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第一章二、极限的四则运算法则三、复合函数的极限运算法则一、无穷小运算法则第五节极限运算法则定理1在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.一、无穷小运算法则

证注意

无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.再例如，类似可证:有限个无穷小之和仍为无穷小

.定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证推论1常数与无穷小的乘积是无穷小.推论2有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小而二、极限运算法则定理3注意：1.定理适用于数列极限；2.定理可以推广到有限个函数；3.定理只有在极限存在的情况下才适用.推论1常数因子可以提到极限记号外面.推论2定理4

若且则二、求极限方法举例例1解小结:解商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得例2解例3(消去零因子法)例4解例5解(无穷小因子分出法)例6解例7解小结:无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.例8解先变形再求极限.例9解例10.求解:

方法1则令∴原式方法2例11解左右极限存在且相等,三、复合函数的极限运算法则定理7.

设且

x满足时,又则有证:

当时,有当时,有对上述取则当时故①因此①式成立.例12三、小结1.极限运算法则(1)无穷小运算法则(2)极限四则运算法则(3)复合函数极限运算法则注意使用条件2.求函数极限的方法时,用代入法(分母不为0)时,对型,约去公因子时,分子分母同除最高次幂(1)分式函数极限求法(2)利用无穷小运算性质求极限;(3)通分法;(4)有理化方法;(5)代数方法.(6)利用左右极限求分段函数极限.(7)复合函数极限求法设中间变量思考题

1.在某个过程中，若有极限无极限，那么是否有极限？为什么？2.已知求思考题解答1.没有极限．假设有极限，有极限，由极限运算法则可知：必有极限，与已知矛盾，故假设错误．2.解：3.

试确定常数a

使解:令则故因此一、填空题:练习题二、求下列各极限:练

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