随机信号课后习题答案1

第一次作业：练习一之1、2、3题

1.1离散随机变量X由0,1,2,3四个样本组成，相当于四元通信中的四个电平，四

个样本的取值概率顺序为1/2,1/4,1/8,和1/8o求随机变量的数学期望和方差。

11117

4O1

-X-+1X----

解：E[X]=£x,P(X=Xj24888

1=1

171711

2^2^

X-+ww--

。吠]=工(匕一可刃)2々=(0-鼻)2oo88

/=i3

-

4

71

1.109

64

1.2设连续随机变量X的概率分布函数为

0x<0

71

F(x)=<0.5+Asin[—(x-1)]0<x<2

12x>2

求(1)系数A；(2)X取值在(0.5,1)内的概率尸(0.5<x<l)。

解：/(x)——17217'r2("

dx0其他

8

由|/(x)dx=1

-00

82

得Acos[-^(x-1)]dx=Asin[^(x-1)]^=2A

P(0.5<x<l)=F(l)-F(0.5)=1sin[y(1-1)]-^sin[^(0.5-1)]=^-=0.35

1.3试确定下列各式是否为连续随机变量的概率分布函数，如果是概率分布函数，求

其概率密度。

(1)如)=，1-e2x>0

0x<0

0x<0

(2)b(x)=<Ax20<x<l

1x>\

X

(3)F(x)=—[w(x)—u(x-a)]a>0

a

xci-x

(4)F(x)=—w(x)------u(x-a)a>0

X

解：(1)尸(x)=J-e2x>0

0x<0

当xNO时,对于》22再,有尸(刀2)NE(X1),尸(X)是单调非减函数;

04b(x)41成立；

R(x+)=E(x)也成立。

所以，&x)是连续随机变量的概率分布函数。

求得，/(X)=&!=.?2%>0

dx|ox<0

0x<0

(2)F(x)=<Ax20<x<l

1x>l

在A>0时,对于看之再,有F(X2)N尸(再)，尸(x)是单调非减函数;

欲使04F(x)<1和F(x+)=/(x)成立,必须使A=lo

所以，在A=1时，E(x)是连续随机变量的概率分布函数。

同理，/(X)=®1=[24Yl>x>0

dx0x<0

oo

欲满足J/(x)烝=1,也必须使A=lo

2x1>x>0

所以，/W==

0x<0

x

(3)F(x)=—[u(x)—u(x-a)]a>0

a

上式可改写为E(x)=，〃⑴­u[x-a}]0<x<«。>0

0其他

对于>a>X]，F(X2)>尸(匹)不成立。

所以，爪外不是连续随机变量的概率分布函数。

(4)F(x)=—w(x)-—~~-u(x-a)a>0

aa

x

=—[w(x)+u(x-Q)]-w(x-a)a>0

a

0x<0

1

x0<x<aa>0

~a

2

x-1a<x

3

当时，不满足0«斤(编41,所以b(x)不是连续随机变量的概率分布函数。

第二次作业：练习一之4、5、6、7题

1.4随机变量X在［a,6］上均匀分布，求它的数学期望和方差。

解：因X在［a,尸］上均匀分布

下P

a-<-<

pa

一

他

O其

00PQ

E[X]=jxf(x)dx==

-ooaP一

22

dr=1(a+2p+p)

D[X]=j(x-E[X])2/(x)d,r=E[X2]-(E[X])2=-^(p-a)2

d12

1.5设随机变量X的概率密度为八(x)=<；

求y=5XH的概率密度函

其他

数。

解：反函数X=〃(y)=(y-l)/5

h'(y)=1/5l<y<6

fy(y)=fx(h(y))Ih'(y)\=1xl/5=1/5

1<<6

于是有=

其他

1.6设随机变量乂,丫2,…,X,在［a,b］上均匀分布，且互相独立。若丫=£Xj,求

i=l

(1)n=2时，随机变量丫的概率密度。

(2)n=3时，随机变量丫的概率密度。

------a<x<b

b-a

解：/(4)=<i=1,2,-••,n

0其它

n=2时,fY(y)=k、0)*fx2(y)

00

A3)=J./%,(M).为。-M附

b-a

同理，n=3时，力（力=，一

b-a

1.7设随机变量X的数学期望和方差分别为m和o,求随机变量丫=-3X-2的数学期

望、方差及X和丫的相关矩。

解：数学期望：E[Y]=-3m-2

方差：Z)[y]=(-3)2o-0=9o

=E[XY]^仇X(—3X-2)]=E[-3X2-2X]

E[X2]=D[X]+(E[X])2=b+加2

相关矩：R,xy--3cr-3w2-2m

第三次作业：练习一之9、10、11题

rr

1.9随机变量X和y分别在［0,a］和［0,—］上均匀分布，且互相独立。对于6<a,证明:

P(x<bcosY)=—

71a

证：rv.X和y分别在［0,a］和［0,^］上均匀分布

127t

0<x<a。小5

a71

有〃X)=和〃）=,

0其它0其它

x<hcosY0<x<bcosy

>=>vC//兀x<bcosY

6cosy<b<a0<y<—

2

p（…即）=汉0~,。"或

万/2bcosy

jdy\f^x,y)dxdy

00

nilAcosy

fdy\f(x)f(y)dxdy因为rv.X和丫相互独立

00

Tia

命题得证

1.10已知二维随机变量（x,,^2）的联合概率密度为/得*2（七,》2），随机变量（乂,占）

与随机变量（匕,丫2）的关系由下式唯一确定

X=*+b.Y2X=aXx+bX2

［占+4打

Y2=cX,+dX2

证明：（乂,八）的联合概率密度为

力也（%,当）=四二四以也31yl+--2,一必+4%）

证：做由力必（必,%）到（再,》2）的二维变换

/用/（“I①）=|/为心（必，y2）

狐6乃）=自加if）

砂।办I

dxdxb

}2=ad-be

叽d

dx}dx2

1

4y2（必，y2）人生⑷必+力2当%+4%）

\ad-bc\

1.11随机变量X,丫的联合概率密度为.狐（x/）=/sin（x+y）0<x,y<y

求：（1）系数A；（2）X,Y的数学期望；（3）X.Y的方差；（4）X,Y的相关矩及相关

系数。

解:

冗不*n

22~22~22

jfxY(x^y}dxdy=Jj4sin(x+yW^=/kinx^JcosyW+%Jcosx6&kinyW

—00—co000000

=2〃=1

nn

002][2]2

(2)Zv(x)=J./AT(XJ)4=j-sin(x+y)dy=-Jsinxeos^+-j<cosxsinydy

-oo000

=1(sinx+cosx)

•/y(x)=g(siny+cosy)

同理

兀n7t灯”

2J।2j2[212

Jy—(si"+cosy)dy=-^ysmydy-\-—^ycQsydy=——jydeosy+-Jydsiny

mx=mY

0220202020

k乃

-

乃-

1211-?

’

-・1I£1I.

2+-Icos12--is

22o2

oo♦o•

_71

TVJt

2।f^2

(3)D[X]=D\Y]=j(y--)2-(siny+cosy)办=--—j(^-^-)2dcos(y+()

K

一名(y-cos(v+/)5+与J23—/)cos(y+9)dy

24402o44

生

2

二

Z万w

-+H-

\4si

16o»

2

l£%

」+2+

-一-

44o4

16

7t71

----1---2

162

nnnn

(4)相关矩火欢=£|AT]=j\^yfxY(x>y^x(^y~jjxy—Sin(x+y)dxdy=---1

oooo22

jr万2

协方差=R-E[X]E[Y]=----1

XY216

九"2—87+16

相关系数〜

/+8%-32

第四次作业：练习一之12、13、14、15题

1.12求随机变量X的特征函数，已知随机变量X的概率密度

fx（x）=2Lx>0

0000