《中级微观经济学》4-效用

4效用Utility8/16/20241中级微观经济学本章要点效用函数

边际效用边际替代率关键词：效用函数8/16/20242中级微观经济学本章要求判断效用函数的单调变换。认识常见几种偏好的效用函数：完全替代偏好、完全互补偏好、拟线形偏好、柯布—道格拉斯偏好。已知效用函数，画出无差异曲线。已知效用函数，计算边际效用和边际替代率。8/16/20243中级微观经济学效用现代消费理论使用偏好的概念来研究消费者的行为，而效用是描述消费者偏好的一种方法。8/16/20244中级微观经济学人类行为偏好

无差异曲线效用函数8/16/20245中级微观经济学消费者的偏好有两种描述方法，一种是无差异曲线（几何方法），另一种是效用函数（数学方法）。在现代经济学中，效用和效用函数仅仅被看作是描述偏好的一种数学方法。8/16/20246中级微观经济学关于效用的不同观点基数效用论：用绝对值来度量效用。序数效用论：关注于数值的相对排序关系。8/16/20247中级微观经济学基数效用19世纪末、20世纪初，西方经济学家普遍使用基数效用的概念。基数：1，2，3，……不仅可以进行比较，还可以进行加总、求和等数学运算。8/16/20248中级微观经济学基数效用的缺陷主观价值的测量难题“我们之所以利用数字，无非要使一种说明起来比较困难、而又是历来缺乏研究的心理领域中的现象，能更容易地被加以论证罢了。”

——门格尔效用的绝对值不能测量。

——帕累托8/16/20249中级微观经济学对于构造需求函数而言，核心问题是消费品之间的选择，因此可以通过观察人们的主观偏好特征来排列商品的效用等级。而基数效用的特征（便于加总、求和）对此则完全是多余的。序数效用就可以胜任。8/16/202410中级微观经济学序数效用序数：第一、第二、第三……只表示顺序、等级，本身的数字量是没有任何意义的。8/16/202411中级微观经济学消费者对各种可行消费方案可以排出个好坏次序，第一好、第二好、第三好……即不论他能否说出满足程度到底有多少，但总可以说出“这种消费比那种消费更好一些，或较差一些，或没有什么差异”。消费者对消费方案作出的这种评价和比较，就是消费者偏好。当然，这种评价不具有基数效用那样的绝对意义。德布鲁（Debreu，1954）证明，仅仅依赖偏好关系，就可以很好地定义效用概念，并且推导出了新古典的消费需求理论。8/16/202412中级微观经济学从此，效用不再是消费问题的原点，而成为描述偏好、乃至于消费者选择行为的一种方法。现代经济学主要以序数效用论作为需求理论的基础。“既然基数效用并不是描述选择行为所必需的，而且也没有任何令人信服的方法来指派基数效用，所以我们将完全坚持序数效用的分析框架”

——范里安，第45页。消费者的偏好则构成消费者选择行为的出发点，效用成了描述消费者偏好的一种方法。8/16/202413中级微观经济学效用函数（UtilityFunctions）一个效用函数对于每一组可能的消费束赋予一个数字，使得更受偏好的消费束得到更大的数字。效用函数的存在性：如果消费者偏好具有完备性、反身性、传递性、连续性和强单调性，那么存在一个能代表该偏好的连续效用函数。1983年的经济学诺奖获得者吉拉德.德布鲁（GerardDebreu1954)证明了这一点。具体证明方法参见任何一本高级微观经济学教科书。8/16/202414中级微观经济学效用函数（UtilityFunctions）一个效用函数U(x)代表一种偏好关系

x’x”U(x’)>U(x”)

x’x”U(x’)<U(x”)

x’~x”U(x’)=U(x”).pp8/16/202415中级微观经济学效用函数（UtilityFunctions）效用函数唯一重要的特征是它对消费束所进行的排序。（Utilityisanordinal(i.e.ordering)concept）.例如，如果有U(x)=6和U(y)=2，这时，消费束

x严格偏好于消费束

y。但不能说三倍的消费束

x与消费束

y一样好。8/16/202416中级微观经济学效用函数不是唯一的一般存在着多种为消费束排序的方法。因此，对于一个效用关系而言，效用函数不唯一。8/16/202417中级微观经济学假定U(x1,x2)=x1x2

代表一种效用关系。考虑消费束(4,1),（2,3)和(2,2)。

U(2,3)=6>U(4,1)=U(2,2)=4;

即(2,3)>(4,1)~(2,2)。8/16/202418中级微观经济学U(x1,x2)=x1x2(2,3)(4,1)~(2,2).定义V=U2则V(x1,x2)=x12x22

并且

V(2,3)=36>V(4,1)=V(2,2)=16

因此，同样有

(2,3)(4,1)~(2,2).V和U代表同一种排列顺序，因此，代表同一种偏好关系。pp8/16/202419中级微观经济学U(x1,x2)=x1x2(2,3)(4,1)~(2,2).定义W=2U+10.那么W(x1,x2)=2x1x2+10则

W(2,3)=22>W(4,1)=W(2,2)=18。再次,

(2,3)(4,1)~(2,2)。W和U，

V代表同一种排序，从而代表同一种偏好关系。pp8/16/202420中级微观经济学效用函数的单调变换如果是一个代表某一偏好的效用函数，且是一个递增的函数，那么代表了同样的偏好关系。因为：当且仅当

根据效用函数的定义，也是代表了该偏好的效用函数。8/16/202421中级微观经济学因此，任何效用函数的正单调变换后的函数是代表原偏好关系的一个效用函数。8/16/202422中级微观经济学单调变化的例子：对原效用函数乘以一个正数，对原效用函数加上任意数，对原效用函数取奇次幂等。8/16/202423中级微观经济学判断单调变换的方法1判断单调变换的方法1（适用于效用函数是一元函数时，判断单调变换）

（教材43页）：

求导，如果导数大于零，则是单调变换，否则不是。

例题：课后作业第2题（教材55页）

8/16/202424中级微观经济学8/16/202425中级微观经济学从效用函数到无差异曲线从几何学上讲，效用函数是给无差异曲线标记数字的方法，较高效用的无差异曲线得到较大的数字。因此，从效用函数到无差异曲线很简单，只需画出效用函数的等值曲线就可以了！

K=3K=28/16/202426中级微观经济学从无差异曲线得出效用函数从无差异曲线得出效用函数较困难，但我们可以考虑几种常见的例子:8/16/202427中级微观经济学效用函数的例子完全替代

u(x1,x2)=ax1+bx2.完全互补u(x1,x2)=min{ax1,bx2}拟线性函数u(x1,x2)=v(x1)+x2柯布—道格拉斯（Cobb-Douglas，C-D)函数u(x1,x2)=x1c

x2d

8/16/202428中级微观经济学完全替代（PerfectSubstitution）

55991313x1x2x1+x2=5x1+x2=9x1+x2=13全部是线性的平行线重要的是商品的总数量，因此

u(x1,x2)=x1+x28/16/202429中级微观经济学完全替代（PerfectSubstitution）

8/16/202430中级微观经济学问题写出下列消费者的效用函数，并画出无差异曲线。1、王刚愿意用商品x1来代替商品x2

，但是为了补偿所放弃的1单位商品x1

，要求获得2单位的商品x2.8/16/202431中级微观经济学问题1x2x121Slope=dx2/dx1=-2效用函数为：u（x1,x2

）=2x1+x28/16/202432中级微观经济学问题2、李楠既喜欢喝汽水x1

，又喜欢吃冰棍x2

，但她认为三杯汽水和两根冰棍是无差异的。8/16/202433中级微观经济学问题2x2x123Slope=dx2/dx1=-2/3所以，效用函数为：u（x1,x2

）=2/3x1+x2或：

u（x1,x2

）=2x1+3x28/16/202434中级微观经济学完全互补（perfectcomplementarity）x2x145omin{x1,x2}=8358358min{x1,x2}=5min{x1,x2}=3全部是L型的，其顶点在从原点出发的一条射线上重要的是最少的那一种商品决定了你的效用！因此u(x1,x2)=min{x1,x2}8/16/202435中级微观经济学完全互补（perfectcomplementarity）8/16/202436中级微观经济学完全互补（perfectcomplementarity）x2（糖）x1（茶）45omin{x1,1/2x2}=2122min{x1,1/2x2}=14（1，2）（2，4）X1=1/2x28/16/202437中级微观经济学问题张强每喝2杯水x就要吃3根冰棍y。写出他的效用函数并画出无差异曲线。8/16/202438中级微观经济学

x:y=2:33x=2yxy3x=2ymin{3x,2y}（2，3）3x=2y8/16/202439中级微观经济学拟线性（quasi-linear）效用函数形式为

u(x1,x2)=v(x1)+x2

的效用函数仅仅对于

x2

是线性的，对于x1却是非线性的，因此，称为拟线性效用函数。例如：u(x1,x2)=2x11/2+x2。8/16/202440中级微观经济学拟线性偏好的无差异曲线x2x1每一条曲线是对其他曲线的垂直平移。v(x1)+x2=k1v(x1)+x2=k2v(x1)+x2=k38/16/202441中级微观经济学C-D偏好的效用函数任何形式为

U(x1,x2)=x1c

x2d，c>0且d>0的效用函数被称为柯布—道格拉斯效用函数（Cobb-Douglas

utilityfunction

）。

例如U(x1,x2)=x11/2x21/2(c=d=1/2)

V(x1,x2)=x1x23(c=1,d=3)8/16/202442中级微观经济学柯布—道格拉斯无差异曲线x2x18/16/202443中级微观经济学当然，柯布-道格拉斯效用函数的单调变换也表示同一个偏好。常见的两个例子：（1）v(x1,x2)=ln（x1c

x2d）

=clnx1+dlnx2

（2）v(x1,x2)=x1ax21-a8/16/202444中级微观经济学总结完全替代

u(x1,x2)=ax1+bx2完全互补u(x1,x2)=min{ax1,bx2}拟线性函数u(x1,x2)=v(x1)+x2柯布—道格拉斯（Cobb-Douglas，C-D)函数u(x1,x2)=x1c

x2d

请记住这些基本效用函数，如果某些效用函数经过单调变换，可以得到类似的效用函数，就表示相同的偏好。例子：课后作业第4-6题8/16/202445中级微观经济学5、CES效用函数8/16/202446中级微观经济学边际效用（MarginalUtilities）边际量是

“增量”（incremental）。商品i

的边际效用指当其消费数量改变，所引发的总效用量改变量和消费数量改变量的比例；即：8/16/202447中级微观经济学边际效用（MarginalUtilities）如果效用函数为

U(x1,x2)=x11/2x22，则8/16/202448中级微观经济学例如，效用函数U（x1,x2）=x1+x2，

U（x1,x2）=2x1+2x2。代表同样的偏好。但计算出的边际效用不同。U（x1,x2）=x1+x2MU1=1U（x1,x2）=2x1+2x2MU1=28/16/202449中级微观经济学边际效用和边际替代率

（MarginalUtilitiesandMarginalRates-of-Substitution）无差异曲线的一般公式化为

U(x1,x2)ºk,k是常数。全微分得：

8/16/202450中级微观经济学边际效用和边际替代率所以，这就是边际替代率MRS。8/16/202451中级微观经济学边际效用和边际替代率：举例假定U(x1,x2)=x1x2。则

所以8/16/202452中级微观经济学边际效用和边际替代率：举例

MRS(1,8)=-8/1=-8

MRS(6,6)=-6/6=-1.x1x28616U=8U=36U(x1,x2)=x1x2;8/16/202453中级微观经济学拟线性效用函数的边际替代率拟线性效用函数的形式为

U(x1,x2)=f(x1)+x2。所以8/16/202454中级微观经济学拟线性效用函数的边际替代率x2x1MRS=-f‘(x1)和x2无关。