新高考数学一轮复习精讲精练5.3 平面向量的应用（基础版）（原卷版）

5.3平面向量的应用（精讲）（基础版）考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一证线段垂直【例1-1】（2022·山西运城）在平面四边形ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则该四边形的面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．13 D．26【例1-2】（2022·广东）如图，在正方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为对角线SKIPIF1<0上任意一点（异于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点），SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，垂足分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0.【一隅三反】1．（2022·四川省峨眉）若平面四边形ABCD满足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则该四边形一定是（

）A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形2．（2022·福建·漳州三中）若O为SKIPIF1<0所在平面内一点，且满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的形状为（

）A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形3．（2022·上海）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为边SKIPIF1<0上的点，且SKIPIF1<0．求证：SKIPIF1<0．考点二夹角问题【例2】（2022·全国·模拟预测）已知H为SKIPIF1<0的垂心，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【一隅三反】1．（2022·四川南充·三模（理））在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，CN与BM交于点P，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·河南·南阳中学）直角三角形ABC中，斜边BC长为a，A是线段PE的中点，PE长为2a，当SKIPIF1<0最大时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·福建省同安第一中学）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，动点SKIPIF1<0位于直线SKIPIF1<0上，当SKIPIF1<0取得最小值时，SKIPIF1<0的正弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0考点三线段长度【例3-1】（2022·福建·福州三中）在平行四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．2 D．3【例3-2】（2022·云南）已知SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则AC边的中线的长为（

）A．SKIPIF1<0 B．3 C．SKIPIF1<0 D．4【一隅三反】1．（2022·云南师大附中）SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∠A的平分线AD交边BC于D，已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则AD的长为（

）A．SKIPIF1<0 B．3 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·全国·高三专题练习）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·重庆南开中学）如图所示在四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是边长为4的等边三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．3 D．SKIPIF1<04．（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0边上的中线长为（

）A．49 B．7 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0考点四几何中的最值【例4】（2022·海南·模拟预测）在直角梯形ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.若线段CD上存在唯一的点E满足SKIPIF1<0，则线段CD的长的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【一隅三反】1．（2022·安徽安庆）设点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中线SKIPIF1<0上一个动点，SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0，则中线SKIPIF1<0的长是___________.2．（2022·江苏·无锡市教育科学研究院）点SKIPIF1<0是边长为2的正三角形SKIPIF1<0的三条边上任意一点，则SKIPIF1<0的最小值为___________.3．（2022·上海市晋元高级中学）“燕山雪花大如席”，北京冬奥会开幕式将传统诗歌文化和现代奥林匹克运动联系在一起，天衣无缝，让人们再次领略了中国悠久的历史积淀和优秀传统文化恒久不息的魅力.顺次连接图中各顶点可近似得到正六边ABCDEF.若正六边形的边长为1，点P是其内部一点（包含边界），则SKIPIF1<0的取值范围为___________.4．（2022·四川省内江市第六中学）如图，在等腰SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别是边SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的点，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，若线段SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是________．考点五三角形的四心【例5】（2022·甘肃·兰州一中）（多选）点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0所在的平面内，则以下说法正确的有（）A．若SKIPIF1<0，则点O为SKIPIF1<0的重心B．若SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的垂心C．若SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的外心D．若SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的内心【一隅三反】1．（2022·全国·）瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心､垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半，”这就是著名的欧拉线定理.设SKIPIF1<0中，点O､H､G分别是外心､垂心和重心，下列四个选项中结论正确的是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·广东·广州市第二中学）（多选）著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知△ABC的外心为O，重心为G，垂心为H，M为BC中点，且AB=4，AC=2，则下列各式正确的有（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·全国·课时练习）(多选题)已知O是四边形SKIPIF1<0内一点，若SKIPIF1<0，则下列结论错误的是（

）A．四边形SKIPIF1<0为正方形，点O是正方形SKIPIF1<0的中心B．四边形SKIPIF1<0为一般四边形，点O是四边形SKIPIF1<0的对角线交点C．四边形SKIPIF1<0为一般四边形，点O是四边形SKIPIF1<0的外接圆的圆心D．四边形SKIPIF1<0为一般四边形，点O是四边形SKIPIF1<0对边中点连线的交点4．（2022·山东省平邑县第一中学）（多选）在SKIPIF1<0所在平面内有三点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．满足SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的外心B．满足SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的重心C．满足SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的垂心D．满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为等边三角形考点六三角的面积【例6-1】（2022·全国·高三）点P菱形ABCD内部一点，若SKIPIF1<0，则菱形ABCD的面积与SKIPIF1<0的面积的比为（

）A．4 B．6 C．8 D．12【例6-2】（2022·全国·高三专题练习）已知点SKIPIF1<0为正SKIPIF1<0所在平面上一点，且满足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的面积与SKIPIF1<0的面积比值为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．2 D．3【一隅三反】1．（2022·上海交大附中）设SKIPIF1<0为SKIPIF1<0所在平面内一点，满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积与SKIPIF1<0的面积的比值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·全国·高三）P是SKIPIF1<0所在平面内一点，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·四川凉山）已知SKIPIF1<0为SKIPIF1<0内任意一点，若满足SKIPIF1<0，则称SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的一个“优美点”．则下列结论中正确的有（

）①若SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的重心；②若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；③若SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的垂心；④若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0为SKIPIF1<0边中点，则SKIPIF1<0．A．SKIPIF1<0个 B．SKIPIF1<0个 C．SKIPIF1<0个 D．SKIPIF1<0个5.3平面向量的应用（精练）（基础版）题组一题组一证线段垂直1．（2022·全国·高一课前预习）在平行四边形ABCD中，M、N分别在BC、CD上，且满足BC＝3MC，DC＝4NC，若AB＝4，AD＝3，则△AMN的形状是(

)A．锐角三角形 B．钝角三角形C．直角三角形 D．等腰三角形2．（2022·新疆）在△ABC中，若SKIPIF1<0，则△ABC的形状是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形3．（2021·浙江）在SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的形状为（

）A．等边三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形4．（2022·黑龙江）如图，正方形ABCD的边长为a，E是AB的中点，F是BC的中点，求证：DE⊥AF.5．（2022·湖南）如图所示，在等腰直角三角形ACB中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，D为BC的中点，E是AB上的一点，且SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0.6．（2022·浙江）如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2-AC2=DB2-DC2，求证：AD⊥BC.7．（2022·浙江）如图，在平行四边形ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，BD，AC相交于点O，M为BO中点．设向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的值；（2）用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0和SKIPIF1<0；（3）证明：SKIPIF1<0．题组二题组二夹角问题1．（2022·云南）SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·江西）已知菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上一点，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的余弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·江苏）（多选）已知向量SKIPIF1<0，记向量SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0时SKIPIF1<0为锐角 B．SKIPIF1<0时SKIPIF1<0为钝角C．SKIPIF1<0时SKIPIF1<0为直角 D．SKIPIF1<0时SKIPIF1<0为平角4．（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，若向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角是锐角，则实数入的取值范围是：______．5．（2022·四川省平昌中学）已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的夹角为钝角，则实数SKIPIF1<0的范围_______6．（2022·全国·期末）一扇中式实木仿古正方形花窗如图1所示，该窗有两个正方形，将这两个正方形（它们有共同的对称中心与对称轴）单独拿出来放置于同一平面，如图2所示.已知SKIPIF1<0分米，SKIPIF1<0分米，点SKIPIF1<0在正方形SKIPIF1<0的四条边上运动，当SKIPIF1<0取得最大值时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0夹角的余弦值为___________.7（2022·福建·厦门一中模拟预测）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均为单位向量，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0夹角的余弦值为______．8．（2022·安徽·池州市第一中学）如图，在SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，线段AM，BN相交于点P，则SKIPIF1<0的余弦值为___________.9．（2021·湖南）已知平面四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0_______.10．（2022·湖北）已知SKIPIF1<0＝(1，2)，SKIPIF1<0＝(1，SKIPIF1<0)，分别确定实数SKIPIF1<0的取值范围，使得：（1）SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为直角；（2）SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为钝角；（3）SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为锐角．11．（2022·全国·高三专题练习）已知△ABC的面积为S满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0·SKIPIF1<0＝3，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为θ.求SKIPIF1<0与SKIPIF1<0夹角的取值范围．题组三题组三线段长度1．（2022·全国·高三专题练习）在平行四边形SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<02．（2022·湖南）（多选）已知SKIPIF1<0分别是三棱锥SKIPIF1<0的棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0．若异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的大小为60°，则线段SKIPIF1<0的长为（

）A．3 B．6 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·全国·信阳高中）已知四边形SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2022·山东济宁）已知两点SKIPIF1<0分别是四边形SKIPIF1<0的边SKIPIF1<0的中点，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则线段SKIPIF1<0的长为是___________5（2022·全国·高三专题练习）如图，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是四边形SKIPIF1<0的边SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则线段SKIPIF1<0的长是___________.6．（2021·上海市市西中学）空间四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0边的中点，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0____________.7．（2022·上海理工大学附属中学）如图，定圆SKIPIF1<0的半径为3，A，B为圆SKIPIF1<0上的两点，且SKIPIF1<0的最小值为2，则SKIPIF1<0______．题组四题组四几何中的最值1．（2022·河南南阳·高一期末）已知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的边SKIPIF1<0上一点，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·湖南张家界）如图，在梯形ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若M，N是线段BC上的动点，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·湖南）线段SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0的一条直径，直线SKIPIF1<0上有一动点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2022·广东广州·）平面四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0最小值（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2022·浙江·镇海中学）已知平面向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成夹角的最大值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2022·湖南·周南中学）已知边长为2的菱形ABCD中，点F为BD上一动点，点E满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．27．（2022·浙江丽水）已知平面向量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．（2022·河南）已知点SKIPIF1<0是圆：SKIPIF1<0上的动点，点SKIPIF1<0是以坐标原点为圆心的单位圆上的动点，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．5 B．6 C．7 D．8题组五题组五三角的四心1．（2022·湖北武汉）在三棱锥SKIPIF1<0中.作SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0.①若三条侧棱SKIPIF1<0与底面SKIPIF1<0所成的角相等，则SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的（

）心；②若三个侧面SKIPIF1<0与底面SKIPIF1<0所成的二面角相等，则SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的（

）心：③若三组对棱SKIPIF1<0与SKIPIF1<0与SKIPIF1<0与SKIPIF1<0中有两组互相垂直，则SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的（

）心以上三个空依次填（

）A．外，垂，内 B．内，外，垂 C．垂，内，外 D．外，内，垂2．（2022·全国·专题练习）若O在△ABC所在的平面内，a，b，c是△ABC的三边，满足以下条件SKIPIF1<0，则O是△ABC的（

）A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心3．（2022·重庆市长寿中学校）奔驰定理：已知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0内的一点，若SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的面积分别记为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的SKIPIF1<0很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的垂心，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2022·重庆市实验中学）在平面上有SKIPIF1<0及内一点O满足关系式：SKIPIF1<0即称为经典的“奔驰定理”，若SKIPIF1<0的三边为a，b，c，现有SKIPIF1<0则O为SKIPIF1<0的（

）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心5．（2022·浙江省杭州第二中学）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的重心，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0外接圆的半径为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<