§212指数函数及其性质

§2.1.2指数函数及其性质第一课时张恒茂高中数学必修

①学习目标1.了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；2.理解指数函数的概念和意义；3.能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数的性质（单调性、特殊点）.问题一：上面三个关系式是之前我们已经学过的某一个函数吗？问题二：那它们是函数吗？它们有什么共同特征呢？问题三：指数函数的定义是怎样定义的？为什么要规定a>0且a≠1呢？本节问题问题四：指数函数是我们在学习了函数基本概念和性质之后的接触到的第一个具体函数，而且我们已经得到了它的解析式，那还应该去探索它的哪些性质呢？问题五：用什么方法去研究它的这些性质呢？问题六：怎样才能得到指数函数的图象？列表，描点，连线问题七：指数函数的图象有什么特点？问题八：通过图象，你能”读出“我们想要研究的这些性质吗？问题九：确定指数函数解析式的重要要素是什么？复习回顾：1、根式：一般地，如果xn=a,那么x叫做a的次方根,其中n>1,且nN*(1)当n为奇数时,记作(2)当为偶数时，记作负数没有偶次方根；2.正数的正分数指数幂：

正数的负分数指数幂：

0的正分数指数幂为0、

0的负分数指数幂没有意义探究

课本P56问题2中的函数(t0)与问题1中的函数y=1.073x

有什么共同特征？

P=（）创设情景引例1.某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…….1个这样的细胞分裂x

次后，得到的细胞个数y与x

的函数表达式是什么？次数细胞分裂过程细胞个数第一次第二次第三次2=218=234=22…………

第x次……细胞个数y关于分裂次数x的表达式为:表达式创设情景引例2

.比较下列指数式的异同,能不能把它们看成函数值?函数值？？什么函数？

①、

②、创设情景引例3

、动手操作,并回答下列问题：(1).一张白纸对折一次得两层，对折两次得4层，对折3次得8层，问若对折x

次所得层数为y，则y与x的函数表达式是：(2).一根1米长的绳子从中间剪一次剩下米，再从中间剪一次剩下米，若这条绳子剪x次剩下y米，则y与x的函数表达式是：引入概念我们从两列指数式和三个实例抽象得到两个函数:1.指数函数的定义：这两个函数有何特点?形如y=ax(a

0，且a

1)的函数叫做指数函数，其中x是自变量.函数的定义域是R.思考:为何规定a

0，且a

1?

01a形如的函数叫做指数函数，为自变量，定义域为其中指数为自变量幂为函数底为常数指数函数的定义：函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R。概念剖析

01a当a=1时，ax

恒等于1，没有研究的必要.为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a

1。思考1:为何规定a

0，且a

1?思考2:指数式ax中X∈R都有意义吗?

回顾上一节的内容，我们发现指数式ab

中b可以是有理数也可以是无理数,所以指数函数的定义域是R.当a<0时，ax有些会没有意义，如当a=0时，ax有些会没有意义，如概念剖析指数函数解析式有什么特点?

下列哪些是指数函数？思考3:(1)y=x2y=2x(3)y=2-x(4)y=2·3x(5)y=23x(6)y=3x+1的系数是1;指数必须是单个x;底数a

0，且a

1.指数函数的解析式，解析：函数是指数函数吗？指数函数的解析式y=中，的系数是1.有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如

因为它可以化为有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如练习：若是一个指数函数，求a的取值范围。解：由指数函数的定义可知，底数应该是大于0且不等于1的常量。所以，

1、下列函数是指数函数的是（）2、函数y=(a2-3a+3)ax是指数函数，求a的值a2-3a+3=1a>0且a≠1练一练a=1或a=2a>0且a≠1∴a=2D研究初等函数性质的基本方法和步骤：1、画出函数图象

2、研究函数性质

①定义域②值域③单调性④奇偶性⑤其它

你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的方法吗？思考列表描点连线x…-3-2-10123…y=2x…1/81/4½1248…y=3x…1/271/91/313927…函数图象特征

1xyo123-1-2-3动手操作,画出图像x…-3-2-10123…y=2-x…84211/21/41/8…y=3-x…279311/31/91/27…XOYY=1函数图象特征XOYY=1y=3Xy=2x观察右边图象，回答下列问题：问题一：图象分别在哪几个象限？问题二：图象的上升、下降与底数a有联系吗？问题三：图象中有哪些特殊的点？答四个图象都在第＿＿＿＿象限。答：当底数＿＿时图象上升；当底数＿＿＿＿时图象下降．答：四个图象都经过点＿＿＿＿．Ⅰ、Ⅱ观察图像,得出性质XOYY=1y=3Xy=2x观察右边图象，回答下列问题：问题五：函数

与

图象有什么关系？问题四：指数函数图像是否具有对称性？答：关于Y轴对称。答：不关于Y轴对称不关于原点中心对称当底数a取任意值时，指数函数图象是什么样？指数函数的图象和性质

a>1

0<a<1图象xy0y=1y=ax(a>1)y0(0<a<1)xy=1

y=ax(0,1)

a>10<a<1图象特征

a>1

0<a<1性质

1.图象全在x轴上方，与x轴无限接近.1.定义域为R，值域为(0,+

).2.图象过定点（0，1）2.当x=0时，y=13.自左向右图象逐渐上升3.自左向右图象逐渐下降3.在R上是增函数3.在R上是减函数4.图象分布在左下和右上两个区域内4.图象分布在左上和右下两个区域内4.当x>0时,y>1;当x<0时,0<y<1.4.当x>0时,0<y<1;当x<0时,y>1.非奇非偶函数不关于Y轴对称不关于原点中心对称例1、求下列函数的定义域：解：①②①②应用示例：应用新知应用示例：

例2已知指数函数

经过点（3，π），求f(0)、f(1)、f(-3)的值.

(a>0,且a≠1）的图象反思：你能说出确定一个指数函数需要什么条件吗？备用习题：求函数的定义域：1、如图所示,当0<a<1时,函数y=ax和y=（a-1)x2的图象只可能是()xxxxyyyy

ABCDD2、若有y=(a-4)x是指数函数,求a的范围.3、若函数y=(2a+1)x是一个减函数，求a的范围4、判断函数y=ax－2+3的图象是否恒过一定点？如果是，求出定点坐标，如果不是，说明理由。问题：今天我们共同体验了研究一个新函数的方法，也就是？？？给出函数解析式作出函数图象研究函数的性质解决简单问题小结：

函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R。1.指数函数的定义：a>10<a<1图象性质1.定义域：R2.值域：（0，+∞）3.过点（0，