现代控制理论(沈阳建筑大学)第三章

PAGEPAGE1第三章线性控制系统的能控性和能观测性3.1线性连续系统的能控性3.1.1线性时变系统的能控性（一）定义：对于系统若存在输入信号u(t)，能在有限时间区间[t0，tf]内将系统的任意一个初始状态x(t0)转移到终端状态x(tf)，称x(t)在t0时刻或[t0，tf]区间上是完全能控的，或称系统在t0时刻是能控的，否则不能控。（二）性质线性时变系统方程的解意义：系统状态x(t0)能控，即[t0，tf]区间上受u(t)控制。（三）能控性判据[定理3.1]系统∑(A(t)，B(t)，C(t))在t0时刻或[t0，tf]完全能控的充要条件是矩阵Φ(t0，t)*B(t)是行线性无关的（满秩的、非奇异的）。3.1.2线性定常系统的能控性（一）定义：对系统如果存在分段连续的u(t)在[t0，tf]内，将系统的任一x(t0)转移到x(tf)，称此系统是状态完全能控制的，或状态能控的。若n个状态变量中，至少有一个状态变量不能控时，称系统是状态不完全能控或不能控。注意：1、某些状态能控≠系统完全能控2、系统完全能控→肯定状态能控（二）能控性判别准则：三个定理[定理3.2]线性定常系统完全能控的充要条件是矩阵是满秩的证明：线性定常系统状态方程的解方程有解的充要条件是系数阵满秩，即都与u有关，所以状态完全能控，即能控例3.2有系统如下，判断其是否能控解： 故它是一个三角形矩阵，斜对角线元素均为1，不论a2、a1取何值，其秩为3，系统总是能控的。因此把凡是具有本例形式的状态方程，称之为能控标准型。[定理3.3]若线性定常系统的系数矩阵A有互不相同的特征值，则系统能控的充要条件是输入矩阵B没有任何一行的元素全部为零。[定理3.4]若A为约旦型，则系统能控的充要条件是（1）B中对应于互异的特征值的各行，没有一行的元素全为零。（2）B中与每个约旦块最后一行相对应的各行，没有一行的元素全为零。例3.4判断下列系统的能控性所以A为约旦阵，但有两个相同特征值的约旦块对应b虽为最后一行全为0的元素行，仍不能控，可算出rank[M]<3.结论：系统的能控性，取决于状态方程中的A和B。3.2线性定常离散系统的能控性3.2.1定义对于线性定常离散系统x(k＋1）＝Gx(k)+Hu(k)如果存在控制信号序列u(k)、u(k+1)…u(n-1)，使得系统从第k步状态x(k)开始，能在第n步上达到零状态（平衡状态），即x(n)＝0，其中n为大于k的某一个有限正整数，称系统在第k步上是能控的，x(k)称为系统在第k步上的能控状态。如果对于任一个k，第k步上的状态x(k)都是能控状态，则系统都完全能控，称系统完全能控。注意：控制信号序列有限，但规律和大小没有限制。3.2.2判别准则[定理3.5]线性定常离散系统∑(G，H)状态能控的充要条件是能控性矩阵证明：离散系统解：假设能控，经n步，x(k)=x(n)=0写成其中[u(0)…u(n-1)]T为n个未知，方程有解的充要条件是系数阵满秩，即说明：形式上同连续系统，AB→GH例3.5已知判断是否能控。解：说明：也可把矩阵G化为对角形或约旦标准型后，按定理3.3、3.4判别系统是否能控。3.3线性定常系统的能观测性3.3.1线性定常系统的能观测性的定义对于系统如果对任意给定的u(t)，在有限观测时间内[t0~tf]内测量值，就能唯一地确定x(t0),则称x(t0)是能观的，如果每个x(t0)是能观，称状态完全能观，简称状态能观。3.3.2判别准则[定理3.7]线性定常系统∑(A,B,C)状态能观测的充要条件是。系统能观测性与输入向量无关，令u(t)=0,t0=0可见，根据在[0,tf]量测的y(t),能将初始状态x(0)唯一地确定下来地充要条件是。例若系统为试判断系统的能观测性。例：对于能观测标准型判断系统的能观性。解：由，，即：，所以系统能观。[定理3.8]若矩阵A有互不相同的特征值，则系统能观测的充要条件是输出矩阵C没有任何一列的元素全部为0。[定理3.6]若矩阵A为约旦型，则系统能观测的充要条件是（1）输出矩阵C中对应于互异特征值的各列，没有一列的元素全为0。（2）C中与每个约旦块的第一列相对应的各列，没有一列的元素全为0。例3.10下列的一些系统是完全能观测的下列的系统是不完全能观测的3.3.3线性定常离散系统的能观测性（一）定义：当u(k)给定，根据第i步，以及以后若干步对y(i),y(i+1)…y(n)的测量，就唯一地确定出第i步的x(i)，称x(i)是能观的。如果每个x(i)都能观，称状态完全能观，简称状态能观。（二）判别准则[定理3.10]线性定常离散系统状态能观测的充要条件是。[证明]假设观测从第0步开始，令u(k)＝0，则递推求解：矩阵形式：即，有解的充要条件是系数矩阵满秩。从测量的要唯一地确定出的充要条件是：3.4能控性与能观性的对偶原理对偶原理是现代控制理论中的重要概念，利用该概念，可以将系统能控性分析的结果，转化到能观测性分析中去。本节内容3.4.1线性系统的对偶关系3.4.2对偶系统的状态转移矩阵3.4.3能控性和能观测性的对偶关系3.4.1线性系统的对偶关系若系统S1的状态空间描述为：系统S2的状态空间描述为：则称系统S1和系统S2互为对偶的。两个互为对偶系统的结构图如下：对偶系统的结构图对偶系统的结构图中：输入端和输出端互换，信号传递方向相反，信号引出点和综合点互换，各矩阵转置。3.4.2对偶系统的状态转移矩阵定理：用F(t,t0)和Fd(t,t0)分别表示原系统与其对偶系统的状态转移矩阵，则两者具有对偶关系证明：按定义，对偶系统状态转移矩阵Fd(t,t0)满足矩阵方程而原系统状态转移矩阵F(t,t0)满足比较由微分方程初值问题解的唯一性，就有3.4.3能控性和能观测性的对偶关系定理原系统完全能控Û对偶系统完全能观测；原系统完全能观测Û对偶系统完全能控。证明：原系统完全能控Û存在t1>t0，使比较对偶系统能观测Gram矩阵原系统完全能控Û对偶系统完全能观测。同样，原系统完全能观测Û存在t1>t0，使Û对偶系统完全能控作为例子，下面由定常系统的能控性判据，通过对偶原理，推导对应的能观测性判据。例线性定常系统S[A,B]完全能观测Û对偶系统完全能控，即而线性定常系统S[A,B]完全能观测的充分必要条件是，能观测性矩阵的秩为n。例(PBH)线性定常系统S[A,B]完全能观测Û对偶系统完全能控，即3.5线性系统的结构分解（1）当系统不能控或不能观测时，并不是所有状态都不能控或不能观测（可通过坐标变换对状态空间进行分解。）（2）把状态空间按能控性或能观性进行结构分解。3.5.1结构分解举例系统：经过变换后：由前述定理可知：,能控，,不能控能观测，不能观系统有：（1）能控能观（2）能控不能观（3）不能控能观（4）不能控不能观结构图：(1)令：，则：同左乘：(2)3.5.2系统按能控性分解定理：设系统∑(A,B,C)不能控，则rank[M]=rank[B,AB…An-1B]=r<n，必存在一非奇异矩阵T=Rc，使得,则系统得状态空间被分解成能控和不能控的两部分变换矩阵T的求法：（1）从M=[B,AB…An-1B]中选择r个线性无关的列向量。（2）以（1）求得的列向量，作为T的前r个列向量，其余列向量可以在保持T为非奇异的情况下，任意选择。说明：（1）系统按能控性分解后，其能控性不变。（2）系统按能控性分解后，其传递函数阵不变。3.5.3系统按能观测性分解定理设系统∑(A,B,C)不能观，则，则存在非奇异矩阵,使得：原状态方程被分解成能观和不能观测的两部分变换矩阵Ro的求法：(1)从矩阵中l个线性无关向量(2)以(1)中求得的行向量作为的前个行向量，其余行向量可以在保证为非奇异的条件下任选。例3.16设线性定常系统如下，判别其能观性，若不是完全能观的，将该系统按能观性进行分解。解：系统的能观性判别矩阵所以该系统是状态不完全能观的。为构造非奇异变换阵，取得，其中,是在保证非奇异的条件下任意选取的。于是系统状态空间表达式变换为3.6状态空间表达式的能控标准型和能观标准型由于状态变量选择的非唯一性，系统的状态空间表达式也不是唯一的。在实际应用中，常常根据所研究的问题的需要，将状态空间表达式化为相应的几种标准形式：如约旦标准型对于状态转移矩阵的计算，可控性和可观性的分析十分方便；能控标准型对于系统的状态反馈分析比较方便；能观标准型对于系统的状态观测器的设计以及系统辨识比较方便。将状态空间表达式化为能控标准型和能观标准型的理论依据是状态非奇异变换不改变其能控性和能观性。但是，只有当状态完全可控时才存在可控标准型，只有当状态完全可观时才存在可观标准型。所以在将状态空间表达式化为能控能观标准型时必须首先判断系统的能控能观性。3.6.1单输入系统的能控标准型(1)能控标准Ⅰ型只有当状态完全能控时才存在能控标准型。设线性定常单输入系统是可控的，则存在线性非奇异变换其中如下所示。设经非奇异变换后的系统为，称如上式的状态空间表达式为能控标准Ⅰ型。其中（）为特征多项式：的各项系数。采用能控标准Ⅰ型的，求系统的传递函数非常方便。从上式可以看出，传递函数分母多项式的各项系数是的最后一行的元素的负值；分子多项式的各项系数是阵的元素。同样可以根据传递函数的分母多项式和分子多项式的系数，可以直接写出系统的能控标准Ⅰ型。(2)能控标准Ⅱ型设线性定常单输入系统是可控的，则存在线性非奇异变换其中如下所示。设经非奇异变换后的系统为另一个能控标准型为取称形如上式的状态空间表达式为能控标准Ⅱ型。3.6.2单输出系统的能观标准型与变换为能控标准型的条件类似，只有当系统状态完全能观时，系统的状态空间表达式才可能化为能观标准型。(1)能观标准Ⅰ型设线性定常单输入系统是可控的，则存在线性非奇异变换其中如下所示。设经非奇异变换后的系统为称如上式的状态空间表达式为能观标准Ⅰ型。其中（）为特征项式：的各项系数。(2)能观标准Ⅱ型设线性定常单输入系统是可控的，则存在线性非奇异变换其中如下所示。设经非奇异变换后的系统为称如上式的状态空间表达式为能观标准Ⅱ型。其中（）为特征项式：的各项系数。由上可知，能观标准Ⅰ和能控标准Ⅱ互为对偶；能观标准Ⅱ和能控标准Ⅰ互为对偶。3.7系统传递函数阵的实现3.7.1概念：根据给定的传递函数阵，求其相应的状态空间表达式使其满足，称该状态空间表达式为传递函数阵的一个实现。3.7.2实现的目的是为了仿真（做模仿）通过模拟结构图，用积分器、加法器等（集成电路块）连接试验，物理可实现条件为1、中的每一个元素的分子分母多项式的系数均为实常数。2、中每一个元素均为s的真有理分式函数3.7.3如何实现：状态变量的选择有无穷多组，实现的方法有无穷多。单变量系统可以根据直接写出其能控标准型实现和能观标准型实现。可以将单输入单输出推广到多输入多输出系统维的传递函数阵写成和单输入单输出系统传递函数类似的形式： 式中为维常数阵；分母多项式为该传递函数的特征多项式。传递函数的能控型实现为： 和为阶零矩阵；为输入矢量的维数。与此类似，其能观标准型实现为： 式中，和为阶零矩阵；为输入矢量的维数。3.7.4最小实现（1）定义：若的一个实现为 （1）如果不存在其他实现 （2）使的维数小于的维数，则称(1)式的实现为的最小实现。（2）定理：的一个实现 为最小实现的充要条件是不但能控而且能观。（3）确定最小实现的步骤1、对初选一种实现，通常选取能控或能观标准型实现，检查其实现的能控性（或能观性），若为能控又能观则(A,B,C)便是最小实现。2、否则对以上标准型实现进行结构分解，找出其完全能控又完全能观的子系统，这便是的一个最小实现。3.8能控性和能观性与传递函数阵的关系描述系统内部结构特性的能控性和能观测性，与描述系统外部特性的传递函数之间，是必然存在密切关系的，这里揭示出能控性、能观测性与传递函数的零极点对消现象之间的关系，可用来判断单输入-单输出系统的能控性、能观测性；传递函数矩阵的行或列的线性相关性，可用来判断多输入-多输出系统的能控性、能观测性。这是又一种判断系统的能控性、能观测性的判据，是在s域内的判据。定理3.12：对于单输入单输出系统，如果其传递函数存在零极点对消，则由状态变量选择而定，要么能控不能观，要么能观不能控，或既不能控也不能观，若没有零极点对消，则状态能控能观。证明：对于有互不相同的从状态空间看：从传递函数阵看：，其中：故1、没有零极点对消，能控能观，即 2、有零极点对消，就会存在由定理可得以下推论：推论：所表示的仅仅是该系统既能观又能控的那一部分子系统，所以是系统的一种不完整描述若有零极点对消，就会出现不能控或不能观。定理3.13：对于多变量系统，系统能控又能观的充分条件是其传递函数阵中无零极点对消。（不是必要条件）。例3-12

已知下列动态方程，试研究能控性、能观测性与传递函数的关系：1．2．3．1． 2． 3． 解三个系统的传递函数为：存在零极点的对消对象。1．，；，对为能控标准形，故能控，则不可观测；2．对为能观测标准形，故能观测，则不可控；3．用阵对角化后的输入、输出矩阵可判断不能控、不能观测。例3-13设有两个能控、能观测的单输入-单输出系统和相串联，其动态方程分别为：：，式中；；：，式中，，试写出串联连接系统动态方程（设）；考察串联连接系统的能控性、能观测性；求、及串联连接系统的传递函数，并验证能控性和观测性结果。解

1.求串联系统动态方程：输入为，输出为，利用串联连接条件，有：写出分块矩阵形式：令，则串联连接系统的动态方程为：；式中；；2.求串联系统的可控性、可观测性：故不能控； 故能观测。原来是能控能观测的系统，如图2-2串联连接后变成不能控、能观测的了。若改变图2-2串联连接的顺序，则串联系统将变成能控、不能观测的。3.

、的传递函数分别为：串联连接系统的传递函数：显见存在零极点对消，使特征方程阶次降低，故不能控。一、多输入-多输出系统多输入-多输出系统传递矩阵存在零极点对消时，系统并非一定是不能控或不能观测的，这时需利用传递矩阵中的行或列向量的线性相关性来作出判断。传递矩阵的元素一般是的多项式。设表示为列向量组：若存在不全为零的实常数使下式 (3-101)成立，则称是线性相关的，若只有当全为零时，式(2-101)才成立，则称是线性无关的。有如下判据：1．

多输入系统能控的充要条件是：的行线性无关。证明

设系统状态方程为：，两端取拉氏变换，令初始条件为零，有 (3-102)该式表明乃是输入向量与状态向量间的传递矩阵。由于，故；定常系统中的阵为常数矩阵，于是有： (3-103)展开左端： (3-104)式中为阶单位矩阵，为写面矩阵形式而引入的，其为维矩阵，其中的行与列均线性无关。当维可控性矩阵行线性无关时，其及其必行线性无关，故系统可控的充要条件可表示为：的行线性无关。2．

多输出系统能观测的充要条件是：的列线性无关。证明

研究能观测性时，可不失一般性地假定系统动态方程为：；两端取拉氏变换：故

(3-105)该式表明乃是初始状态向量与输出向量间的传递矩阵。定常系统中阵为常数矩阵，于是有：

(3-106)展开右端：

(3-107)式是为阶单位矩阵，为写成矩阵形式而引入的，其为维矩阵，其中的行与列均线性无关。当维可观测性矩阵列线性无关时，其及其必列线性无关，故系统可观测的充要条件可表示为：的列线性无关。运用以上判据判断多输入-多输出系统的能控性、能观测性时，只需检查行或列的线性相关性，至于传递矩阵中是否出现零极点对消是无妨的。以上判据也可适用于单输入-单输出系统，不过，线性无关时必不存在零极点对消，线性相关时必有零极点对消，也就是说，它们是一致的。例2-16

试判断下列比输入-双输出系统的能控性、能观测性：，式中解

计算能控性阵、能观测性阵的秩：，故能控。，故能观测。计算传递矩阵（将公因子析出矩阵以外以便判断）：由于故

①为判断三行线性相关性，试看下列方程解的性质：

②分为两个方程：解得：

：利用同次项系数对应相等的条件，得。故只有时，才能满足方程②，可判断①式中三行线性无关，故系统能控，与零极点存在对消现象无关。由于为判断三列线性相关性，试看下列方程解的性质：

③分为：解得，故③式中三列线性无关，系统能观测，与零极点对消无关。例3-17试判断下列单输入-单输出系统的能控性、能观测性：，式中解

计算能控性阵、能观测性阵的秩：，故不可控。，故不可观测。计算传递矩阵：由分为两个方程得：可求得不全零的使④式成立，故不能观测。由

⑤分为：，得任意，可求得不全零的使⑤式成立，三行线性相关，故系统不能控。由传递函数存在零极点对消，也可得出不能控、不能观测的相同结论。本章小结能控性和能观测性是现代控制理论中两个重要的基本概念，由Kalman于1960年提出。能控性是u(t)支配x(t)的能力，回答u(t)能否使x(t)作任意转移的问题；能观性是y(t)反应x(t)的能力，回答是否能通过y(t)的量测来确定x(t)的问题。例：分析：与输入无关，不能控，能控，不完全能控。y=+,或都能对y产生影响，通过y能确定或，能观测。能控能观是最优制和最优估计的设计基础。定常连续系统的能控性判定定理：线性定常系统完全能控的充要条件是矩阵是满秩的。定理：若线性定常系统的系数矩阵A有互不相同的特征值，则系统能控的充要条件是输入矩阵B没有任何一行的元素全部为零。定理：若A为约旦型，则系统能控的充要条件是（1）B中对应于互异的特征值的各行，没有一行的元素全为零。（2）B中与每个约旦块最后一行相对应的各行，没有一行的元素全为零。定常连续系统能观性判定定理：线性定常系统∑(A,B,C)状态能观测的充要条件是定理：若矩阵A有互不相同的特征值，则系统能观测的充要条件是输出矩阵C没有任何一列的元素全部为0。定理：若矩阵A为约