1.5共轴球面组傍轴成像解析

2024/8/161共轴球面组：由球心在同一直线上的一系列折射或反射球面组成的光具组叫做共轴球面光具组。光轴：各球心的联线叫做它的光轴。傍轴光线。对于球面来说，除了“齐明点”以外，其他位置发出的同心光线，经过球面光具组后，无法再保持同心性，但傍轴光线会接近于同心性。5共轴球面组傍轴成像

单个折射球面光具组n：物方介质的折射率n'：物方介质的折射率C：球心Q：物点Q'：像点

轴上物点的折射成像Qss'rOMCn'n-u'uhQ'iHi'顶点：球面在光具组中的对称点O

光轴：使光线不发生偏折的方向，如过球心并垂直于球面的方向

主光轴：过球面顶点O和球心C的连线

主截面：包含主光轴的截面

说明：

①

一个球面光具组有无数个光轴和无数个主截面，但主光轴只有一个。并且，由于轴对称性，一般只需要讨论光线在某一个主截面上的传播规律即可。

②折射球面作为一个简单光具组，是构成各种复杂光学系统的基本元件之一，研究球面的折射成像规律具有普遍意义：取n2=-n1，则球面折射问题转化为球面反射问题；取r→∞，则球面的折射和反射变为平面的折射和反射；

两个或两个以上折射球面构成的光具组——透镜或透镜组。

5.1光在单球面上的折射图中Σ为折射球面，其半径为r，物点Q

，像点Q’。前后介质折射率分别为n和n’。u与u’，分别称“物方、像方孔径角”；

称“球心角”；s和s’分别称“物方、像方截距”。光轴与球面的交点A称“顶点”。

（1）图中各参量约束关系：折射定律：几何关系：正弦定理：余弦定理：利用可得：这是准确的入射和出射光线间的关系（2）共心问题，共轭点问题，成像问题给定s后，s’随

变化，出射光束丧失了同心性。表明这样一个球面光具组不能使物点Q准确成像。思考：何时具有同心性呢？何时接近具有同心性呢？同心性问题给定s，只有满足下式，s’不随

变化。把s和s’确定下来，结果正是齐明点。为了保持出射光束的同心性，必须近似处理，令则有傍轴近似下的公式由上式可得：高斯公式，物像距公式5.2轴上物点成像、焦距、物像距公式（1）傍轴近似、傍轴条件傍轴条件下，s’几乎由s完全决定，此时Q和Q’可以认为是共轭点，即可认为任意物点Q皆可成像于某个Q’点。傍轴条件可表示为：或物像距公式：注意傍轴条件的相对性在物像距公式中令:得物、像方焦距公式:

平行主轴的入射光线折射后与主轴相交的位置称为球面界面的像方焦点F’，从球面顶点A到像方焦点的距离称为像方焦距f’．

轴上无穷远像点的共轭点称为物方焦点，记作F，从球面顶点A到物方焦点F的距离称为物方焦距f．（2）用焦距表示的物像距公式2024/8/16，物方焦距：物方焦点：，有，像方焦距：像方焦点：，有物像距公式可用焦距表示为：两者之比为：F'On'n(b)像方焦点F'FOn'n(a)物方焦点F高斯形式（3）普遍情况下的物像距公式，符号约定之前公式仅限于实物、实像、折射面球心在顶点右侧。对公式中参量做出符号约定，则可将公式推广到普遍情形。注意：这类法则并不唯一，我们采用后述法则。3）若入射光由右向左传播时，符号法则与上述规定相反4）各量在绘图中均用绝对值标示；如是字母表示，一般规定字母本身为正。设入射光从左向右传播

1）若

和

点在A点的左方，

则

，

若

和

点在A点的右方，

则

，则，，、

2）若

和

点在A点的左方，

则，，、

若

和

点在A点的右方，

a、单球折射面成像的符号法则

小提示：实物（像）距均大于零，虚物（像）距均小于零b、单球反射面成像公式和符号法则此时F和两F’两个焦点重合球面反射成像的特点：可以看作是球面折射的一种特殊形式，不同之处仅在于经球面反射的光线方向倒转，变为从右向左传播。取n’=-n，并以-s’代替s’，得（傍轴条件下）球面反射成像公式:小提示：同样是实像时为正，虚像时为负。设入射光从左向右传播，其符号法则为：

1）若

和点在A点的左方，

则，2）其余规定与单球折射面成像的符号法则相同

若

和点在A点的右方，

则，r→∞时，球面→平面，球面折射和反射成像→平面折射和反射成像，且有

傍轴光线在平面上的折射成像公式：

傍轴光线在平面上的反射成像公式：像似深度：傍轴光线在平面上折射成像时的像距s'。说明：平面镜是能够理想成像的光学系统，而球面折射、反射以及平面折射系统则只有在近轴近似条件下才能准确成像。

推论：

光在单个平面上的折射、反射成像5.3傍轴物点成像与横向放大率

a、傍轴物点成像绕球心C转一很小角度

，根据对称性，P和P’必然也是共轭点，即傍轴物点成像。近似：弧线看作垂线，球面看作平面。

和

’是一对共轭平面，即

上的点都成像于

’上。

：物平面

’：像平面符号法则：或若P或P’点在光轴上方，则

或轴外共轭点的旁轴条件：若P

或P’

点在光轴上方，则

2024/8/16b、横向放大率公式定义：

折射球面的横向放大率公式：，，反射球面的横向放大率公式：2024/8/16讨论：（3）若，则为实像。

若

，则为放大像。（1）若，则为正立像。（2）若

，则为缩小像。若，则为倒立像。若，则为虚像。

（4）V和y无关，保证了共轭面内几何图形的相似性。共轴球面组：由曲率中心共线的两个或以上球面组成的光具组

含义：不仅所有球面的球心共线，且其主光轴重合

单个球面光具组的逐次成像：前一个球面光具组的出射光束（像）——后一个球面光具组的入射光束（物）共轴球面组的逐次成像d23PQynO1S1s1n'n''n'''P'P''P'''O2O3S2S3Q'Q'''Q''y'''-y''-y's3's2s1's2's3d125.4逐次成像方法

横向放大率

结论：共轴球面组成像的横向放大率等于各个球面逐次成像的横向放大率之乘积共轴球面组的物像关系：

逐次成像的步骤：1）绘图，并确定第一次成像的入射光线方向及计算的起点；2）确定第一次成像的各个已知量的正负和大小；3）代入相应成像公式计算；4）检查结果是否合理；5）利用过渡关系求出下次成像的物距，重复上述步骤逐次成像。这种方法，在逐次成像过程中，计算的起点每次都要改变，联立方程后，中间像的位置很难消去，因而得到整个光具组物方量和像方量的关系式比较困难。2024/8/1625*5.5拉格朗日-亥姆霍兹定理约定：从光轴到光线的的方向为逆时针时交角u为正，顺时针时交角u为负。又逐次成像得：拉格朗日-亥姆霍兹定理表明ynu每次折射都不变，从而可把整个光具组的物方量和像方量联系起来。

例题：

如图所示，玻璃球的