《信号与系统》课程讲义4-6

§4.6双边拉氏变换；拉氏变换∽傅里叶变换一、双边拉氏变换单边拉氏变换：故引入1．双边拉氏变换定义①实际信号常从t=0开始；②通常e-σt

在t>0时为衰减指数函数，e-σt

在t<0时往往增长，可能使积分发散定义：双边拉氏变换：有些函数当σ在某个范围内取值时，存在优点：①考虑-∞<t<∞；②与傅立叶变换关系密切缺点：收敛域方面须考虑一些限制，求解麻烦§4.6双边拉氏变换；拉氏变换∽傅里叶变换2.双边拉氏变换的收敛域①双边信号的双边拉氏变换：§4.6双边拉氏变换；拉氏变换∽傅里叶变换的收敛域一般形式为：对应对应§4.6双边拉氏变换；拉氏变换∽傅里叶变换若无公共收敛区若②右边信号的双边拉氏变换收敛域，极点在的左边§4.6双边拉氏变换；拉氏变换∽傅里叶变换考虑pi的实部Re[pi]至少极点在的左边③左边信号的双边拉氏变换收敛域，极点在的右边§4.6双边拉氏变换；拉氏变换∽傅里叶变换⑤必须标出收敛域④极点为收敛边界②①[例1]：求下列信号的双边拉氏变换极点a位于收敛域右边§4.6双边拉氏变换；拉氏变换∽傅里叶变换③④§4.6双边拉氏变换；拉氏变换∽傅里叶变换⑤§4.6双边拉氏变换；拉氏变换∽傅里叶变换3.双边拉氏变换的逆变换步骤：已知拉氏变换（未给收敛域）求逆变换根据极点分布，划分可能的区域：右边信号极点在σ1的左边；左边信号极点在σ2的右边§4.6双边拉氏变换；拉氏变换∽傅里叶变换[例2]：求可能的逆变换①，对应右边

a)①极点，收敛域可能有三种解：§4.6双边拉氏变换；拉氏变换∽傅里叶变换b)，对应双边:0－右边；1－左边§4.6双边拉氏变换；拉氏变换∽傅里叶变换c)，对应左边

§4.6双边拉氏变换；拉氏变换∽傅里叶变换②，求可能的逆变换②极点：，可能的收敛域为...解：，-

2－左边；0－左边；1－左边a)§4.6双边拉氏变换；拉氏变换∽傅里叶变换

b)，-2－右边；0－左边；1－左边(b)§4.6双边拉氏变换；拉氏变换∽傅里叶变换c)，-2－右边；0－右边；

1－左边c)§4.6双边拉氏变换；拉氏变换∽傅里叶变换d)，-2－右边；0－右边；

1－右边d)§4.6双边拉氏变换；拉氏变换∽傅里叶变换4.利用双边拉氏变换求解电路（可求出-∞<t<∞全响应）[例3]：求解：12-+ER+_§4.6双边拉氏变换；拉氏变换∽傅里叶变换§4.6双边拉氏变换；拉氏变换∽傅里叶变换二、拉氏变换～傅氏变换1．单边拉氏、双边拉氏、傅氏变换三者关系§4.6双边拉氏变换；拉氏变换∽傅里叶变换单边拉氏双边拉氏傅氏变换£

ℱ2．已知单边拉氏变换求傅氏变换（因果信号）£=不存在原因：收敛域未包含轴，令无意义（收敛边界在s右半平面）①§4.6双边拉氏变换；拉氏变换∽傅里叶变换对应②（收敛边界在s左半平面）££=原因：收敛域包含轴，有意义令§4.6双边拉氏变换；拉氏变换∽傅里叶变换££③(收敛边界位于虚轴)不能简单地将s换为jω，在它的傅氏变换中将包含奇异函数项收敛域不包含jω轴，但处于临界状态，借助δ(ω)可使F(jω)有意义§4.6双边拉氏变换；拉氏变换∽傅里叶变换a)极点在左半平面

极点在虚轴上（一阶）收敛边界在s左半平面§4.6双边拉氏变换；拉氏变换∽傅里叶变换第一部分是将F(s)中的s以jω

代入第二部分为一系列冲激函数之和§4.6双边拉氏变换；拉氏变换∽傅里叶变换b)极点在左半平面

极点在虚轴上（k阶）§4.6双边拉氏变换；拉氏变换∽傅里叶变换§4.6双边拉氏变换；拉氏变换∽傅里叶变换[例4]：解：的拉氏变换和傅氏变换求①单边拉氏变换=〉傅里叶变换§4.6双边拉氏变换；拉氏变换∽傅里叶变换傅里叶变换性质②的拉氏变换和傅氏变换解：傅里叶变换性质§