶角：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向

延长线，这样的两个角叫做互为对顶角。两条直线相交，构成两对对顶角。互为

对顶角的两个角相等。

邻补角：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种

关系的两个角，互为邻补角。

内错角：互相平行的两条直线，被第三条直线所截，如果两个角都在两条直

线的

厂内错角，同旁内角，同位角

内侧，并且在第三条直线的两侧，那么这样的一对角叫做内错角(alternate

interiorangle)。如：N1和N6,N2和N5。

同旁内角：两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置

关系的-一对角互为同旁内角。如：N1和N5,N2和N6。

同位角：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧,具有这

样位置关系的一对角叫做同位角(correspondingangles)：N1和N8,N2和N7。

外错角：两条直线被第三条直线所截，构成了八个角。如果两个角都在两条

被截线的外侧，并且在截线的两侧，那么这样的一对角叫做外错角。例如：Z4

与N7,N3与N8。

同旁外角：两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之外，具有这样位置

关系的一对角互为同旁外角。如：N4和N8,N3和N7。

终边相同的角：具有共同始边和终边的角叫终边相同的角。与角a终边相同

的角属于集合：

A={b|b=k360°+a,k£Z}表示角度制内所有角的集合；

8={b|b=2RiT+a,k£Z}表示弧度制内所有角的集合。

二者实质上是相同的，只是符号表述不同。即，这里4=8

6.4平行

在平面上两条直线、空间的两个平面以及空间的一条直线与一平面之间没有任何

公共点时，称它们平行。如图直线AB平行于直线CD,记作AB〃CD。平行线

在无限远的地方相交。

平面内平行的性质

1.两条直线平行,同旁内角互补。

2.两条直线平行,内错角相等。

3.两条直线平行,同位角相等。

4.在同一平面内,经过直线外一点能且只能画一条直线与这条直线平

行。

5.在同一平面内，若两条直线分别与另一条直线互相平行，则这两条

直线也互相平行。

平面内平行线的判定

1.同旁内角互补，两直线平行。

2.内错角相等，两直线平行。

3.同位角相等，两直线平行。

4.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。

5.平行于同一条直线的两条直线互相平行。

6.5垂直

垂岂，是指一条线与另一条线相交成90°,这两条直线互相垂直。通常用符号“L'

表不。

第七章图形的认识

7.3图形的平移

平移，是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的

移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移。平移不改变图形的形状

和大小。图形经过平移，对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段相等。

第八章募的运算

籍的运算公式：

①同底数基相乘：a*m•a*n=a"(m+n)

②募的乘方：(a-m)n=a-mn

③积的乘方：(ab)*m=a*m,b*m

④同底数募相除：a'm4-a*n=a*(m-n)(aWO)

这些公式也可以这样用：⑤a"(m+n)=a"m•a~n

@a*mn=(a'm),n

⑦am,bm=(ab)m

⑧a(m-n)=amH-an(aWO)

第九章整式乘法及因式分解

把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。因式分

解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。

而在竞赛上，又有拆项和添减项法、分组分解法和十字相乘法、待定系数法、双十字相乘法、对称多项式

轮换对称多项式法、余数定理法、求根公式法、换元法、长除法、除法等。

因式分解法方法一.提公因式法

几个多项式的各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。如果一个多项式的各项有公因式，

可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法。

具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，

而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。如果多项式的第一项是负的，

一般要提出号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出号时，多项式的各项都要变号。口诀：找准

公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守。

要变号，变形看正负。

例如：(注：x”表示x的2次方)

-am+bm+cm=-m(a-b-c)；

a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)o

注意:把2a八2;+1/2变成2(aA2;+1/4)不叫提公因式

因式分解法方法二.公式法

如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。

平方差公式：aA2;-bA2;=(a+b)(a-b)；

AAA

完全平方公式：a2;±2ab+b2;=(a±b)2;:

注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的

形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。

立方和公式：aA3;+bA3;=(a+b)(aA2;-ab+bA2;)；

立方差公式：aA3;-bA3;=(a-b)(aA2;+ab+bA2;)；

完全立方公式：aA3;±3aA2;b+3abA2;±bA3;=(a±b)A3;.

其他公式：(1)aA3;+bA3;+c"3;+3abe=(a+b+c)(aA2;+bA2;+cA2;-ab-bc-ca)

例如：aA2;+4ab+4bA2;=(a+2b)A2;。

因式分解法方法三.待定系数法

例如，将axA2;+bx+c(a,b,c是常数，at#O)因式分解，可令axA2;+bx+c=0,再解这个方程。如果方程无解，

则原式无法因式分解；如果方程有两个相同的实数根(设为m),则原式可以分解为(x-m)"2;；如果方程

有两个不相等的实数根(分别设为m,n),则原式可以分解为(x-m)(x-n)。

更高次数的多项式亦可。

例：分解因式xA2;+3x-4。

答：xA2;+3x-4=0

解方程得：x1=1x2=-4

.-.xA2;+3x-4因式分解为(x-1)(x+4)

因式分解法方法四.十字相乘法

十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加

等于一次项系数。其实就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解。

十字分解法能把某些二次三项式分解因式。对于形如ax?+bx+c=(apc+Ci)(a2X+C2)的整式来说，方法的关

键是把二次项系数a分解成两个因数21启2的积21已2，把常数项C分解成两个因数Ci,C2的积C/C2，并使

a^Cz+a2cl正好等于一次项的系数b,那么可以直接写成结果:ax2+bx+c=(aix+ci)(azX+c2)。在运用这种

方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会，它的实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，

往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。基本式子：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)。

2x-4)

第十章二元一次方程组

10.1

把两个含有相同未知数的一次方程联合在一起，那么这两个方程就组成了一

个二元一次方程组。

二元一次方程定义：一个方程含有两个未知数，并且未知数的次数都是1

的整式方程，叫二元一次方程。

二元一次方程组定义：含有两个相同未知数的两个一次方程所组成的方程组

叫做二元一次方程组。

二元一-次方程的解：适合一个二元一-次方程的一组未知数的值，叫做这个二

元一次方程m的其中一个解。

二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元

一次方程组的解。二元一次方程组的解必是它所含的二元一次方程的解。

10.2

代入消元法

(1)概念：将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来,

代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，最后求得方程组的解.这种

解方程组的方法叫做代入消元法，简称代入法户

(2)代入法解二元一次方程组的步骤

①选取一个系数较简单的二元一次方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个

未知数；

②将变形后的方程代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程(在

代入时，要注意不能代入原方程，只能代入另一个没有变形的方程中，以达到消元的目的.)；

③解这个一元一次方程，求出未知数的值；

④将求得的未知数的值代入①中变形后的方程中，

求出另一个未知数的值；

⑤用T联立两个未知数的值，就是方程组的解；

⑥最后检验(代入原方程组中进行检验，方程是否满足左边=右边).

加减消元法

（1）概念：当方程中两个方程的某一未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方

程的两边相加或相减来消去这个未知数，从而将二元一次方程化为一元一次方程，最后求得

方程组的解，这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法产

（2）加减法解二元一次方程组的步骤

①利用等式的基本性质，将原方程组中某个未知数的系数化成相等或相反数的形式；

②再利用等式的基本性质将变形后的两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一-

个一元一次方程（一定要将方程的两边都乘以同一个数，切忌只乘以一边，然后若未知数系

数相等则用减法，若未知数系数互为相反数，则用加法）；

③解这个一元一次方程，求出未知数的值；

④将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程中，

求出另一个未知数的值；

⑤用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解

第H^一■章一元一次不等式

11.1不等式

用不等号表示不等关系的式子叫做不等式。

11.2一元一次不等式

含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。

（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1；

（6）把解集表示在数轴上（依题目要求）.

注意：整个步骤与解一元一次方程类似，不同的是：当不等式两边乘以（或除

以）同一个负数时，不等号的方向必须改变。

不等式组：

由儿个含有同一个未知数的一兀一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组

（systemoflinearineqnalitiesinonevariable）。不等式组中所有不等式的解集的公共部

分■的做这个不等式组的解集。求不等式组的解集的过程叫做解不等式组。111

第十二章证明

12.2定义与命题

命题的定义

一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫

做命题。其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题

定义与命题的区别

命题:一个陈述句就是命题.比如说〃同位角相等”,虽然错但还是命题.定义是指一个词语的

解释,属于命题范畴，一定是真命题.可以用〃如果...一那么”的形式说.比如“如果两直线平

行，那么同位角相等“

12.3互逆命题

定义：在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一个命题的题干和结

论，则称它们为互逆命题。

两个互为逆命题的命题。在命题的四种形式中，原命题与逆命题，否命题与

逆否命题是两对互逆命题。

比如说有"假如事件A为真，则事件B也为真"

那么它的逆命题就是"假如事件B为真，则事件A也为真"

八年级

第­章图形的全等

1.1全等图形

能够完全重合的两个图形叫做全等形。

1.2全等三角形

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，“全等”用符号“g”表示，读作“全等于”.

当两个三角形完全重合时,互相重合的顶点叫做对应顶点,互相重合的边叫做对应边,互相重

合的角叫做对应角.由此，可以得出：全等三角形的对应边相等,对应角相等.

定理：

1、三组对应边分别相等的两个三角形全等（简称SSS或“边边边”），这一条也说明了三角形

具有稳定性的原因.

2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS或“边角边”）.

3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA或“角边角”）.

4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS或“角角边”）

5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL或“斜边,

直角边”）所以,SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理.

注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA,这两种情况都不能唯一确定三角形的形状.

三角形全等的性质：

1.全等三角形的对应角相等.

2.全等三角形的对应边相等.

3.全等三角形的对应边上的高对应相等.

4.全等三角形的对应角的角平分线相等.

5.全等三角形的对应边上的中线相等.

6.全等三角形面积相等.

7.全等三角形周长相等.

8.全等三角形的对应角的三角函数值相等.

第二章轴对称图形

2.1轴对称与轴对称图形

在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图

形叫做轴对称图形(axialsymmetricfigure),这条直线叫做对称轴(axisofsymmetric),并

且对称轴用点画线表示；这时，我们也说这个图形关于这条直线对称。比如圆、正方形、等

腰三角形、等边三角形、等腰梯形等。

2.2性质

1.对称轴是一条直线。

2.在轴对称图形中，对称轴两侧的对应点到对称轴两侧的距离相等。

3.在轴对称图形中，沿对称轴将它对折，左右两边完全重合。

4.如果两个图形关于某条直线对称，那么这条直线就是对称轴且对称轴垂直平分对称

点所连线段。

5.图形对称。

定理1：关于某条直线对称的两个图形是全等形。

定理2：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。

定理3：两个图形关于某条直线对称，如果对称轴和某两条对称线段的延长线相交，

那么交点在对称轴

上。

定理3的逆定理：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图

形关于这条直线对称。

第三章勾股定理和平方根

3.1勾股定理

勾股定理是一个基本的初等几何定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果

直角三角形两直角边为a和b,斜边为c,那么a?+b2=c2,若a、b、c都是正整数，(a,b,c)

叫做勾股数组。

勾股定理的证明

b

b

a

做8个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a.b,斜边长为c.

惠做三个边长分别为a、b.c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.

从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a+b,所以面积相等.即

a3+内244>-ah-cJ+4x—

22整理得a2+b3=c\

加菲尔德证法

加菲尔德在证出此结论5年后，成为美国第20任总统，所以人们又称其为“总统证法”。

在直角梯形ABDE中，ZAEC=ZCDB=90°,AAEC^ACDB,

AE=CD=b

CL=HD=a

AC=HC=c

r,帅

S&AEC=^&CDB=~2~

uC2

—j

(tf+bJxla+M

^ALDB=----i-----

“总统证法”示意图

SAXEC+S&CDB+5AACB=SAEDE

他帅C2_仅+何

■■1T+T+7=-T-

/=/4■产

勾股定理加菲尔德证法变式

该证明为加菲尔德证法的变式。

如果将大正方形边长为c的小正方形沿对角线切开，则回到了加菲尔德证法。相反,

若将上图中两个梯形拼在一起，就变为了此证明方法。

大正方形的面积等于中间正方形的面积加上四个三角形的面积，即：

1、2

4abx—+c^=(a+bl

2ab+d=/4房+2ab

勾股定理欧几里得证法

在欧几里得的《几何原本》一书中给出勾股定理的以下证明。设AABC为一直角三角

形，其中八为直角。从4点划一直线至对边，使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方

形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。

在这个定理的证明中，我们需要如下四个辅助定理：

•如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。

(SAS)

三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。

任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。

任意一个矩形的面积等于其二边长的乘积(据辅助定理3)。

H

A

欧几里得证法(2张)

证明的思路为：从4点划一直线至对边，使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方

形一分为二，把上方的两个正方形，通过等高同底的三角形，以其面积关系，转换成下方两

个同等面积的长方形。

1.设AABC为一直角三角形，其直角为NCAB。

2.其边为BC、AB和CA,依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。

3.画出过点A之BD、CE的平行线，分别垂直BC和DE于K、1_。

4.分别连接CF、AD,形成ABCF、ABDAO

5.NCAB和/BAG都是直角，因此C、A和G共线，同理可证B、A和H

共线。

6.NCBD和NFBA都是直角，所以NABD=NFBC。

7.因为AB=FB,BD=BC,所以AABD^^FBC。

8.因为A与K和L在同一直线上，所以四边形BDLK=2AABD。

9.因为C、A和G在同一直线上，所以正方形BAGF=2AFBC。

10.因止匕四边形BDLK=BAGF=AB2。

11.同理可证，四边形CKLE=ACIH=AC2。

12,把这两个结果相加，AB2+AC2=BDxBK+KLxKC

13.由于BD=KL,BDXBK+KLXKC=BD(BK+KC)=BDXBC

14.由于CBDE是个正方形，因此AB2+AC2=BC2,即a2+b2=c2。

3.2平方根

平方根，又叫二次方根，表示为（土厂），其中属于非负数的平方根称之为算术平方

根（arithmeticsquareroot）。一个正数有两个实平方根，它们互为相反数；。只有一个平

方根，就是。本身；负数有两个共甄的纯虚平方根。

一般地，“厂”仅用来表示算术平方根，即非负数的非负平方根。如：数学语言为：4

-16=4。语言描述为：根号下16=4

第五章一次函数

5.1函数

一般的，在一个变化过程中，假设有两个变量x、y,如果对于任意一个x都有唯一确定的一个y和它对应，

那么就称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量，x的取值范围叫做这个函数的定义域，相应y的取

值范围叫做函数的值域。

5.2一次函数

一般地，形如y=kx+b（k,b是常数，"0）的函数叫做一次函数。其中x是自变量，y是因

变量，k为一次项系数，y是x的函数。其图象为一条直线。当b=0时，y=kx+b即y=kx,

原函数变为正比例函数（directproportionfunction）,其函数图象为一条通过原点的直线。

所以说正比例函数是一种特殊的一次函数，但一次函数不一定是正比例函数。

第七章数据的收集整理和描述

1.我们利用划记法整理数据

2.数据的描述：为了更直观地看出上表中的信息，我们还可以用条形统计图和扇形统计图来

描述数据

3.全面调查：考察全体对象的调查方式叫做全面调查。

4.抽样调查：抽样调查是，一种非全面调查，它是从全部调查研究对象中，抽选一部分单位

进行调查，并据以对全部调查研究对象作出估计和推断的一种调查方法。显然，抽样调查虽

然是非全面调查，但它的目的却在于取得反映总体情况的信息资料，因而，也可起到全面调

查的作用。

5.抽样调查分类：根据抽选样本的方法，抽样调查可以分为概率抽样和非概率抽样两类。概

率抽样是按照概率论和数理统计的原理从调查研究的总体中，根据随机原则来抽选样本，并

从数量上对总体的某些特征作出估计推断，对推断出可能出现的误差可以从概率意义上加以

控制。习惯上将概率抽样称为抽样调查。6.总体：要考察的全体对象称为总体。

7.个体：组成总体的每一个考察对象称为个体。

8.样本：被抽取的所有个体组成一个样本。为了使样本能够正确反映总体情况，对总体要有

明确的规定；总体内所有观察单位必须是同质的；在抽取样本的过程中，必须遵守随机化原

则；样本的观察单位还要有足够的数量。又称“子样”。按照一定的抽样规则从总体中取出的

一部分个体。

9.样本容量：样本中个体的数目称为样本容量。

10.频数：一般地，我们称落在不同小组中的数据个数为该组的频数。也称次数。在一组依

大小顺序排列的测量值中，当按一定的组距将其分组时出现在各组内的测量值的数目，即落

在各类别（分组）中的数据个数。

11.频率：频数与数据总数的比为频率。在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验

中，事件A发生的次数n（A）称为事件A发生的频数。比值nA/n称为事件A发生的频率，

并记为fn（A）.用文字表示定义为：每个对象出现的次数与总次数的比值是频率。

（1）当重复试验的次数n逐渐增大时，频率fn（A）呈现出稳定性，逐渐稳定于某个常数，这

个常数就是事件A的概率.这种“频率稳定性”也就是通常所说的统计规律性。（2）频率不等

同于概率.由伯努利大数定理，当n趋向于无穷大的时候，频率fn（A）在一定意义下接近于概

率P（A）.频率公式：频数'总体数量=频率

12.组数和组距：在统计数据时，把数据按照一定的范围分成若干各组，分成组的个数称为

组数，每一组两个端点的差叫做组距。

14.列频数分布表的注意事项

运用频数分布直方图进行数据分析的时候，一般先列出它的分布表，其中有几个常用的公式:

各组频数之和等于抽样数据总数；各组频率之和等于1；数据总数x各组的频率=相应组的频

数。

画频数分布直方图的目的,是为了将频数分布表中的结果直观、形象地表示出来，其中组距、

组数起关键作用，分组过少，数据就非常集中；分组过多，数据就非常分散，这就掩盖了分

布的特征，当数据在100以内时，一般分5~12组。15.直方图的特点

通过长方形的高代表对应组的频数与组距的比（因为比是一个常数，为了画图和看图方便，

通常直接用高表示频数），这样的统计图称为频数分布直方图。它能：①清楚显示各组频数

分布情况；②易于显示各组之间频数的差别。

15.制作频数分布直方图的步骤

（1）找出所有数据中的最大值和最小值，并算出它们的差。（2）决定组距

和组数。（3）确定分点。（4）列出频数分布表。（5）画频数分布直

方图。

第八章认识概率

8.1

1在一定的条件下重复进行试验时,有的事件在每次试验中必然会发生,这样的事件叫必然

发生的事件,简称必然事件.

有些事情我们事先肯定它一定会发生,这些事情称为必然事件.

2概率论中把在一定条件下不可能发生的事件叫不可能事件.

人们通常用0来表示不可能事件发生的可能性.即：不可能事件的概率为0.

但概率为0的事件不一定为不可能事件.

3必然事件和不可能事件统称为确定事件.

4在随机试验中,可能出现也可能不出现,而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做

随机事件，简称事件.随机事件通常用大写英文字母A、B、C等表示.

8.2

概率：表示一个时间发生的可能性大小的数,叫做该事件的概率.

频率：当重复试验的次数n逐渐增大时,频率呈现出稳定性,逐渐接近于某个常数,这个常数

就是事件的频率.当n趋向于无穷大的时候,频率可以等于概率.

概率是一种现象的固有属性，比如一枚均匀的硬币，随意抛掷的话正面出现的概

率就是1/2。这跟你的实验是没有关系的。

频率，就是一组实验中关心的某个结果出现的次数比上所有实验次数的比值，它

和实验密切相关。一般来说，随着实验次数的增多，频率会接近于概率。比如你

抛掷均匀的硬币10000次，出现正面的频率就会非常接近于概率0.5.

1、他们都是统计系统各元件发生的可能性大小；

2、频率一般是大概统计数据经验值，概率是系统固有的准确值；

3、频率是近似值，概率是准确值；

4、频率值一般容易得到，所以一般用来代替概率

第九章中心对称图形一平行四边形

9.1图形的旋转

在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。

这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。

图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其

中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大

小和形状没有改变。

9.2对称

中心对称：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180。，如果旋转后的图形与另一个

图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称(Centralofsymmetry

graph),这个点叫做它的对称中心(Centerofsymmetry),旋转180°后重合的两个点叫做

对称点(correspondingpoints)o

中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180。，如果旋转后的图形能与

原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心.

9.3平行四边形

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形工平行四边形一般用图形名称加四个顶

点依次名称。注：在用字母表示四边形时，一定要按顺时针或逆时针方向注明各顶点，否则

是错误的。

判定

1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义判定法)；

2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形(两组对边平行判定)；

5.对角线互相平分的四边形是平行四边形。

性质

(矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。)

D

矩形

性质：

(1)如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。

(简述为“平行四边形的两组对边分别相等哨)

(2)如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。

(简述为“平行四边形的两组对角分别相等哨)

(3)如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的邻角互补。

(简述为“平行四边形的邻角互补”)

(4)夹在两条平行线间的平行的高相等。(简述为“平行线间的高距离处处相等”)

(5)如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分。

(简述为“平行四边形的对角线互相平分咽)

(6)连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。(推论)

(7)平行四边形的面积等于底和高的积。(可视为矩形。)

(8)过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。

(9)平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点.

(10)平行四边形不是轴对称图形，但平行四边形是中心对称图形。矩形和菱形是轴

对称图形。注：正方形，矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形，三者具有平行四边形的

性质。

(11)平行四边形ABCD中(如图)E为AB的中点，则AC和DE互相三等分，一

般地，若E为AB上靠近A的n等分点，则AC和DE互相(n+1)等分。

(12)平行四边形ABCD中，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，则各四边的平

方和等于对角线的平方和。

(13)平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等份。

(14)平行四边形中，两条在不同对边上的高所组成的夹角，较小的角等于平行四边

形中较小的角，较大的角等于平行四边形中较大的角。

(15)平行四边形的面积等于相邻两边与其夹角正弦的乘积

辅助线

一、连接对角线或平移对角线。131

二、过顶点作对边的垂线构成直角三角形。

三、连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构成线段平行或

中位线。

四、连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造相似三角形或等积三角形。

五、过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等。141

平行四边形面积、周长

1、（1）平行四边形的面积公式：底X高（可运用割补法，推导方法如图）；如用“h”

表示高，"a"表示底，"S"表示平行四边形面积，则S平行四边形=a*h。[3]

（2）平行四边形的面积等于两组邻边的积乘以夹角的正弦值；如用“a”“b”表示两组邻

边长，a表示两边的夹角，"S”表示平行四边形的面积，则S平行四边形=ab*sina。

2、平行四边形周长：四边之和。可以二乘（底1+底2）；如用“a”表示底1,"b"表示

底2,“c平”表示平行四边形周长，贝怦行四边的周长c=2（a+b）。向

9.4矩形

矩形的定义

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

性质

1.矩形的4个角都是直角.

2.矩形的对角线相等且互相平分.

3.矩形是轴对称图形,也是中心对称图形,它至少有两条对称轴.

4.矩形具有平行四边形的各种性质.

判定

1、三个角是直角的四边形叫做矩形.

2、对角线相等且互相平分的四边形是矩形.

3、有一个角是直角的平行四边形是矩形.

4、长方形和正方形都是矩形.

5、平行四边形的定义在矩形上适用.

9.5菱形

定义:一组邻边相等的平行四边形叫做菱形

性

对角线互相垂直且平分；

四条边都相等；

对角相等，邻角互补；

每条对角线平分一组对角，

判定

一组邻边相等的平行四边形是菱形

四边相等的四边形是菱形

对角线互相垂直且平分的四边形是菱形.

依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形.不管原四边形的形状怎样改变,中

点四边形的形状始终是平行四边形.菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的

中点四边形定为矩形），对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形.

菱形是在平行四边形的前提下定义的,首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形,特殊

之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方

法.

菱形面积

1.对角线乘积的一半（只要是对角线互相垂直的四边形都可用）；

2,底乘高.

特征

顺次连接菱形各边中点为矩形

正方形是特殊的菱形,菱形不一定是正方形,所以,在同一平面上四边相等的图形不只是正方

形.

9.5正方形

定义

有一组邻边相等并且有一角是直角的平行四边形叫做正方形（square）.

性质

①正方形的四个角都是直角，四条边都相等;

②正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.

判定

因为正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，所以我们判定正方形有四个途径

①有一组邻边相等的矩形是正方形

②有一个角是直角的菱形是正方形

③两条对角线相等，且互相垂直平分的四边形是正方形

④两条对角线相等，且互相垂直的平行四边形是正方形

面积

①正方形面积=边长的平方S=aXa（S表示正方形的面积，a表示正方形的边长）

②对角线乘积的一半

周长

正方形周长=边长X4用“a”表示正方形的边长，“C”表示正方形的周长，则C=4a

9.7三角形的中位线

三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.

定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半

若在一个三角形中，一条线段是平行于一条边，且等于平行边的一半（这条线段的端点必须是交于另外两

条边上的中点），这条线段就是这个三角形的中位线。

第4^一■章分式

11.1分式

一般地，如果A、B（B不等于零）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子A/B就叫

做分式，其中A称为分子，B称为分母。分式是不同于整式的一类代数式。

注意：判断一个式子是否是分式，不要看式子是否是A/B的形式，关键要满足：分式

的分母中必须含有字母,分子分母均为整式。无需考虑该分式是否有意义，即分母是否为零。

由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性。

分式条件

1.分式有意义条件：分母不为0。

2.分式值为0条件：分子为0且分母不为0o

3.分式值为正（负）数条件：分子分母同号得正，异号得负。

4.分式值为1的条件：分子=分母羊0。

5.分式值为-1的条件：分子分母互为相反数，且都不为0o

代数式分类

整式和分式统称为有理式。

带有根号且根号下含有字母的式子叫做无理式。

无理式和有理式统称代数式。[1]

11.2分式的性质

分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为。的整式，分式的值不变。用式子

表示为：

A_AxC_A4C

B-BxC-6;C

（A,B,C为整式，且B、C#0）

11.3分式的运算

运算法则

分式约分

根据分式基本性质，可以把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式

的约分。约分的关键是确定分式中分子与分母的公国笫

约分步骤：1.如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们

的公因式约去。

2.分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去。

公因式的提取方法：系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母共有的

字母，指数取公共字母的最小指数，即为它们的公因式。

最简分式：一个分式不能约分时，这个分式称为最简分式。约分时，一般将一个分式

化为最简分式。

123

单项式/单项式提公因式约去结果

公因

式

多项式/多项式因式分解提公结果

因式

单项式/多项式因式分解提公结果

因式

分式通分

根据分数的基本性质，异分母的分数可以通分，使几个分数的的分母相同；同样，根

据分式的基本性质，分式也可以进行类似的变形，使几个异分母分式的分母相同，而分式的

值不变。

通分：把几个异分母分式分别化为与原分式值相等的同分母分式，叫做分式的通分。

它与约分是互逆运算。

通分步骤：先求出所有分式分母的霰得公分孽,再将所有分式的分母变为最简公分母。

同时各分式按照分母所扩大的倍数，相应扩大各自的分子。

最简公分母的确定方法：系数取各因式系数的最小公倍数，相同字母的最高次幕及单

独字母的事的乘积。

分式同分母加减

同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减。用字母表示为：

Qba±b

—±—------------------

CCCo

分式异分母加减

异分母的分式相加减，通分化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进

行计算。用字母表示为：

acadad±tK：

MB±----------------

bdbdbdM。

分式乘法

两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。用字

母表不为：

acaC

bxd=bd.

分式除法

两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘：

3c_ad_sd

尸片5W

也可表述为：除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数。

分式乘方

分子乘方做分子，分母乘方做分母，可以约分的约分，最后化成最简：

10.4分式方程

分式方程是方程中的一种，是指分母里含有未知数的有理方程，或者等号左右两边至少有一

项含有未知数，该部分知识属于初等数学知识。

解法

分式方程①去分母

方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程；若遇到互为相反