高一数学下册巩固与练习题58

巩固1．下列几种推理过程是演绎推理的是()A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°B．某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得高三所有班人数均超过50人C．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质D．在数列{an}中，a1＝1，an＝eq\f(1,2)(an－1＋eq\f(1,an－1))(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式解析：选A.两条直线平行，同旁内角互补(大前提)∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角(小前提)∠A＋∠B＝180°(结论)2．下列表述正确的是()①归纳推理是由部分到整体的推理②归纳推理是由一般到一般的推理③演绎推理是由一般到特殊的推理④类比推理是由特殊到一般的推理⑤类比推理是由特殊到特殊的推理A．①②③B．②③④C．②④⑤D．①③⑤解析：选D.归纳推理是由部分到整体的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理．3．下面使用类比推理恰当的是()A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类推出“若a·0＝b·0，则a＝b”B．“(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“eq\f(a＋b,c)＝eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)”C．“(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“eq\f(a＋b,c)＝eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)(c≠0)”D．“(ab)n＝anbn”类推出“(a＋b)n＝an＋bn”解析：选C.由类比推理的特点可知．4．(2010年安徽省皖南八校高三调研)定义集合A，B的运算：A⊗B＝{x|x∈A或x∈B且x∉(A∩B)}，则A⊗B⊗A＝________.解析：如图，A⊗B表示的是阴影部分，设A⊗B＝C，运用类比的方法可知，C⊗A＝B，所以A⊗B⊗A＝B.答案：B5．(2009年高考浙江卷)设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，________，________，eq\f(T16,T12)成等比数列．解析：由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4项之和仍成等差数列时，类比到等比数列为依次每4项的积的商成等比数列．下面证明该结论的正确性：设等比数列{bn}的公比为q，首项为b1，则T4＝b14q6，T8＝b18q1＋2＋…＋7＝b18q28，T12＝b112q1＋2＋…＋11＝b112q66，∴eq\f(T8,T4)＝b14q22，eq\f(T12,T8)＝b14q38，即(eq\f(T8,T4))2＝eq\f(T12,T8)·T4，故T4，eq\f(T8,T4)，eq\f(T12,T8)成等比数列．答案：eq\f(T8,T4)eq\f(T12,T8)6．等差数列{an}中，公差为d，前n项的和为Sn，有如下性质：(1)通项an＝am＋(n－m)d；(2)若m＋n＝p＋q，m、n、p、q∈N*，则am＋an＝ap＋aq；(3)若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap；(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等差数列．请类比出等比数列的有关性质．解：等比数列{an}中，公比为q，前n项和为Sn，则可以推出以下性质：(1)an＝amqn－m；(2)若m＋n＝p＋q，m、n、p、q∈N*，则am·an＝ap·aq；(3)若m＋n＝2p，则am·an＝ap2；(4)当q≠－1时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等比数列．练习1．下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是()A．三角形B．梯形C．平行四边形D．矩形解析：选C.因为平行六面体相对的两个面互相平行，类比平面图形，则相对的两条边互相平行，故选C.2．由eq\f(7,10)>eq\f(5,8)，eq\f(9,11)>eq\f(8,10)，eq\f(13,25)>eq\f(9,21)，…若a>b>0且m>0，则eq\f(b＋m,a＋m)与eq\f(b,a)之间大小关系为()A．相等B．前者大C．后者大D．不确定解析：选B.观察题设规律，由归纳推理易得eq\f(b＋m,a＋m)>eq\f(b,a).3．“所有9的倍数(M)都是3的倍数(P)，某奇数(S)是9的倍数(M)，故此奇数(S)是3的倍数(P)”，上述推理是()A．小前提错B．结论错C．正确的D．大前提错解析：选C.大前提正确，小前提正确，故命题正确．4．下列推理是归纳推理的是()A．A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，得PB.由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜想出椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的面积S＝πabD．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇解析：选B.从S1，S2，S3猜想出数列的前n项和Sn，是从特殊到一般的推理，所以B是归纳推理．5．给出下列三个类比结论．①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn；②loga(xy)＝logax＋logay与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sinαsinβ；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2其中结论正确的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：选B.③正确．6．观察图中各正方形图案，每条边上有n(n≥2)个圆点，第n个图案中圆点的个数是an，按此规律推断出所有圆点总和Sn与n的关系式为()A．Sn＝2n2－2nB．Sn＝2n2C．Sn＝4n2－3nD．Sn＝2n2＋2n解析：选A.事实上由合情推理的本质：由特殊到一般，当n＝2时有S2＝4，分别代入即可淘汰B，C，D三选项，从而选A.也可以观察各个正方形图案可知圆点个数可视为首项为4，公差为4的等差数列，因此所有圆点总和即为等差数列前n－1项和，即Sn＝(n－1)×4＋eq\f((n－1)(n－2),2)×4＝2n2－2n.7．y＝cosx(x∈R)是周期函数，演绎推理过程为________．答案：大前提：三角函数是周期函数；小前提：y＝cosx(x∈R)是三角函数；结论：y＝cosx(x∈R)是周期函数．8．对于非零实数a，b，以下四个命题都成立：①a＋eq\f(1,a)≠0；②(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；③若|a|＝|b|，则a＝±b；④若a2＝ab，则a＝b.那么，对于非零复数a，b，仍然成立的命题的所有序号是________．解析：对于①，当a＝i时，a＋eq\f(1,a)＝i＋eq\f(1,i)＝i－i＝0，故①不成立；对于②④，由复数四则运算的性质知，仍然成立．对于③，取a＝1，b＝i，则|a|＝|b|，但a≠±b，故③不成立．答案：②④9．已知数列2008,2009,1，－2008，－2009，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2009项之和S2009等于________．解析：数列前几项依次为2008,2009,1，－2008，－2009，－1,2008,2009，…每6项一循环，前6项之和为0，故前2009项包含334个周期和前5个数，故其和为2008＋2009＋1－2008－2009＝1.答案：110．用三段论的形式写出下列演绎推理．(1)若两角是对顶角，则该两角相等，所以若两角不相等，则该两角不是对顶角；(2)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以，正方形的对角线相等．解：(1)两个角是对顶角则两角相等，大前提∠1和∠2不相等，小前提∠1和∠2不是对顶角.结论(2)每一个矩形的对角线相等，大前提正方形是矩形，小前提正方形的对角线相等.结论11.观察：(1)tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°＝1；(2)tan5°tan10°＋tan10°tan75°＋tan75°tan5°＝1.由以上两式成立，推广到一般结论，写出你的推论．解：若锐角α，β，γ满足α＋β＋γ＝90°，则tanαtanβ＋tanβtanγ＋tanαtanγ＝1.12．已知等差数列{an}的公差d＝2，首项a1＝5.(1)求数列{an}的前n项和Sn；(2)设Tn＝n(2an－5)，求S1，S2，S3，S4，S5；T1，T2，T3，T4，T5，并归纳出Sn与Tn的大小规律．解：(1)由已知a1＝5，d＝2，∴an＝a1＋(n－1)·d＝5＋2(n－1)＝2n＋3.∴Sn＝n(n＋4)