考研数学一（概率统计）模拟试卷1（共243题）

考研数学一（概率统计）模拟试卷1（共9套）（共243题）考研数学一（概率统计）模拟试卷第1套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、设A，B为任意两个不相容的事件且P(A)＞0，P(B)＞0，则下列结论正确的是()．A、B、C、P(AB)=P(A)P(B)D、P(A一B)=P(A)标准答案：D知识点解析：因为A，B不相容，所以P(AB)=0，又P(A—B)=P(A)一P(AB)，所以P(A—B)=P(A)，选(D)．2、设随机变量X的密度函数为f(x)=(a＞0，A为常数)，则P｛a＜X＜a+b｝的值()．A、与b无关，且随a的增加而增加B、与b无关，且随a的增加而减少C、与a关，且随b的增加而增加D、与a无关，且随b的增加而减少标准答案：C知识点解析：因为∫－∞＋∞f(x)dx=1，所以∫0＋∞Ae－xdx=1，解得A=ea，由P(a＜X＜a＋b)=∫aa＋bf(x)dx=∫aa＋beae－xdx=一eae－x｜aa＋b=1一e－b，得P(a＜X＜a＋b)与a无关，且随b的增加而增加，正确答案为(C)．3、设二维随机变量(X，Y)在区域D：x2+y2≤9a2(a＞0)上服从均匀分布，p=P(X2+9Y2≤9a2)，则()．A、p的值与a无关，且p=B、p的值与a无关，且p=C、p的值随a值的增大而增大D、p的值随a值的增大而减少标准答案：B知识点解析：因为(X，Y)在区域D：x2+y2≤9a2上服从均匀分布，所以(X，Y)的联合密度函数为f(x，y)=p=P｛X2+9Y2≤9a2｝=，选(B)．4、设X，Y为两个随机变量，若对任意非零常数a，b有D(aX+bY)=D(aX—bY)，下列结论正确的是()．A、D(XY)=D(X)D(Y)B、X，Y不相关C、X，Y独立D、X，Y不独立标准答案：B知识点解析：D(aX+bY)=a2D(X)+b2D(Y)+2abCov(X，Y)，D(aX一bY)=a2D(X)+b2D(Y)一2abCov(X，Y)，因为D(aX+bY)=D(aX—bY)，所以Cov(X，Y)=0，即X，Y不相关，选(B)．5、设X，Y都服从标准正态分布，则()．A、X+Y服从正态分布B、X2+Y2服从χ2分布C、X2，Y2都服从χ2分布D、X2／Y2服从F分布标准答案：C知识点解析：因为X，Y不一定相互独立，所以X+Y不一定服从正态分布，同理(B)，(D)也不对，选(C)．二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)6、设P(B)=0．5，P(A—B)=0．3，则P(A+B)=_________．标准答案：0．8知识点解析：因为P(A—B)=P(A)一P(AB)，所以P(A+B)=P(A—B)＋P(B)=0．8．7、设事件A，B，C两两独立，满足ABC=，P(A)=P(B)=P(C)，且P(A+B+C)=，则P(A)=________．标准答案：知识点解析：由P(A＋B＋C)=P(A)+P(B)＋P(C)一P(AB)一P(AC)一P(BC)＋P(ABC)且ABC=，P(A)=P(B)=P(C)，得3P(A)一3P2(A)=，因为AA+B＋C，所以P(A)≤P(A+B＋C)=．8、设随机变量X的分布律为X～，则c=_________．标准答案：知识点解析：由c—c2+c+．9、一工人同时独立制造三个零件，第k个零件不合格的概率为(k=1，2，3)，以随机变量X表示三个零件中不合格的零件个数，则P(X=2)=_________．标准答案：知识点解析：令Ak=｛第k个零件不合格｝(k=1，2，3)，10、设随机变量X～N(0，σ2)，Y～N(0，4σ2)，且P(X≤1，Y≤一2)=，则P(X＞1，Y＞一2)=__________．标准答案：知识点解析：令｛X≤1｝=A，｛Y≤一2｝=B，P(A)=，且P(AB)=，则11、设随机变量X在[一1，2]上服从均匀分布，随机变量Y=，则D(Y)=_________．标准答案：知识点解析：随机变量X的密度函数为f(x)=随机变量Y的可能取值为一1，0，1，P(Y=一1)=P(X＜0)=∫－10，P(Y00)=P(X=0)=0，P(Y=1)=P(X＞0)=，Y的分布律为Y～=1，则D(Y)=E(Y2)一[E(Y)]2=．12、设X，Y为两个随机变量，且D(X)=9，Y=2X+3，则X，Y的相关系数为_________．标准答案：1知识点解析：D(Y)=4D(X)=36，Cov(X，Y)=Cov(X，2X+3)=2Cov(X，X)+Cov(X，3)=2D(X)+Cov(X，3)，因为Cov(X，3)=E(3X)－E(3)E(X)=3E(X)一3E(X)=0，所以Cov(X，Y)=2D(X)=18，于是=1．13、设总体X～N(μ，σ2)，X1，X2，…，Xn是来自总体的简单随机样本，，则～_________，=__________．标准答案：，＋μ2知识点解析：14、设(X1，X2，…，Xn，Xn－1，…，Xn－m)为来自总体X～N(0，σ2)的简单样本，则统计量U=服从_________分布．标准答案：知识点解析：因为～χ2(m)相互独立，所以．15、设总体X的分布律为X～(θ为正参数)，一1，2，一1，1，2为样本观察值，则θ的极大似然估计值为_________．标准答案：知识点解析：L(θ)=θ2×(1—2θ)×θ2=θ4(1—2θ)，lnL(θ)=4lnθ+ln(1—2θ)，令=0，得参数θ的极大似然估计值为．三、解答题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)16、设X的密度函数为F(x)=，求k的取值范围．标准答案：显然k＜6，当3＜k＜6时，P(X≥k)=∫k6；当1≤k≤3时，P(X≥k)=∫36；当0≤k＜1时，P(X≥k)=；当k＜0时，P(X≥k)=1，所以1≤k≤3．知识点解析：暂无解析设连续型随机变量X的分布函数为F(x)=17、求常数A，B；标准答案：因为连续型随机变量的分布函数是连续的，所以有．知识点解析：暂无解析18、求X的密度函数f(x)；标准答案：f(x)=知识点解析：暂无解析19、求P(x＞)．标准答案：．知识点解析：暂无解析设(X，Y)的联合概率密度为f(x，y)=．求：20、(X，Y)的边缘密度函数；标准答案：当0＜x＜1时，fX(x)=∫－∞＋∞f(x，y)dy=∫02xdy=2x．当x≤0或x≥1时，fX(x)=0，所以fX(x)=，同理fY(y)=．知识点解析：暂无解析21、Z=2X—Y的密度函数．标准答案：当z≤0时，F(z)=0；当z≥2时，F(z)=1；当0＜z＜2时．知识点解析：暂无解析设随机变量X，Y相互独立且都服从标准正态分布，令U=X2+Y2．求：22、fU(μ)；标准答案：因为X，Y相互独立且都服从标准正态分布，所以(X，Y)的联合密度函数为f(x，y)=(一∞＜x，y＜+∞)FU(μ)=P(U≤μ)，当μ＜0时，FU(μ)=0；当μ≥0时，FU(μ)=P(U≤μ)=P(X2+Y2≤μ)==，所以fU(μ)=即U服从参数为λ=的指数分布．知识点解析：暂无解析23、P｛U＞D(U)｜U＞E(U)｝．标准答案：E(U)=2，D(U)=4，P｛U＞D(U)｜U＞E(U)｝=P(U＞4｜U＞2)=，因为P(U＞4)=1一P(U≤4)=l－(1一e－2)=e－2．P(U＞2)=1一(1一e－1)=e－1，所以P｛U＞D(U)｜U＞F(U)｝=e－1．知识点解析：暂无解析24、设随机变量X～U(0，1)，Y～E(1)，且X，Y相互独立，求随机变量Z=X+Y的概率密度．标准答案：X～U(0．1)，Y～E(1)因为X，Y相互独立，所以f(x，y)=fX(x)fY(y)=于是FZ(z)=P(Z≤z)=P(X+Y≤z)=．当z≤0时，FZ(z)=0；当0＜z＜1时，FZ(z)=f(x，y)dxdy=∫0zdx∫0z－xe－ydy=z＋e－z－1；当z≥1时，FZ(z)=f(x，y)dxdy=∫0zdx∫0z－xe－ydy=e－z－e1－z＋1．所以FZ(z)=．知识点解析：暂无解析25、设试验成功的概率为，失败的概率为，独立重复试验直到成功两次为止．求试验次数的数学期望．标准答案：设试验的次数为X，则X的分布律为知识点解析：暂无解析26、设X～U(一1，1)，Y=X2，判断X，Y的独立性与相关性．标准答案：cov(X，Y)=E(XY)一E(X)E(Y)，E(X)=0，E(XY)=E(X3)=∫－11dx=0，因此Cov(X，Y)=0，X，Y不相关；判断独立性，可以采用试算法知识点解析：暂无解析27、设总体X的密度函数为f(x)=，X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，求参数θ的最大似然估计量．标准答案：知识点解析：暂无解析28、某批木材的直径服从正态分布，从中随机抽取20根，测得平均直径为=32．5cm，样本标准差为15，问在显著性水平为0．05下，是否可以认为这批木材的直径为30cm?标准答案：令H0：μ=30，H1：μ≠30．已知总体X～N(μ，σ2)，=32．5，因为σ2未知，所以取统计量～t(n一1)，查表得t0．025(19)=2．093，则H0的接受域为(一2．093，2．093)，而∈(一2．093，2．093)，所以H0被接受，即可以认为这批木材的平均直径为30cm．知识点解析：暂无解析考研数学一（概率统计）模拟试卷第2套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、下列命题不正确的是()．A、若P(A)=0，则事件A与任意事件B独立B、常数与任何随机变量独立C、若P(A)=1，则事件A与任意事件B独立D、若P(A+B)=P(A)+P(B)，则事件A，B互不相容标准答案：D知识点解析：P(A)=0时，因为ABA，所以P(AB)=0，于是P(AB)=P(A)P(B)，即A，B独立；常数与任何随机变量独立；若P(A)=1，则P(，B独立，则A，B也独立；因为P(A+B)=P(A)+P(B)，得P(AB)=0，但AB不一定是不可能事件，故选(D)．2、设随机变量X的密度函数为f(x)，且f(x)为偶函数，X的分布函数为F(x)，则对任意实数a，有()．A、F(－a)=1－∫0af(x)dxB、F(－a)=－∫0af(x)dxC、F(－a)=F(a)D、F(－a)=2F(a)－1标准答案：B知识点解析：F(－a)=∫－∞－af(x)dx∫a+∞rf(－t)dt=∫a+∞f(t)dt=1－∫－∞af(t)dt=1－(∫－∞－af(t)dt+∫－aaf(t)dt)=1－F(－a)－2∫0af(t)dt则F(－a)=－∫0af(x)dx，选(B)．3、若(X，Y)服从二维正态分布，则①X，Y一定相互独立；②若ρXY=0，则X，Y一定相互独立；③X和Y都服从一维正态分布；④X，Y的任一线性组合服从一维正态分布．上述几种说法中正确的是()．A、①②③B、②③④C、①③④D、①②④标准答案：B知识点解析：因为(X，Y)服从二维正态分布，所以X，Y都服从一维正态分布，aX+bY服从一维正态分布，且X，Y独立与不相关等价，所以选(B)．4、设X～t(n)，则下列结论正确的是()．A、X2～F(1，n)B、1／X2～F(1，n)C、X2～χ2(n)D、X2～χ2(n－1)标准答案：A知识点解析：由X～t(n)，得X=，其中U～N(0，1)，V～χ2(n)，且U，V相互独立，于是X2=～F(1，n)，选(A)．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)5、设P(A)=0．6，P(A)=0．2，P(B)=0．3，则P(A+)=_______．标准答案：1／4知识点解析：由P(A)=P(A－B)=P(A)－P(AB)=0．2及P(A)=0．6得P(AB)=0．4，再由P(B)=P(B－A)=P(B)－P(AB)=0．3得P(B)=0．7，6、设10件产品中有4件不合格，从中任取两件，已知两件中有一件不合格，则另一件产品也不合格的概率为_______．标准答案：1／5知识点解析：令A={第一件产品合格}，B={第二件产品合格}，则所求概率为7、设随机变量(X，Y)的联合密度为f(x，y)=，则P(X＞5|Y≤3)=_______．标准答案：知识点解析：P(X＞5|Y≤3)8、设随机变量X的密度函数为f(x)=，则E(X)=_______，D(X)=_______．标准答案：1／2知识点解析：因为f(x)所以X～N(1，1／2)，于是E(X)=1，D(X)=1／2．9、设随机变量X，Y不相关，X～U(－3，3)，Y的密度为fY(y)=根据切比雪夫不等式，有P{|X－Y|＜3}≥_______．标准答案：2／5知识点解析：E(X)=0，D(X)=3，E(Y)=0，D(Y)=12／5，则E(X－Y)=0，D(X－Y)=D(X)+D(Y)－2Cov(X，Y)=27／5，所以P(|X－Y|＜3)=P(|(X－Y)－E(X－Y)|＜3)≥1－=2／5．三、解答题(本题共17题，每题1.0分，共17分。)10、甲、乙两船驶向不能同时停靠两条船的码头，它们一天到达时间是等可能的，如果甲停靠，则停靠的时间为1小时，若乙停靠，则停靠的时间为2小时，求它们不需要等候的概率．标准答案：设甲乙两船到达的时刻分别为x，y(0≤x≤24，0≤y≤24)，则两船不需要等待的充分必要条件是令D={(x，y)|0≤x≤24，0≤y≤24}，则D1={(x，y)|y－x≥1，x－y≥2，(x，y)∈D}，则两船不需要等待的概率为知识点解析：暂无解析11、有甲、乙两个口袋，两袋中都有3个白球2个黑球，现从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取4个球，设4个球中的黑球数用X表示，求X的分布律．标准答案：设A={从甲袋中取出黑球}，X的可能取值为0，1，2，3，令{X=i}=Bi(i=0，1，2，3)，则P(X=0)=P(B0)=P(A)P(B0|A)+P(P(X=1)=P(B1)=P(A)P(B1|A)+P(P(X=2)=P(B2)=P(A)P(B2|A)+P(P(X=3)=P(B3)=P(A)P(B3|A)+P(所以X的分布律为知识点解析：暂无解析设随机变量X满足|X|≤1，且P(x=－1)=1／8，P(X－1)=1／4，在{－1＜X＜1}发生的情况下，X在(－1，1)内任一子区间上的条件概率与该子区间长度成正比．12、求X的分布函数；标准答案：当x＜－1时，F(x)=0；当x=－1时，F(－1)=1／8；因为P(－1＜X＜1)=1－=5／8，所以在{－1＜X＜1}(－1＜x＜1)发生下，P(－1＜X≤x|－1＜X＜1)=，于是当－1＜x＜1时，P(－1＜X≤x)=P(－1＜X≤x，－1＜x＜1)=P(－1＜X＜1)．P(－1＜X≤x|－1＜x＜1)F(x)=P(X≤x)=P(X≤－1)+P(－1＜X≤x)当x≥1时，F(x)=1，知识点解析：暂无解析13、求P(X＜0)．标准答案：P(X＜0)=F(0)=7／16．知识点解析：暂无解析14、设求矩阵A可对角化的概率．标准答案：由|λE－A|=(λ－1)(λ－2)(λ－Y)=0得矩阵A的特征值为λ1=1，λ2=2，λ3=Y．若Y≠1，2时，矩阵A一定可以对角化；当Y=1时，λ=1为二重特征值，因为r(E－A)=2，所以A不可对角化；当Y=2时，λ=2为二重特征值，因为r(2E－A)=1，所以A可对角化，故A可对角化的概率为P(Y≠1，2)+P(Y=2)=P(Y=0)+P(Y=2)+P(Y=3)=2／3知识点解析：暂无解析15、设随机变量X，Y相互独立，且X～P(1)，Y～P(2)，求P(max{X，Y}≠0)及P(min{X，Y}≠0)．标准答案：P(max{X，Y}≠0)=1－P(max{X，Y}=0)=1－P(X=0，Y=0)=1－P(X=0)P(Y=0)=1－e－1e－2=1－e－3。P(min{X，Y}≠0)=1－P(rain{X，Y}=0)，令A={X=0}，B={Y=0}，则(min{X，Y}=0)=A+B，于是P(min{X，Y}=0)=P(A+B)=P(A)+P(B)－P(AB)=e－1+e－2－e－1．e－2=e－1+e－2－e－3，故P(min{X，Y}≠0)=1－e－1－e－2+e－3．知识点解析：暂无解析n把钥匙中只有一把可以把门打开，现从中任取一把开门，直到打开门为止，下列两种情况分别求开门次数的数学期望和方差：16、试开过的钥匙除去；标准答案：设X为第一种情况开门次数，X的可能取值为1，2，…，n．且P(X=k)=1／n，k=1，2，…，n．注意：设第3次才能打开门，则D(X)=E(X2)－[E(X)]2=(n2－1)／12．知识点解析：暂无解析17、试开过的钥匙重新放回．标准答案：设Y为开门次数，Y的可能取值为1，2，…，n，…，且P(Y=k)=(1－)k－11／n，k=1，2，…．知识点解析：暂无解析18、设一部机器一天内发生故障的概率为1／5，机器发生故障时全天停止工作．若一周5个工作日无故障，则可获利10万元；发生一次故障获利5万元；发生两次故障获利0元；发生三次及以上的故障亏损2万元，求一周内利润的期望值．标准答案：用X表示5天中发生故障的天数，则X～B(5，1／5)，以Y表示获利，则则E(Y)=10P(X=0)+5P(X=1)－2[P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)]=10×0．328+5×0．410－2×0．057=5．216(万元)知识点解析：暂无解析19、电话公司有300台分机，每台分机有6％的时间处于与外线通话状态，设每台分机是否处于通话状态相互独立，用中心极限定理估计至少安装多少条外线才能保证每台分机使用外线不必等候的概率不低于0．95?标准答案：令X表示需要使用外线的分机数，则Xi=E(X)=300×0．06=18，D(X)=300×0．0564=16．92．设至少需要安装n条外线，由题意及中心极限定理得解得≥1．645，n≥24．8，所以至少要安装25条外线才能保证每台分机需要使用外线时不需要等待的概率不低于0．95．知识点解析：暂无解析20、设总体X～N(0，1)，(X1，X2，…，Xm，Xm+1，…，Xm－n)为来自总体X的简单随机样本，求统计量所服从的分布．标准答案：显然U=Xi～N(0，m)，V=Xi～N(0，n)，且U，V相互独立，知识点解析：暂无解析21、设总体X～N(0，σ2)，X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，Xi，S2=所服从的分布．标准答案：知识点解析：暂无解析设X1，X2，…，Xn(n＞2)是来自总体X～N(0，1)的简单随机样本，记Yi=Xi－(i=1，2，…，n)．求：22、D(Yi)；标准答案：由Yi知识点解析：暂无解析23、Cov(Y1，Yn)．标准答案：因为X1，X2，…，Xn(n＞2)相互独立，所以Cov(Y1，Yn)知识点解析：暂无解析24、设总体X～N(μ，σ12)，Y～N(μ，σ22)，且X，Y相互独立，来自总体X，Y的样本均值为，样本方差为S12，S22．记a=，求统计量U=a的数学期望．标准答案：由，S12，S22相互独立，可知a，b与相互独立，显然a+b=1．E(E(U)=μ[E(a)+E(b)]+μE(a+b)=μE(1)=μ．知识点解析：暂无解析25、设总体X～U[0，θ]，其中θ＞0，求θ的极大似然估计量，判断其是否是θ的无偏估计量．标准答案：总体X的密度函数和分布函数分别为设x1，x2，…，xn为总体X的样本观察值，似然函数为L(θ)(i=1，2，…，n)．当0＜xi＜θ(i=1，2，…，n)时，L(θ)=1／θn＞0且当θ越小时L(θ)越大，所以θ的最大似然估计值为=max(x1，x2，…，xn}，θ的最大似然估计量为=max{X1，X2，…，Xn}．因为=max{X1，X2，…，Xn}的分布函数为(x)=P(max{X1，…，Xn}≤x)=P(X1≤x)…P(Xn≤x)=Fn(x)=max(X1，X2，…，Xn}不是θ的无偏估计量．知识点解析：暂无解析26、某生产线生产白糖，设白糖重量X～N(μ，152)，现从生产线上任取10袋，s=30．23，在显著性水平α=0．05下，问机器生产是否正常?标准答案：令H0：σ2≤152，H1：σ2＞152．因为σ2已知，所以取统计量～χ2(n－1)，χ0．052(9)=16．919，因为=36．554＞16．919，所以H0：σ2≤152被拒绝，即机器不能正常工作．知识点解析：暂无解析考研数学一（概率统计）模拟试卷第3套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、设随机变量X～U[1，7]，则方程x2+2Xx＋9=0有实根的概率为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：X～f(x)=，方程x2＋2Xx＋9=0有实根的充要条件为△=4X2一36≥0X2≥9，P(X2≥9)=1一P(X2＜9)=1一P(1＜X＜3)=．2、设随机变量X，Y相互独立，且X～N(0，1)，Y～N(1，1)，则()．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：X，Y独立，X～N(0，1)，Y～N(1，1)，X+Y～N(1，2)，所以选(B)．3、设(X1，X2，…，Xn)(n≥2)为标准正态总体X的简单随机样本，则()．A、～N(0，1)B、nS2～χ2(n)C、～t(n－1)D、～F(1，n～1)标准答案：D知识点解析：由X12～χ2(1)，～F(1，n一1)，选(D)．二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)4、设P(A)=0．4，且P(AB)=，则P(B)=_________．标准答案：0．6知识点解析：因为=1一P(A+B)，所以P(AB)=1一P(A+B)=1一P(A)一P(B)＋P(AB)，从而P(B)=1一P(A)=0．6．5、设一次试验中，出现事件A的概率为p，则n次试验中A至少发生一次的概率为_________，A至多发生一次的概率为__________．标准答案：1一(1一P)n，(1一P)n－1[1+(n一1)p]；知识点解析：令B={A至少发生一次}，则P(B)=1—Cn0p0(1一p)n=1一(1一P)n，令C=｛A至多发生一次｝，则P(C)=Cn0p0(1一p)n+Cn1(1一p)n－1=(1一P)n－1[1+(n一1)p]．6、设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且P(X=0)=P(X=1)，则P(X≥1)=_________。标准答案：1一e－2知识点解析：X的分布律为P(X=k)=e－λ(k=0，1，2，…)，由P(X=0)=P(X=1)得λ=2，P(X≥1)=1一P(X=0)=1一e－2．7、设离散型随机变量X的分布函数为FX(x)=则Y=X2+1的分布函数为_________．标准答案：FY(y)=知识点解析：X的分布律为X～，Y的可能取值为1，2，10，P(Y=1)=P(X=0)=，P(Y=2)=P(X=1)=，P(Y=10)=P(X=3)=，于是Y的分布函数为FY(y)=8、设X～P(1)，Y～P(2)，且X，Y相互独立，则P(X+Y=2)=__________．标准答案：e－3知识点解析：P(X+Y=2)=P(X=0，Y=2)+P(X=1，Y=1)+P(X=2，Y=0)，由X，Y相互独立得P(X+Y=2)=P(X=0)P(Y=2)+P(X=1)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)=．9、随机变量X的密度函数为f(x)=ke－｜x｜(一∞＜x＜+∞)，则E(X2)=_________．标准答案：2知识点解析：因为∫－∞＋∞f(x)dx=1，所以∫－∞＋∞ke－｜x｜dx=2k∫0＋∞e－xdx=2k=1，解得k=．于是E(X2)=∫－∞＋∞x2f(x)dx=×2∫0＋∞x2e－xdx==2！=2．10、设随机变量X，Y，Z相互独立，且X～U[一1，3]，Y～B(10，)，Z～N(1，32)，且随机变量U=X+2Y一3Z+2，则D(U)=_________．标准答案：知识点解析：由X～U[一1，3]，Y～B(10，)，Z～N(1，32)得，D(Z)=9，于是D(U)=D(X)+4D(Y)+9D(Z)=．11、设D(X)=1，D(Y)=9，ρXY=一0．3，则Cov(X，Y)=_________．标准答案：一0．9知识点解析：Cov(X，Y)==0．3×1×3=一0．9．12、设随机变量X～N(1，2)，Y～N(一1，2)，Z～N(0，9)且随机变量X，Y，Z相互独立，已知n(X+Y)2+bZ2～χ2(n)(ab≠0)，则a=________，b=________，n=________．标准答案：a=，b=，n=2；知识点解析：由X～N(1，2)，Y～N(－1，2)，Z～N(0，9)，得X＋Y～N(0，4)且～N(0，1)，故，n=2．13、某产品废品率为3％，采用新技术后对产品重新进行抽样检验，检查是否产品次品率显著降低，取显著性水平为0．05，则原假设为H0：__________，犯第一类错误的概率为_________．标准答案：p≤3％，5％知识点解析：原假设为H0：p≤3％，犯第一类错误的概率为5％．三、解答题(本题共17题，每题1.0分，共17分。)10件产品有3件次品，7件正品，每次从中任取一件，取后不放回，求下列事件的概率：14、第三次取得次品；标准答案：P(A3)=；知识点解析：暂无解析15、第三次才取得次品；标准答案：(试验还没有开始，计算前两次都取不到次品，且第三次取到次品的概率)．知识点解析：暂无解析16、已知前两次没有取到次品，第三次取得次品；标准答案：(已知前两次已发生的结果，唯一不确定的就是第三次)．知识点解析：暂无解析17、不超过三次取到次品．标准答案：P(A1+A2＋A3)=1－，知识点解析：暂无解析18、一批产品有10个正品2个次品，任意抽取两次，每次取一个，抽取后不放同，求第二次抽取次品的概率．标准答案：令A1=｛第一次抽取正品｝，A2=｛第一次抽取次品｝，B=｛第二次抽取次品｝，由全概率公式得P(B)=P(A1)P(B｜A1)+P(A2)P(B｜A2)=．知识点解析：暂无解析设起点站上车人数X服从参数为λ(λ＞0)的泊松分布，每位乘客中途下车的概率为p(0＜p＜1)，且中途下车与否相互独立，以Y表示中途下车人数．19、求在发车时有n个乘客的情况下，中途有m个乘客下车的概率；标准答案：设A=(发车时有n个乘客)，B=(中途有m个人下车)，则P(B｜A)=P(Y=m｜X=n)=Cnmpm(1一p)n－m(0≤m≤n)．知识点解析：暂无解析20、求(X，Y)的概率分布．标准答案：P(X=n，Y=m)=P(AB)=P(B｜A)P(A)=Cnmpm(1一p)n－m．e－λ(0≤m≤n，n=0．1，2．…)．知识点解析：暂无解析21、设二维随机变量(X，Y)的联合分布律为则在Y=1的条件下求随机变量X的条件概率分布．标准答案：因为P(Y=1)=0．6，所以P(X=0｜Y=1)=，P(X=1｜Y=1)=．知识点解析：暂无解析设随机变量(X，Y)的联合密度为f(x，y)=．求：22、X，Y的边缘密度；标准答案：fX(x)=∫－∞＋∞f(x，y)dy=．知识点解析：暂无解析23、．标准答案：知识点解析：暂无解析24、一台设备由三大部件构成，在设备运转过程中各部件需要调整的概率分别为0．1，0．2，0．3，假设各部件的状态相互独立，以X表示同时需要调整的部件数，求E(X)，D(X)．标准答案：令Ai=｛第i个部件需要调整｝(i=1，2，3)，X的可能取值为0，1，2，3，P(X=0)==0．9×0．8×0．7=0．504，P(X=1)==0．398，P(X=3)=P(A1A2A3)=0．006，P(X=2)=1一0．504—0．398－0．006=0．092，所以X的分布律为X～，E(X)=1×0．398+2×0．092+3×0．006=0．6，D(X)=E(X2)一[E(X)]2=12×0．398+22×0．092+32×0．006－0．36=0．46．知识点解析：暂无解析25、一民航班车上有20名旅客，自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车，以X表示停车次数，求E(X)(设每位旅客下车是等可能的)．标准答案：令Xi=(i=1，2，…，10)，显然X=X1+X2+…+X10。因为任一旅客在第i个站不下车的概率为0．9，所以20位旅客都不在第i个站下车的概率为0．920，从而第i个站有人下车的概率为1—0．920，即Xi的分布律为Xi～(i=1，2，…，10)，于是E(Xi)=1—0．920(i=1，2，…，10)，从而有E(X)=E(Xi)=10(1－0．920)=8．784．知识点解析：暂无解析26、设随机变量X的数学期望和方差分别为E(X)=μ，D(X)=σ2，用切比雪夫不等式估计P{｜X一μ｜＜3σ}．标准答案：P｛｜X一μ｜＜3σ｝≥1—．知识点解析：暂无解析某保险公司统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20％，用X表示抽取的100个索赔户中被盗索赔户的户数．27、求X的概率分布；标准答案：X～B(100，0．2)，即X的分布律为P(X=k)=C100k0．2k．0．8100－k(k=0．1，2，…，100)．知识点解析：暂无解析28、用拉普拉斯定理求被盗户数不少于14户且不多于30户的概率的近似值．标准答案：E(X)=20，D(X)=16．P(14≤X≤30)=≈φ(2．5)一φ(一1．5)=0．927．知识点解析：暂无解析29、设X1，X2，…，X7是总体X～N(0，4)的简单随机样本，求P(Xi2≤64)．标准答案：由X1，X2，…，X7与总体服从相同的分布且相互独立，得Xi2～χ2(7)，于是，查表得χ0．0252(7)=16．014，故P(Xi2≤64)=1—0．025=0．975．知识点解析：暂无解析30、设总体X的分布律为P(X=k)=(1－p)k－1p(k=1，2，…)，其中p是未知参数，X1，X2，…，Xn为来自总体的简单随机样本，求参数p的矩估计量和极大似然估计量．标准答案：E(X)=，L(p)=P(X=x1)…P(X=xn)=，lnL(p)=(一n)ln(1一p)+nlnp，令=0，得参p的极大似然估计量．知识点解析：暂无解析考研数学一（概率统计）模拟试卷第4套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、设事件A，B互不相容，且0＜P(A)＜1，则有()．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：因为A，B互不相容，所以P(AB)=0，于是有P(B|B)=P(B)－P(AB)=P(B)选(B)．2、设A，B是任两个随机事件，下列事件中与A+B=B不等价的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：A+B=B等价于AB=A，AB=A等价于A=A－AB，则A等价于AB=A，所以选(D)．3、设随机变量X，Y的分布函数分别为F1(x)，F2(x)，为使得F(x)=aF1(x)+bF2(x)为某一随机变量的分布函数，则有()．A、a=1／2，b=－1／2B、a=1／2，b=3／2C、a=－1／2，b=1／2D、a=－1／2，b=3／2标准答案：D知识点解析：根据性质F(+∞)=1，得正确答案为(D)．4、设随机变量X，Y都是正态变量，且X，Y不相关，则()．A、X，Y一定相互独立B、(X，Y)一定服从二维正态分布C、X，Y不一定相互独立D、X+Y服从一维正态分布标准答案：C知识点解析：只有当(X，Y)服从二维正态分布时，X，Y独立才与X，Y不相关等价，由X，Y仅仅是正态变量且不相关不能推出X，Y相互独立，(A)不对；若X，Y都服从正态分布且相互独立，则(X，Y)服从二维正态分布，但X，Y不一定相互独立，(B)不对；当X，Y相互独立时才能推出X+Y服从一维正态分布，(D)不对，故选(C)．5、设总体X～N(0，σ2)，X1，X2，…，Xn为总体X的简单随机样本，与S2分别为样本均值与样本方差，则()．A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：应选(A)．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)6、独立投骰子两次，X，Y表示投出的点数，令A={X+Y=10}，B={X＞Y}，则P(A+B)=_______．标准答案：17／36知识点解析：P(A)=P{X=4，Y=6}+P{X=5，Y=5}+P{X=6，Y=4}=3×=1／12，P(B)=P{X=2，Y=1}+P{X=3，Y=1}+P{X=3，Y=2}+P{X=4，Y=3}+P{X=4，Y=2}+P{X=4，Y=1}+P{X=5，Y=4}+P{X=5，Y=3}+P(X=5，Y=2}+P{X=5，Y=1}+P{X=6，Y=5}+P{X=6，Y=4}+P{X=6，Y=3}+P{X=6，Y=2}+P{X=6，Y=1}=15／36=5／12P(AB)=P(X=6，Y=4}=1／36，则P(A+B)=P(A)+P(B)－P(AB)7、设X，Y为两个随机变量，且P(X≥0，Y≥0)=3／7，P(X≥0)=P(Y≥0)=4／7，则P(max{X，Y}≥0)=_______．标准答案：5／7知识点解析：令{X≥0}=A，{Y≥0}=B，则有P(AB)=3／7，P(A)=P(B)=4／，故P(max{X，Y}≥0)=1－P(max{X，Y}＜0)=1－P(X＜0，Y＜0)=1－P()=P(A+B)=P(A)+P(B)－P(AB)=5／7．8、设随机变量X～P(λ)，且E[(X－1)(X－2)]=1，则λ=_______．标准答案：1知识点解析：因为X～P(λ)，所以E(X)=λ，D(X)=λ，故E(X2)=D(X)+[E(X)]2=λ2+λ．由E[(X－1)(X－2)]=E(X2－3X+2)=E(X2)－3E(X)+2=λ2－2λ+2=1得λ=1．9、(1)将一均匀的骰子连续扔六次，所出现的点数之和为X，用切比雪夫不等式估计P(14＜X＜28)=_______．(2)设随机变量X1，X2，…，X10相互独立且Xi～π(i)(i=1，2，…，10)，Y=1／10Xi，根据切比雪夫不等式，P{4＜Y＜7)≥_______．标准答案：(1)9／14(2)34／45知识点解析：(1)设Xi为第i次的点数(i=1，2，3，4，5，6)，则X=Xi，其中D(Xi)=35／12，i=1，2，3，4，5，6．则E(X)=6×=21，D(X)=6×=35／2，由切比雪夫不等式，有P(14＜X＜28)=P(|X－E(X)|＜7)≥1－=9／14．(2)由Xi～π(i)得E(Xi)=i，E(Di)=i(i=1，2，…，10)，则P(4＜Y＜7)=P(－3／2＜Y－E(Y)＜3／2)=P(|Y－E(Y)|＜3／2)10、设总体X，Y相互独立且服从N(0，9)分布，(X1，…，X9)与(Y1，…，Y9)分别为来自总体X，Y的简单随机样本，则U=～_______．标准答案：t(9)知识点解析：由X1+X2+…+X9～N(0，81)，得1／9(X1+X2+…+X9)～N(0，1)．因为Y1，…，Y9相互独立且服从N(0，9)分布，所以(Y1／3)2+(Y1／3)2+…+(Y9／3)2～χ2(9)，即1／9(Y12+…+Y92)～χ2(9)．因此三、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)11、某人打电话忘记对方号码最后一位，因而对最后一位数随机拨号，设拨完某地区规定的位数才完成一次拨号，且假设对方不占线，求到第k次才拨通对方电话的概率．标准答案：令Ak={第k次拨通对方电话}(k=1，2，…，10)，知识点解析：暂无解析12、设一电路由三个电子元件串联而成，且三个元件工作状态相互独立，每个元件的无故障工作时间服从参数为λ的指数分布，设电路正常工作的时间为T，求T的分布函数．标准答案：设三个元件正常工作的时间为Ti(i=1，2，3)，T1，T2，T3相互独立且其分布函数都是当t＞0时，令A={T1≤t}，B={T2≤t}，C={T3≤t}，且A，B，C独立，则FT(t)=P(T≤t)=P(A+B+C)．P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)－P(AB)－P(AC)－P(BC)+P(ABC)，P(A)=P(B)=P(C)=1－e－λt，FT(t)=3(1－e－λt)－3(1－e－λt)2+(1－e－λt)3，于是FT(t)知识点解析：暂无解析13、设随机变量X～E(λ)，令Y=求P(X+Y=0)及FY(y)．标准答案：P(X+Y=0)=P(Y=－X)=P(|X|＞1)=P(X＞1)+P(X＜－1)=P(X＞1)=－1P(X≤1)=1－FX(1)=e－λFY(y)=P(Y≤y)=P(Y≤y，|X|≤1)+P(Y≤y，|X|＞1)=P(X≤y，|X|≤1)+P(－X≤y，X＞1)+P(－X≤y，X＜－1)=P(X≤y，0＜X≤1)+P(X≥－y，X＞1)当y＜－1时，FY(y)=P(X＞－y)=eλy；当－1≤y＜0时，FY(y)=P(X＞1)=e－λ；当0≤y≤1时，FY(y)=P(X≤y)+P(X＞1)=1－e－λy+e－λ；当y＞1时，FY(y)=P(0＜X≤1)+P(X＞1)=1，知识点解析：暂无解析设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为f(x，y)=14、求随机变量X，Y的边缘密度函数；标准答案：fX(x)=∫－∞+∞f(x，y)dy．当x≤0时，fX(x)=0；当x＞0时，fX(x)=∫－∞+∞f(x，y)dy=∫0+∞2e－(x+2y)dy=e－xe－2yd(2y)=e－x，则fX(x)fY(y)=∫－∞+∞f(x，y)dx，当y≤0时，fY(y)=0；当y＞0时，fY(x)=∫0+∞2e－(x+2y)dx=2e－2y∫0+∞e－xdx=2e－2y，则fY(y)知识点解析：暂无解析15、判断随机变量X，Y是否相互独立；标准答案：因为f(x，y)=fX(x)fY(y)，所以随机变量X，Y相互独立．知识点解析：暂无解析16、求随机变量Z=X+2Y的分布函数和密度函数．标准答案：FZ(z)=P(Z≤z)=P(X+2Y≤z)=f(x，y)dxdy，当z≤0时，FZ(z)=0；当z＞0时，=∫0ze－xdx∫0(z－x)／2e－2yd(2y)=∫0ze－x(1－ex－z)dx=1－e－z－ze－z，知识点解析：暂无解析17、设随机变量X，Y相互独立，且X～，Y～E(4)，令U=X+2Y，求U的概率密度．标准答案：FU(u)=P(U≤u)=P(X+2Y≤u)=P(X=1)P(X+2Y≤u|X=1)+P(X=2)P(X+2Y≤u|X=2)当u≤1时，FU(u)=0；当1＜u≤2时，FU(u)=0．5∫0(u－1)／24e－4xdx=1／2(1－e2－2u)；当u＞2时，FU(u)=0．5∫0(u－1)／24e－4xdx+0．5∫0(u－1)／24e－4xdx=1／2(1－e2－2u)+(1－e4－2u)．故fU(u)知识点解析：暂无解析18、设由自动生产线加工的某种零件的内径X(毫米)服从正态分布N(μ，1)，内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格产品．销售合格品获利，销售不合格产品亏损，已知销售利润T(单位：元)与销售零件的内径X有如下关系：问平均内径μ取何值时，销售一个零件的平均利润最大?标准答案：E(T)=－1×P(X＜10)+20×P(10≤X≤12)－5P(X＞12)=－Ф(10－μ)+20[Ф(12－μ)－Ф(10－μ)]－5[1－Ф(12－μ)]=25Ф(12－μ)－21Ф(10－μ)－5≈10．9，所以当μ≈10．9时，销售一个零件的平均利润最大．知识点解析：暂无解析设随机变量X服从参数为2的指数分布，令U=求：19、(U，V)的分布；标准答案：因为X服从参数为2的指数分布，所以X的分布函数为(U，V)的可能取值为(0，0)．(0，1)，(1，0)，(1，1)．P(U=0，V=0)=P(X≤1，X≤2)=P(X≤1)=F(1)=1－e－2；P(U=0，V=1)=P(X≤1，X＞2)=0；P(U=1，V=1)=P(X＞1，X＞2)=P(X＞2)=1－F(2)=e－4；P(U=1，V=0)=P(X＞1，X≤2)=e－2－e－2．(U，V)的联合分布律为知识点解析：暂无解析20、U，V的相关系数．标准答案：E(U)=e－2，E(V)=e－4，E(UV)=e－4，E(U2)=e－2，E(V2)=e－4，则D(U)=E(U2)－[E(U)]2=e－2－e－4，D(V)=E(V2)－[E(V)]2=e－4－e－8．Cov(U，V)=E(UV)－E(U)E(V)=e－4－e－6，知识点解析：暂无解析设随机变量X1，X2，…，Xm+n(m＜n)独立同分布，其方差为σ2，令Y=Xm+k．求：21、D(Y)，D(Z)；标准答案：因为X1，X2，…，Xm+n相互独立，所以D(Y)=D(Xi)=nσ2，D(Z)=D(Xm+k)=nσ2知识点解析：暂无解析22、ρYZ．标准答案：Cov(Y，Z)=Cov[(X1+…+Xm)+(Xm+1+…+Xn)，Xm－1+…+Xm+n]=Cov(X1+…+Xm，Xm+1+…+Xm+n)+Cov(Xm+1+…+Xn，Xn+1+…+Xm+n)=D(Xm+1+…+Xn)+Cov(Xm+1+…+Xn，Xn+1+…+Xm+n)=(n－m)σ2，知识点解析：暂无解析23、设总体X～N(μ，σ2)，X1，X2，…，Xn+1为总体X的简单随机样本，记服从的分布．标准答案：因为Xn+1～N(μ，σ2)，～N(μ，σ2／n)，且它们相互独立，相互独立，所以由t分布的定义，有知识点解析：暂无解析24、设总体X的密度函数为f(x)=θ＞0为未知参数，a＞0为已知参数，求θ的极大似然估计量．标准答案：(θ)=f(x1)f(x2)…f(xn)lnL(θ)=nlnθ+nlna+(a－1)xia=0，得参数θ的极大似然估计量为知识点解析：暂无解析25、设总体X在区间(0，θ)内服从均匀分布，X1，X2，X3是来自总体的简单随机样本．证明：都是参数θ的无偏估计量，试比较其有效性．标准答案：因为总体X在区间(0，θ)内服从均匀分布，所以分布函数为FU(u)=P(U≤u)=P(maX{X1，X2，X3}≤u)=P(X1≤u，X2≤u，X3≤u)=P(X1≤u)P(X2≤u)P(X3≤u)FV(u)=P(V≤v)=P(min{X1，X2，X3}≤v)=1－P(min{X1，X2，X3}＞v)=1－P(X1＞v，X2＞v，X3＞v)=1－P(X1＞v)P(X2＞v)P(X3＞v)=1－[1－P(X1≤v)][1－P(X2≤v)][1－P(X3≤v)]则U，V的密度函数分别为fU(x)因为E(4／3U)=4／3E(U)都是参数θ的无偏估计量．D(U)=E(U2)－[E(U)]2D(V)=E(V2)－[E(V)]2知识点解析：暂无解析考研数学一（概率统计）模拟试卷第5套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、若事件A1，A2，A3两两独立，则下列结论成立的是()．A、A1，A2，A3相互独立B、两两独立C、P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)D、相互独立标准答案：B知识点解析：由于A1，A2，A3两两独立，所以也两两独立，但不一相互独立，选(B)．2、设随机变量X服从参数为1的指数分布，则随机变量Y=min{X，2}的分布函数()．A、是阶梯函数B、恰有一个间断点C、至少有两个间断点D、是连续函数标准答案：B知识点解析：FY(y)=P(Y≤y)=P(min{X，2}≤y)=1－P(min{X，2}＞y)=1－P(X＞y，2＞y)=1－P(X＞y)P(2＞y)当y≥2时，FY(y)=1；当y＜2时，FY(y)=1－P(X＞y)=P(X≤y)=FX(y)，而FX(x)=所以当0≤y＜2时，FY(y)=1－e－y；当y＜0时，FY(y)=0，即显然FY(y)在y=2处间断，选(B)．3、设随机变量X和Y都服从正态分布，则()．A、X+Y一定服从正态分布B、(X，Y)一定服从二维正态分布C、X与Y不相关，则X，Y相互独立D、若X与Y相互独立，则X－Y服从正态分布标准答案：D知识点解析：若X，Y独立且都服从正态分布，则X，Y的任意线性组合也服从正态分布，选(D)．4、设(X，Y)服从二维正态分布，其边缘分布为X～N(1，1)，Y～N(2，4)，X，Y的相关系数为ρXY=－0．5，且P(aX+bY≤1)=0．5，则()．A、a=1／2，b=－1／4B、a=1／4，b=－1／2C、a=－1／4，b=1／2D、a=1／2，b=1／4标准答案：D知识点解析：因为(X，Y)服从二维正态分布，所以aX+bY服从正态分布，E(aX+bY)=a+2b，D(aX+bY)=a2+4b2+2abCov(X，Y)=a2+4b2－2ab，即aX+bY～N(a+2b，a2+4b2－2ab)，由P(aX+bY≤1)=0．5得a+2b=1，所以选(D)．5、设X1，X2，…，Xn是来自正态总体X～N(μ，σ2)的简单随机样本，记则服从t(n－1)分布的随机变量是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：选(D)．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)6、设A，B是两个随机事件，且P(A)=0．4，P(B)=0．5，P(A|B)=P(A|)=_______．标准答案：0．2知识点解析：因为P(A|B)=P(A|)，所以A，B相互独立，从而A，相互独立，故P(A)=P(A)[1－P(B)]=0．4×0．5=0．27、三次独立试验中A发生的概率不变，若A至少发生一次的概率为19／27，则一次试验中A发生的概率为_______．标准答案：1／3知识点解析：设一次试验中A发生的概率为p，B={三次试验中A至少发生一次}，则P(B)=19／27，又P(B)=1－P()=1－(1－p)3，所以有1－(1－p)3=19／27，解得p=1／3，即一次试验中A发生的概率为1／3．8、设随机变量X的概率密度为fX(x)=(－∞＜x＜+∞)，Y=X2的概率密度为_______．标准答案：知识点解析：FY(y)=P(Y≤y)=P(X2≤y)．当y≤0时，FY(y)=0；当y＞0时，FY(y)=P(X2≤y)=P(－)9、设随机变量X和Y相互独立，且分布函数为令U=X+Y，则U的分布函数为_______．标准答案：知识点解析：FU(u)=P(U≤u)=P(X+Y≤u)，当u＜0时，FU(u)=0；当0≤u＜1时，FU(u)=P(U≤u)=P(X+Y≤u)=P(X=0，Y≤u)=P(X=0)P(Y≤u)当1≤u＜2时，FU(u)=P(X=0，Y≤u)+P(X=1，Y≤u－1)当u≥2时，FU(u)=1．所以FU(u)10、设X的分布函数为F(x)=，且Y=X2－1，则E(XY)=_______．标准答案：－0．6知识点解析：随机变量X的分布律为E(XY)=E[X(X2－1)]=E(X3－X)=E(X3)－E(X)，因为E(X3)=－8×0．3+1×0．5+8×0．2=－0．3，F(X)=－2×0．3+1×0．5+2×0．2=0．3，所以E(XY)=－0．6．三、解答题(本题共16题，每题1.0分，共16分。)11、袋中有a个黑球和b个白球，一个一个地取球，求第k次取到黑球的概率(1≤k≤a+b)．标准答案：方法一基本事件数n=(a+b)!，设Ak={第k次取到黑球}，则有利样本点数为a(a+b－1)!，所以方法二把所有的球看成不同对象，取k次的基本事件数为n=Aa+bk，第k次取到黑球所包含的事件数为aAa+b－1k－1，则P(Ak)知识点解析：暂无解析设一设备在时间长度为t的时间内发生故障的次数N(t)～P(λt)．12、求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布；标准答案：T的概率分布函数为F(t)=P(T≤t)，当t＜0时，F(t)=0；当t≥0时，F(t)=P(T≤t)=1－P(T＞t)=1－P(N=0)=1－e－λt，所以F(t)=即T～E(λ)．知识点解析：暂无解析13、求设备在无故障工作8小时下，再无故障工作8小时的概率．标准答案：所求概率为p=P(T≥16|T≥8)=e－8λ知识点解析：暂无解析14、设随机变量X服从参数为2的指数分布，证明：Y=1－e－2X在区间(0，1)上服从均匀分布．标准答案：因为X服从参数为2的指数分布，所以其分布函数为FX(x)Y的分布函数为FY(y)=P(Y≤y)=P(1－e－2X≤y)，当y≤0时，FY(y)=P(X≤0)=0；当y≥1时，FY(y)=P(－∞＜X＜+∞)=1；当0＜y＜1时，FY(y)=P(1－e－2X≤y)=P(X≤－1／2ln(1－y)1=FX[－1／2ln(1－y)]=y即FY(y)所以Y=1－e－2X在区间(0，1)上服从均匀分布．知识点解析：暂无解析15、设随机变量X，Y相互独立，且又设向量组α1，α2，α3线性无关，求α1+α2，α2+Xα3，Yα1线性相关的概率．标准答案：令k1(α1+α2)+k2(α2+Xα3)+k3Yα1=0，整理得(k1+Yk3)α1+(k1+k2)α2+Xk2α3=0．因为α1，α2，α3线性无关，所以有又α1+α2，α2+Xα3，Yα1线性相关的充分必要条件是上述方程组有非零解，即=0，从而XY=0，即α1+α2，α2+Xα3，Yα1线性相关的充分必要条件是XY=0．注意到X，Y相互独立，所以α1+α2，α2+Xα3，Yα1线性相关的概率为P(XY=0)=p(X=0，Y=－1／2)+P(X=1，Y=0)+P(X=0，Y=0)=P(X=0)P(Y=－1／2)+P(X=1)P(Y=0)+P(X=0)P(Y=0)=1／2知识点解析：暂无解析设D={(x，y)|0＜x＜1，0＜y＜1}，且变量(X，Y)在区域D上服从均匀分布，令Z=16、令U=X+Z，求U的分布函数．标准答案：随机变量(X，Y)的联合密度为f(x，y)U的分布函数为F(x)=P(U≤x)，当x＜0时，F(x)=0；当x≥2时，F(x)=1；当0≤x＜1时，F(x)=P(X+Z≤x)=P(Z=0，X≤x)=P(X＜Y，X≤x)=∫0xdx∫x1dy=∫0x(1－x)dx=x－当1≤x＜2时，F(x)=P(Z=0，X≤x)+P(Z=1，X≤x－1)=P(X＜Y，X≤1)+P(X≥Y，X≤x－1)故U的分布函数为F(x)知识点解析：暂无解析17、判断X，Z是否独立．标准答案：设(X，Z)的分布函数为F(x，z)，F(1／2，0)=P{X≤1／2，Z≤0)=P{X≤1／2，Z=0}=P{X≤1／2，X＜Y}=∫01／2dx∫x1dy=∫01／2(1－x)dx=3／8；FX(1／2)=P{X≤1／2}=1／2，FZ(0)=P{Z≤0)=P{Z=0)=P{X＜Y)=1／2，因为F(1／2，0)≠FX(1／2)FZ(0)，所以X，Z不相互独立．知识点解析：暂无解析18、设随机变量(X，Y)在区域D={(x，y)|0≤x≤2，0≤y≤1}上服从均匀分布，令(1)求(U，V)的联合分布；(2)求ρUV．标准答案：(1)P(X≤Y)=1／4，P(X＞2Y)=1／2，P(Y＜X≤2Y)=1／4，(U，V)的可能取值为(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)．P(U=0，V=1)=P(X≤Y，X＞2Y)=0；P(U=1，V=0)=P(X＞Y，X≤2Y)=P(Y＜X≤2Y)=1／4；P(U=0，V=0)=P(X≤Y，X≤2Y)=P(X≤Y)=1／4；P(U=1，V=1)(U，V)的联合分布律为(2)由(1)得E(U)=3／4，D(U)=3／16，E(V)=1／2，D(V)=1／4，E(UV)=1／2，Cov(U，V)－E(UV)－E(U)E(V)=1／8知识点解析：暂无解析设X1，X2，…，Xn(n＞2)相互独立且都服从．N(0，1)，Yi=Xi－(i=1，2，…，n)．求：19、D(Yi)(i=1，2，…，n)；标准答案：D(Yi)=Cov(Yi，Yi)=D(Xi)+D()－2Cov(Xi，)知识点解析：暂无解析20、Cov(Y1，Yn)；标准答案：Cov(Y1，Yn)=Cov(X1－)=－1／n知识点解析：暂无解析21、P(Y1+Yn≤0)．标准答案：Y1+Yn=X1+Xn－因为X1，X2，…，Xn独立且都服从正态分布，所以Y1+Yn服从正态分布，E(Y1+Yn)=0P(Y1+Yn≤0)=1／2．知识点解析：暂无解析22、电信公司将n个人的电话资费单寄给n个人，但信封上各收信人的地址随机填写，用随机变量X表示收到自己电话资费单的人的个数，求E(X)及D(X)．标准答案：令Ai={第i个人收到自己的电话资费单)，i=1，2，…，n，Xii=1，2，…，n，则X=X1+X2+…+Xn．P(Xi=0)=(n－1)／n，P(Xi=1)=1／nE(Xi)=E(Xi2)=1／n，D(Xi)=(n－1)／n2(i=1，2，…，n)E(X)=E(Xi)=1；当i≠j时，P(Xi=1，Xj=1)=P(AiAj)=P(Ai)P(Aj|Ai)=Cov(Xi，Xj)=E(XiXj)－E(Xi)E(Xj)知识点解析：暂无解析23、设X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，已知E(Xk)=ak(k=1，2，3，4)．证明：当n充分大时，随机变量Zn=1／nXi2近似服从正态分布，并指出其分布参数．标准答案：因为X1，X2，…，Xn独立同分布，所以X12，X22，…，Xn2也独立同分布且E(Xi2)=α2，D(Xi2)=α4－α22，当n充分大时，由中心极限定理得近似服从标准正态分布，故Zn近似服从正态分布，两个参数为μ=α2，σ2=(α4－α22)／n．知识点解析：暂无解析24、设总体X服从正态分布N(μ，σ2)(σ＞0)．从该总体中抽取简单随机样本X1，X2，…，X2n(n＞2)．令Xi，求统计量U=的数学期望．标准答案：令Yi=Xi+Xn+i(i=1，2，…，n)，则Y1，Y2，???，Yn为正态总体N(2μ，2σ2)的简单随机样本，=(n－1)S2，其中S2为样本Y1，Y2，…，Yn的方差，而E(S2)=2σ2，所以统计量U=的数学期望为E(U)=E[(n－1)S2]=2(n－1)σ2．知识点解析：暂无解析25、设总体X～F(x，θ)=，样本值为1，1，3．2，1，2，3，3，求θ的矩估计和最大似然估计．标准答案：(1)X为离散型随机变量，其分布律为E(X)=3－3θ．(2)L(1，1，3，2，1，2．3，3；θ)=P(X=1)P(X=1)…P(X=3)=θ3×θ2×(1－2θ)3，lnL(θ)=5lnθ+3ln(1－2θ)，令得θ的最大似然估计值为=5／16．知识点解析：暂无解析26、某种食品防腐剂含量X服从N(μ，σ2)分布，从总体中任取20件产品，测得其防腐剂平均含量为=10．2，标准差为s=0．5099，问可否认为该f生产的产品防腐剂含量显著大于10(其中显著性水平为α=0．05)?标准答案：令H0：μ≤10，H1：μ＞10．选统计量查表得临界点为tα(n－1)=t0．05(19)=1．7291，而拒绝H0，即可以认为该f产品防腐剂显著大于10毫克．知识点解析：暂无解析考研数学一（概率统计）模拟试卷第6套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、设A，B为两个随机事件，其中0＜P(A)＜1，P(B)＞0且P(B｜A)=，下列结论正确的是()．A、P(A｜B)=B、P(A｜B)≠C、P(AB)=P(A)P(B)D、P(AB)≠P(A)P(B)标准答案：C知识点解析：由P(B｜A)=，再由，整理得P(AB)=P(A)P(B)，正确答案为(C)．2、设随机变量X～N(μ，σ2)，则P(｜X一μ｜＜2σ)()．A、与μ及σ2都无关B、与μ有关，与σ2无关C、与μ无关，与σ2有关D、与μ及σ2都有关．标准答案：A知识点解析：因为P(｜X—μ｜＜2σ)=P(－2σ＜X一μ＜2σ)=P(-2＜＜2)=φ(2)一φ(一2)为常数，所以应该选(A)．3、设随机变量Xi～(i=1，2)，且满足P(X1X2=0)=1，则P(X1=X2)等于()．A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：由题意得P(X1=一1，X2=一1)=P(X1=一1，X2=1)=P(X1=1，X2=一1)=P(X1=1，X2=1)=0，P(X1=一1，X2=0)=P(X1=一1)=，P(X1=1，X2=0)=P(X1=1)=，P(X1=0，X2=一1)=P(X2=一1)=，P(X1=0，X2=1)=P(X2=1)=，故P(X1=0，X2=0)=0，于是P(X1=X2)=P(X1=一1，X2=一1)+P(X1=0，X2=0)+P(X1=1，X2=1)=0，选(A)．4、设(X，Y)服从二维正态分布，则下列说法不正确的是()．A、X，Y一定相互独立B、X，Y的任意线性组合l1X+l2Y(l1，l2不全为零)服从正态分布C、X，Y都服从正态分布D、ρ=0时X，Y相互独立标准答案：A知识点解析：因为(X，Y)服从二维正态分布，所以(B)，(C)，(D)都是正确的，只有当ρ=0时，X，Y才相互独立，选(A)．5、设X，Y为随机变量，若E(XY)=E(X)E(Y)，则()．A、X，Y独立B、X，Y不独立C、X，Y相关D、X，Y不相关标准答案：D知识点解析：因为Cov(X，Y)=E(XY)一E(X)E(Y)，所以若E(XY)=E(X)E(Y)，则有Cov(X，y)=0，于是X，Y不相关，选(D)．6、设随机变量X～F(m，n)，令p=P(X≤1)，q=P(X≥1)，则()．A、p＜qB、p＞qC、p=qD、p，q的大小与自由度m有关标准答案：C知识点解析：因为X～F(m，m)，所以～F(m，m)，于是q=P(X≥1)=P(≤1)，故p=q，选(C)．二、填空题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)7、设P(A)=0．6，P(B)=0．5，P(A—B)=0．4，则P(B—A)=__________，P(A+B)=_________．标准答案：0．3，0．9；知识点解析：因为P(A—B)=P(A)一P(AB)，所以P(AB)=0．2，于是P(B—A)=P(B)一P(AB)=0．5—0．2=0．3，P(A＋B)=P(A)+P(B)一P(AB)=0．6＋0．5—0．2=0．9．8、有16件产品，12个一等品，4个二等品，从中任取3个，至少有一个是一等品的概率为_________．标准答案：知识点解析：设A=｛抽取3个产品，其中至少有一个是一等品｝，则P(A)=1一．9、设随机变量X～N(μ，σ2)，且方程x2+4x+X=0无实根的概率为，则μ=_______．标准答案：4知识点解析：因为方程x2+4x+X=0无实根，所以16—4X＜0，即X＞4，由X～N(μ，σ2)且P(X＞4)=，得μ=4．10、设随机变量X的分布律为X～，则Y=X2+2的分布律为________．标准答案：Y～知识点解析：Y的可能取值为2，3，6，P(Y=2)=P(X=0)=，P(Y=3)=P(X=－1)=，P(Y=6)=P(X=一2)+P(X=2)=．则Y的分布律为Y～．11、随机变量X的密度函数为f(x)=，则D(X)=_________．标准答案：知识点解析：E(X)=∫－∞＋∞xf(x)dx=∫－10x(1＋x)dx＋∫01x(1－x)dx=0，E(X2)=∫－11x2(1－｜x｜)dx=2∫01x2(1－x)dx=，则D(X)=E(X2)－[E(X)]2=．12、设随机变量X1，X2，X3相互独立，且X1～U[0，6]，X2～N(0，22)，X3～P(3)，记Y=X1—2X2+3X3，则D(Y)=________．标准答案：46知识点解析：由D(X1)==3，D(X2)=4，D(X3)=3得D(Y)=D(X1—2X2+3X3)=D(X1)+4D(X2)+9D(X3)=3+16+27=46．13、设X，Y为两个随机变量，D(X)=4，D(Y)=9，相关系数为，则D(3X一2Y)=________．标准答案：36知识点解析：Cov(X，Y)==3，D(3X一2Y)=9D(X)+4D(Y)一12Cov(X，Y)=36．14、设随机变量X方差为2，则根据切比雪夫不等式有估计P｛｜X—E(X)｜≥2｝≤_________．标准答案：知识点解析：P{｜X—E(X)｜≥2}≤．15、设X为总体，E(X)=μ，D(X)=σ2，X1，X2，…，xn为来自总体的简单随机样本，S2=，则E(S2)=__________．标准答案：σ2知识点解析：由+μ2，得E[(n一1)S2]==n(μ2+σ2)－n(+μ2)=(n一1)σ2则E(S2)=σ2．16、设U～N(μ，1)，V～χ2(n)，且U，V相互独立，则T=服从_________分布．标准答案：知识点解析：由U～N(μ，1)，得=U一μ～N(0，1)，又U，V相互独立，则=T～t(n)．17、设正态总体X的方差为1，根据来自总体X的容量为100的简单随机样本测得样本的均值为5，则总体X的数学期望的置信度近似等于0．95的置信区间为_________．标准答案：知识点解析：X～N(μ，1)，取统计量～N(0，1)，则μ的置信度为0．95的置信区间为=(4．804，5．196)．三、解答题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)袋中有12只球，其中红球4个，白球8个，从中一次抽取两个球，求下列事件发生的概率：18、两个球中一个是红球一个是白球；标准答案：令A={抽取的两个球中一个是红球一个是白球}，则P(A)=．知识点解析：暂无解析19、两个球颜色相同．标准答案：令B=｛抽取的两个球颜色相同｝，则P(B)=．知识点解析：暂无解析20、设某个系统由六个相同的元件先经过两两串联再并联而成，且各元件工作状态相互独立，每个元件正常工作时间服从E(λ)(λ＞0)分布，求系统正常工作时间T的概率分布．标准答案：设Ti={第i个元件的正常工作时间}，Ti～E(λ)，i=1，2，…，6．F(t)=P｛T≤t｝，注意｛T≤t｝表示系统在[0，t]内一定正常工作．则{T≤t}=(｛T1≤t｝+｛T2≤t｝)(｛T3≤t｝+｛T4≤t｝)(｛T5≤t｝+｛T6≤t｝)，又T1，T2，…，T6相互独立同分布，所以有F(t)=P｛T≤t｝=[P(｛T1≤t｝＋｛T2≤t｝)]3而P(｛T1≤t｝+｛T2≤t｝)=1一P｛T1＞t，T2＞t｝=1一P｛T1＞t｝P｛T2＞t｝=1一[1一FT1(T)]2所以T的分布函数为F(t)=．知识点解析：暂无解析21、设X～N(μ，σ2)，其分布函数为F(x)，对任意实数a，讨论F(一a)＋F(a)与1的大小关系．标准答案：F(a)+F(一a)=，则当μ＞0时，F(a)+F(一a)＜1；当μ=0时，F(a)+F(一a)=1；当μ＜0时，F(a)+F(一a)＞1．知识点解析：暂无解析随机变量(X，Y)的联合密度函数为f(x，y)=．22、求常数A；标准答案：由1=∫－∞＋∞dx∫－∞＋∞f(x，y)dy=．知识点解析：暂无解析23、求(X，Y)落在区域x2+y1≤内的概率．标准答案：令区域D：x2+y2≤，(X，Y)落在区域D内的概率为p=．知识点解析：暂无解析设随机变量X，Y同分布，X的密度为f(x)=．设A=｛X＞a｝与B={Y＞a}相互独立，且P(A+B)=．求：24、a；标准答案：因为P(A)=P(B)且P(AB)=P(A)P(B)，所以令P(A)=p，于是2p—p2=，，即P(A)=P(X＞a)=，而P(X＞a)=∫a2．知识点解析：暂无解析25、E()．标准答案：知识点解析：暂无解析26、游客乘电梯从底层到顶层观光，电梯于每个整点的5分、25分、55分从底层上行，设一游客早上8点X分到达底层，且X在[0，60]上服从均匀