高中数学人教A必修第一册同步练习：4 .5 .3 函数模型的应用

4.5.3函数模型的应用

课后篇巩固提升

…“■基础达标练

1.如果某工厂12月份的产量是1月份产量的7倍，那么该工厂这一年中的月平均增长率是（）

B.^C/W-lD/V7-1

解所设月平均增长率为x,l月份的产量为”,则有“（1+x）"=7n,则l+x='V7,故犬=1近-1.

量D

2.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%,要增长到原来的x倍,需经过y年,则函数y"x）

的图象大致是（）

|解析|设该林区的森林原有蓄积量为a,由题意知ar=«（l+0.104>v，即y=logiL（x-l）,所以函数y-fi，x）

的图象大致为D中图象.

11]D

3.有一组实验数据如下：

t1.993.004.005.106.12

\1.54.047.51218.01

现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（）

A.K=k>g2fB.V=logif

2

C.V=^yiD.V=2t-2

|解析|当^=4时，选项A中的V=log24=2,

选项B中的V=logi4=-2,

2

421

选项C中的V=gi=7.5,

选项D中的V=2x4-2=6,故选C.

ggjc

4.(多选题)某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%,而这种溶液最初的杂质含量为

2%,现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少盘则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数

据:lg2乜).301趣3M.477)()

A.6B.9C.8D.7

国明设经过〃次过滤，产品达到市场要求，则焉x信)“《焉，即传『4卷由〃lg|W-lg20,即〃(lg2-

■AUUJLUUU\Oz乙UO

lg3)W-(l+lg2),得〃》器仪7.4.

答案|BC

5.己知某个病毒经30min可繁殖为原来的2倍，且病毒的繁殖规律为＞=』(其中k为常数J表示时间,

单位:h,y表示病毒个数)，则k=，经过5h,l个病毒能繁殖个.

廨前当/=0.5时,y=2,.：2=eM.：%=21n2,

.：y=e2"n2.当「=5时,y=el01n2=2l0=]024.

答案121n21024

6.一个驾驶员喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL,在停止喝酒后，血液中的酒精

含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，根据有关规定:驾驶员血液中的酒精含量不得超过

0.2mg/mL,那么这个驾驶员至少要经过.h才能开车(结果精确到1h,参考数据1g2=0.30,1g

3s=0.48).

丽设经过“h后才能开车,

此时酒精含量为0.3(1-25%)".

根据题意，有0.3(l-25%)"W0.2,

则有wlg-=n(lg3-21g2)WlgT=lg2-lg3,

将已知数据代入，得〃(0.48-0.60)W0.30-0.48,

.:心I，故至少要经过2h才能开车.

7.有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨,2016年的年增长率为50%,

有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长,从第几年开始，快递行业产生的包

装垃圾会超过4000万吨.(参考数据:1g2乜).3010,1g3=0,4771)

网设快递行业产生的包装垃圾为y万吨，〃表示从2015年开始增加的年份的数量，

由题意可得.y=400x(l+50%)"=400x(|)",

当y=4000时，有(|)"=10,两边取对数可得?i(lg3-lg2)=1,

."(0.4771-0.3010)=1,0.1761〃=1,解得*6,

.:从2015+6=2021年开始，快递行业产生的包装垃圾会超过4000万吨.

…一能力提升练

1.某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，己知该动物的繁殖数

量y（单位:只）与引入时间x（单位:年）的关系为y=alog2（x+l）,若该动物在引入一年后的数量为100只,

则第7年它们发展到（）

A.300只B.400只C.600只D.700只

|解析［将.r=l,y=100代入y=alog2（x+l）得,100=alog2（l+1）,解得a=100,所以当x=1

时,y=1001og2（7+l）=300.

2.在标准温度和大气压下,人体血液中氢离子的物质的量浓度（单位mol/L,记作［H+］）和氢氧根离子的

物质的量浓度（单位mol/L,记作［OH］）的乘积等于常数IO.已知pH的定义为pH=-lg［H+］,健康人体

血液的pH保持在7.35-7.45之间，那么健康人体血液中的黠可以为（参考数据:lg2~0.30,lg

［UHJ

3乜).48)()

A」B-

A2%

：pH=-lg[H+]e(7.35,7.45),

且[H+HOH[=1044,

•"g黠=lg瑞岛Tg"H乎l"4)=21g[H+]+14,

又：*7.35<-lg[H+]<7.45,

.：-7.45<lg[H+]<-7.35,

•：-0.9<21g[H+]+14<-0.7,

即-0.9<lg给jC-0.7,

：qgl=.lg2~-0.30,.：A不正确;

ng|1=-lg3--0.48,

.：B不正确.

：lg|="（lg2+lg3）--0.78,.：C正确；

不正确.

ggc

3.某地区发生里氏8.0级特大地震.地震专家对发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表:

［强度IX|1.6xl0邪.2xl0*.5xl0i%.4x明

震级摩

5.05.25.35.4

氏

注:地震强度是指地震时释放的能量.

地震强度x和震级y的模拟函数关系可以选用y=algx+"其中。力为常数).利用散点图可知〃的值等

于，(取lg2=0.3进行计算)

国画由记录的部分数据可知X=1.6xl()i9时J=5.0E=3.2X10I9时,y=5.2.

5.0=alg(1.6x1019)+b,①

所以,

5.2=alg(3.2x1019)+仇②

②①，得0.2=〃lg；；累再,0.2二通2.

的-0.20.22

所以a=—=—=

Ig20.33

4.如图，是某受污染的湖泊在自然净化过程中，某种有害物质的剩留量y与净化时间/(单位:月)的近似

函数关系:y=a"20,a>0,且*1).有以下叙述：

①第4个月时，剩留量会低于吉②每月减少的有害物质量都相等;彝剩留量为另［所经过的时间分

3Z4o

别是八」2/3,则t\+t2=h.

其中所有正确的叙述是

由图象可得，当1=2时即辟奇,

解得。=|.故产(|)：

所以当仁4时,有害物质的剩余量为广(|)4=翌v士所以①正确;

\o/ol5

1

第一个月的减少量为l-(l)=1;

第二个月的减少量为|一(I),=宗显然两者不同，所以@错误;

③由已知信广[(IL](I)”4所以图3=(犷XGV即图3

(|)2所以工1+工2=。3,故③正确.

5.为减轻手术给病人带来的痛苦，麻醉师要给病人注射一定量的麻醉剂,某医院决定在某小型手术中

为病人采用一种新型的麻醉剂,已知这种麻醉剂释放过程中血液中的含量y(单位:mg)与时间f(单

位:h)成正比，麻醉剂释放完毕后,y与r的函数解析式为)，=6)’"(“为常数)，如图所示.

j/mg

(1)试求从麻醉剂释放开始,血液中的麻醉剂含量y(单位:mg)与时间f(单位:h)之间的解析式；

(2)根据麻醉师的统计,当人体内血液中每升的麻醉剂含量降低到0.125mg以下时，病人才能清醒过

来，那么实施麻醉开始，至少需要经过多长时间,病人才能清醒过来？

网(1)根据题中所述，由题图可知，血液中麻醉剂的含量y(单位:mg)是关于时间《单位:h)的一个分段函

数：

当OWWO.I时，函数的图象是一条经过。(0,0)的线段，设其方程为产的t为待定系数)，

又因为A(0.1,l)是这条线段的一个端点，代入点A的坐标得&=10,所以当0W/W0.1时,y=10f.

当.0.1时,函数解析式为y=("),

/I\0.1-CL

而A(0.1,l)在这段函数图象上,代入得「(J，所以有0.1迫=0,解得a=0.1.

/I\t-0-l

故当r>0.1时）=蜡）

10t,0<t<0.1,

综上,血液中麻醉剂的含量)，(单位:mg)与时间”单位:h)之间的解析式为y（仆>。」

(2)要使手术后的病人能清醒过来，需要麻醉剂含量降低到0.125mg以下，此时＞0.1,且

0.125=]

O

当小0.1时，由(犷°‘。得

解得t21.1.

所以至少需要经过1.1h后病人才能清醒.

…”—素养培优练

某个体经营者把开始六个月试销售A.B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表:

投资A种

商品123156

金额为元

获纯利润

0.651.391.85：>1.841.40

历元

获纯利润

().250.490.761.261.51

历元

该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品，但不知投入A,B两种商品各多少万元才合算.请你

帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得

的最大纯利润.

觑以投资额x为横坐标，纯利泗y为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如图①②所示.

观察散点图可以看出,A种商品所获纯利泗)，与投资额x之间的变化规律可以用二次函数模型进

行模拟，如图①所示.取(4,2)为最高点，则产a(x-4)2+2(厚0),再把点(1,0.65)代入，得0.65="(1-4)2+2,

解得“=-0.15,

所以y=-015(x-4)2+2.

B种商品所获纯利泗y与投资额x之间的变化规律是线性的，可以用一次函数模型