2投影的基本知识教程

2投影的基本知识

2.1投影的形成和分类

2.2工程中常用的几种投影图

2.3正投影的特性与基本原理

2.4点、直线、平面的投影2.1投影的形成和分类

2.1.1投影的形成

2.1.2投影的分类投影三要素投射线形体投影面2.1.1投影的形成投影法中心投影法平行投影法斜投影法正投影法★2.1.2投影的分类中心投影中心投影法投射线汇交于一点的投影法。

PS2.1.2投影的分类斜投影P斜投影法投影方向倾斜于投影面。

S2.1.2投影的分类正投影P正投影法投影方向垂直于投影面。

S2.1.2投影的分类2.2工程中常用的几种投影图2.2工程中常用的几种投影图多面正投影图2.2工程中常用的几种投影图轴测投影图2.2工程中常用的几种投影图建筑效果图2.2工程中常用的几种投影图标高投影图2.3正投影的特性与基本原理

2.3.1正投影的特性

2.3.2正投影图的原理2.3.1正投影的特性当直线平行于投影面时，其投影反映实长；当平面平行于投影面时，其投影反映实形。BAabecCDEdP真实性a(b)BA当直线垂直于投影方向时，其投影积聚为一点。当平面垂直于投影方向时，其投影积聚为一直线。PecCDEd2.3.1正投影的特性积聚性点的投影仍然是点。直线的投影一般还是直线。平面图形的投影一般是原图形的类似形。SPA1AaA22.3.1正投影的特性类似性PABabCDcd若空间两直线互相平行，则其同面投影也互相平行。2.3.1正投影的特性平行性WHVXOY投影轴——X、Y、Z

原点——OZ2.3.2正投影图的原理三面投影体系的建立三投影面——H、V、WH——水平面

V——正立面

W——侧立面2.3.2正投影图的原理三面投影体系的建立水平投影：从上向下投影正面投影：从前向后投影侧面投影：从左向右投影可见轮廓线：实线不可见轮廓线：虚线VWHXZYO虚线移去物体V面不动H面连同水平投影绕X轴向下旋转W面连同侧面投影绕Z轴向右旋转VWHXZYOXZYWOHVWYHHW2.3.2正投影图的原理三面投影图的展开VWHXZYWYHO正面投影：左上方水平投影：正面投影的正下方侧面投影：正面投影的正右方2.3.2正投影图的原理三面投影图的展开VWHXZYWYHO投影面边框一般不画2.3.2正投影图的原理三面投影图的展开VWHXZYWYHO投影轴线也可不画2.3.2正投影图的原理三面投影图的展开X轴向尺寸（左右）—长度Y轴向尺寸（前后）—宽度Z轴向尺寸（上下）—高度正面投影：反映长度和高度水平投影：反映长度和宽度侧面投影：反映高度和宽度VWHXZYO度量对应关系2.3.2正投影图的原理三面投影图的投影规律长宽宽高正面投影：反映长度和高度水平投影：反映长度和宽度侧面投影：反映高度和宽度度量对应关系2.3.2正投影图的原理三面投影图的投影规律长宽宽高度量对应关系长对正高平齐宽相等2.3.2正投影图的原理三面投影图的投影规律2.4点、直线、平面的投影

2.4.1点的投影

2.4.2直线的投影

2.4.3平面的投影

2.4.4直线与平面、平面与平面的相对位置2.4.1点的投影

2.4.1.1点的三面投影及其特性

2.4.1.2

两点的相对位置2.4.1.1点的三面投影及其特性VWHXZYOAa

aa

aXaYaZ空间点——AH面投影——aV面投影——a

W面投影——a

点的三面投影XZYWOYHHWVa

HaWa

移去空间点V面不动H面连同水平投影绕X轴向下旋转W面连同侧面投影绕Z轴向右旋转VWHXZYOAa

aa

axayaz2.4.1.1点的三面投影及其特性点的三面投影VWHXZYOAa

aa

aXaYaZVWHXZYWYHOa

aa

aXaZaYHaYW点的投影连线垂直于相应的投影轴点的H面投影与V面投影的连线垂直于OX轴——a

a

⊥OX

点的V面投影与W面投影的连线垂直于OZ轴——a

a

⊥OZ2.4.1.1点的三面投影及其特性点的三面投影的特性VWHXZYOAa

aa

aXaYaZXZYWYHOa

aa

aXaZaYHaYW某一投影到投影轴的距离等于该点到相应投影面的距离a

aZ

=a

aYH

=Aa

,点到W面的距离aaX

=a

aZ

=Aa

,点到V面的距离a

aX=a

aYW=Aa

,点到H面的距离2.4.1.1点的三面投影及其特性点的三面投影的特性【例2-1】已知A点的H面投影a和V面投影a

，求A点的W面投影a

。XZYWYHOa

aa

2.4.1.2两点的相对位置点的坐标XZYWYHOa

aa

axayazVWHZYOAa

aa

axayazX45°ayyAxAzAxyzH面投影反映x、y坐标，即

a（x，y）V面投影反映x、z坐标，即

a

（x，z）W面投影反映y、z坐标，即

a

（y，z）zAxAyAxAzAyAYWbXZb'b''OYHZXYOWVa'BHAaa''b'b''bCc"c'ca'aa''c"c'c投影面上的点

在该投影面上的投影与空间点自身重合，另外两个面上投影在相应的坐标轴上。2.4.1.2两点的相对位置点的一个坐标为0YXHVWOf''e'dd'De''EfFd''ef'Z投影轴上的点

在与该投影轴相关的两个投影面上的投影与空间点自身重合，另一投影面上的投影与坐标原点重合。dd'd''XOZYHYWf''ff'e'e''e2.4.1.2两点的相对位置点的两个坐标为0a

aa

20axazay1510XZYWYHO【例2-2】已知点A(20,10,15)，求点A的三面投影图。AOVWHZYXB根据两点的坐标差，可以确定两点的相对位置——两点的左右关系，X坐标大在左，小的在右；——两点的前后关系，Y坐标大在前，小的在后；——两点的上下关系，Z坐标大在上，小的在下。

bb

b

a

aa

YWXZYHOa

aa

bb

b

2.4.1.2两点的相对位置两点的相对位置【例2-3】已知A点在B点的右方10、前方6、上方8，求A点的投影。8106YWXZYHOa

aa

bb

b

b()当空间两点位于同一条投射线上时，则该两点在对应的投影面上的投影重合为一点，这两点称为对此投影面的重影点。OVWHZYXBb

b

Aa

a

a2.4.1.2两点的相对位置重影点及其可见性b()OVWHZYXBb

b

Aa

a

aYWXZYHOa

aa

b

b

b()不可见的投影字母加括号（）表示判断的基本原则——看第三坐标，大者可见2.4.1.2两点的相对位置重影点及其可见性Xb(c

)OVWHZYXBCb

c

cb

YWZYHOb

b

c

cb(c

)前遮后上遮下左遮右2.4.1.2两点的相对位置重影点及其可见性2.4.2直线的投影

2.4.2.1投影面垂直线

2.4.2.2

投影面平行线

2.4.2.3

一般位置直线

2.4.2.4

直线上的点

2.4.2.5

两直线的相对位置2.4.2.1投影面垂直线铅垂线——⊥H，//V、W正垂线——⊥V，//H、W

侧垂线——⊥W，//H、V

垂直于一个投影面，平行于另外两个投影面铅垂线TLTLa(b)OYWXZYHa

a

b

b

a(b)b

OVWHZYXBAb

a

a

a(b)投影特性

H

——积聚为一点V、W

——反映实长，//OZ倾角α＝90°β＝γ＝0°2.4.2.1投影面垂直线正垂线d

OVWHZYXDCc(d)c

dcTLTLOYWXZYHc

d

cdc(d)投影特性

V

——积聚为一点H、W

——反映实长，//OY倾角β＝90°α＝γ＝0°2.4.2.1投影面垂直线侧垂线OVWHZYXFEe

e(f)fef

TLTLOYWXZYHefe

f

e(f)投影特性

W——积聚为一点V、H

——反映实长，//OX倾角γ＝90°α＝β＝0°2.4.2.1投影面垂直线侧垂线OVWHZYXFEe

e(f)fef

TLTLOYWXZYHefe

f

e(f)投影面垂直线的投影特性：在所垂直的投影面上的投影积聚为一点在另外两个投影面上的投影平行于相关的投影轴，并反映直线实长TL2.4.2.1投影面垂直线水平线——//H，∠V、W正平线——//V，∠H、W

侧平线——//W，∠H、V

平行于一个投影面，倾斜于另外两个投影面2.4.2.2投影面平行线水平线

TL

OVWHZYXBAb

b

ba

aa

OYWXZYHa

aa

bb

b

投影特性

H——反映实长,反映β、γ倾角V、W——长度小于实长,⊥OZ2.4.2.2投影面平行线正平线OVWHZYXＣＤc

c

cd

dd

投影特性

V

——反映实长,反映α、γ倾角H、W——长度小于实长,⊥OYOYWXZYHd

dd

cc

c

TL2.4.2.2投影面平行线侧平线OVWHZYXFEf

f

ｆｅ

ｅe

OYWXZYHe

ee

ff

f

TL

投影特性

W

——反映实长,反映α、β倾角V、H——长度小于实长,⊥OX2.4.2.2投影面平行线投影面平行线的投影特性：在所平行的投影面上的投影反映实长，反映直线与另两个相关的投影面的倾角另外两个投影垂直于相关的投影轴，投影长度小于实长侧平线OVWHZYXFEf

f

ｆｅ

ｅe

OYWXZYHe

ee

ff

f

TL

2.4.2.2投影面平行线与三个投影面均倾斜OYWXZYHa

aa

bb

b

OVWHZYXBAb

b

ba

aa

2.4.2.3一般位置直线OYWXZYHb

bb

aa

a

OVWHZYXABa

a

ab

bb

投影特性：三个投影均倾斜于投影轴投影长度小于实长2.4.2.3一般位置直线bab

a

⊿Zα⊿ZTLα⊿ZBAbab

a

A1TLOVHZYXOX直角三角形法求实长和α2.4.2.3一般位置直线直角三角形法求实长和βBβAbaa

B1⊿YTLOVHZYXb

bab

a

⊿Yβ⊿YTLOX2.4.2.3一般位置直线OVHXaABa

b

bZYKk

kk

W从属性若点在直线上，则点的投影必在该直线的同面投影上。YWOXZYHb

bb

aa

a

a

b

k

kk

定比性若点将直线分为两段，则两段的实长之比等于其投影长度之比。AK:KB=ak:kb=a

k

:k

b

=a

k

:

k

b

2.4.2.4直线上的点【例2-4】已知AB上一点C的H面投影c，求V面投影c′。

b

a

abc

cOXb1c1定比性【例2-5】判断点K是否在侧平线AB上。b

a

a

b

ab从属性k

kk

OXYWZYHb

a

ab定比性k

kOXb1k1【例2-5】判断点K是否在侧平线AB上。Wa"c"ZVCa'OAd'Db'c'd"b"YcbBdaHXZc"d"b"a'd'b'c'cdabXYWa"OYH投影特性两直线的同面投影相互平行；两直线的长度之比和同面的投影长度之比相等。2.4.2.5两直线的相对位置两直线平行Wa"c"ZVCa'OAd'Db'c'd"b"YcbBdaHXZc"d"b"a'd'b'c'cdabXYWa"OYH已知AB//CD，则ab//cd,a

b

//c

d

,a

b

//

c

d

AB:CD=ab:cd=a

b

:c

d

=a

b

:

c

d

2.4.2.5两直线的相对位置两直线平行判断两直线是否平行对于两一般位置直线，若有两个同面投影均互相平行，则空间两直线平行；对于平行于同一投影面的两直线，若两个同面投影均互相平行，并且其中一投影反映直线实长，则两直线平行。b

a

abdc

d

cXObcb

dac

a

OXd

2.4.2.5两直线的相对位置两直线平行b

a

c

d

abd

c

dca

b

【例2-6】（a）已知两侧平线AB和CD,判断AB和CD是否平行。【解一】作出第三投影【解二】字母顺序一样,投影长度成比例ZXYWOYHf

e

g

h

efh

g

ghe

f

【例2-6】（b）已知两侧平线EF和GH,判断EF和GH是否平行。ZXYWOYH【解一】作出第三投影【解二】EF和GH的V、H投影字母顺序不一样，EF和GH的指向不一致空间两直线相交三个同面投影均相交，并且交点符合点的投影特性。Xd'b'c'a'c"b"a"d"abdck'k"kYWYHOZVHAZYBDCd'a'c'b'Wc"d"b"a"dcabk'kk"KOX2.4.2.5两直线的相对位置两直线相交c

d

d

c

dcb

a

baa

b

k

kk

ZXYWOYH【例2-7】已知两直线AB和CD,判断AB和CD是否相交。【解一】作出第三投影【解二】a

k:k

b

ak:kb两直线既不平行又不相交，称为交叉二直线VHDBCAdd

cc

a

abb

OXYZb

a

bacdc

d

XO2.4.2.5两直线的相对位置两直线交叉可能存在一个或两个同面投影相互平行，但不存在三个同面投影都平行。

——

和平行的区别可能有一个、两个或三个同面投影相交，但交点不符合点的投影特性。

——

和相交的区别两直线交叉的投影特性：2.4.2.5两直线的相对位置两直线交叉VH3

4

()DBCAdd

cc

a

abb

12341

2

()ⅠⅡⅢⅣd

c

dcaba

b

3

4

341

2

12()()OXYZ判断重影点的可见性2.4.2.5两直线的相对位置直角投影定理：

若空间两直线垂直，且有一条平行于某一投影面，那么在该投影面上的投影仍然反映直角。∵AB⊥BCAB⊥Bb∴AB⊥

平面BbcC有AB⊥

bc又AB∥

ab故ab

⊥

bcHACBacb2.4.2.5两直线的相对位置两直线垂直直角投影定理的逆定理：若相交两直线的同面投影反映直角，且有一条直线平行于该投影面，则两直线必垂直。HACBacbcOa

b

c

abX2.4.2.5两直线的相对位置两直线垂直【例2-8】已知直线AB和点C的两面投影,求C点到AB的距离。XOa'ab'bc'cd'd距离【例2-9】求交叉直线AB和CD的距离MN实长及其投影。XOa'b'abc'cd'dnn'm'm距离2.4.3平面的投影

2.4.3.1平面的表示方法

2.4.3.2

各种位置平面的投影特性

2.4.3.3

平面上的点和直线2.4.3.1平面的表示方法用几何元素表示平面有五种形式：不在一直线上的三个点；一直线和直线外一点；相交两直线；平行两直线；任意平面图形。cab

ba

c

a

b

bc

aca

b

bc

acb

ba

c

ac几何元素表示法a

b

c

abcd

d迹线表示法迹线：平面和投影面的交线。VWHZYOXPPWPHPVXZYWYHOPWPVPH2.4.3.1平面的表示方法迹线：平面和投影面的交线。VWHZYOXQWQHQVXZYWYHOQQVQWQH迹线表示法2.4.3.1平面的表示方法2.4.3.2各种位置平面的投影特性水平面——//H，⊥V、W正平线——//V，⊥

H、W

侧平线——//W，⊥

H、V

平行于某一投影面，并与另两个投影面垂直投影面平行面2.4.3.2各种位置平面的投影特性投影特性H——反映实形V、W——积聚成一直线，⊥OZ倾角α＝0°β＝γ＝90°水平面VWHZYOXp

p

pPXZYWYHOp

p

p（TS）2.4.3.2各种位置平面的投影特性投影特性V——反映实形H、W——积聚成一直线，⊥OY倾角β＝0°α＝γ＝90°VWHZYOXqQq

q

XZYWYHOqq

q

（TS）正平面2.4.3.2各种位置平面的投影特性投影特性W——反映实形H、V——积聚成一直线，⊥OX倾角γ＝0°α＝β＝90°VWHZYOXrr

XZYWYHOrr

r

（TS）r

R侧平面2.4.3.2各种位置平面的投影特性VWHZYOXrr

XZYWYHOrr

r

（TS）r

R投影面平行面的投影特性：在所平行的投影面上的投影反映实形在另外两个投影面上积聚成直线，且垂直于相关的投影轴侧平面2.4.3.2各种位置平面的投影特性铅垂面——⊥H，∠V、W正垂线——⊥V，∠H、W

侧垂线——⊥W，∠H、V

垂直于某一投影面，并倾斜于另外两个投影面投影面垂直面2.4.3.2各种位置平面的投影特性p

p

投影特性H——积聚成一直线，反映β、γ倾角V、W——反映类似形VWHZYOX

XZYWYHOpp

c

p

PpP铅垂面2.4.3.2各种位置平面的投影特性投影特性V——积聚成一直线，反映α、γ倾角H、W——反映类似形

VWHZYX

q

XZYWYHOqq

q

OQqq

正垂面2.4.3.2各种位置平面的投影特性rr

投影特性W——积聚成一直线，反映α、β倾角H、V——反映类似形VWHZYOXRXZYWYHOrr

r

r

侧垂面2.4.3.2各种位置平面的投影特性rr

VWHZYOXRXZYWYHOrr

r

r

投影面垂直面的投影特性：在所垂直的投影面上的投影积聚成直线，该直线与投影轴的夹角反映平面与相关的投影面的倾角在另两个投影面上的投影是类似图形侧垂面2.4.3.2各种位置平面的投影特性一般位置平面VWHZYOX一般位置平面

对三个投影面都倾斜的平面b

a

aca

c

b

bc

XZYWYHObb

b

aca

c

a

c

ABC2.4.3.2各种位置平面的投影特性VWHZYOXb

a

aca

c

b

bc

XZYWYHObb

b

aca

c

a

c

ABC一般位置平面的投影特性：三个投影均与平面是类似图形，且面积小于实形面积不反映平面对投影面的倾角一般位置平面2.4.3.2各种位置平面的投影特性平面内的点点在平面内的某一条直线上平面内的直线通过平面内两个点过平面内一点，且平行于平面内的某一条直线AbcHaCBMNmnAbcHaCBMmEe存在条件2.4.3.3平面上的点和直线【例2-10】已知平面ABC的两面投影及直线EF的水平投影ef。

直线EF在平面ABC上，求作EF的V面投影。efabc1a

b

c

e

f

1

【例2-11】已知平面图形ABCDEFG的V面投影及直线AB和CD的水平投影。试完成其H面投影。XOca

b

ac

bd

de

f

efg

g2.4.4直线与平面、平面与平面的相对位置

2.4.4.1平行问题

2.4.4.2

相交问题

2.4.4.3

垂直问题2.4.4.1平行问题直线和平面平行

若平面外一直线平行于平面内任一直线，则该直线和平面互相平行。PCDAB【例2-12】已知△ABC和M点，作过M点的水平线MN//△

ABC。n

nm

mabcda

b

c

d

XO【例2-13】判断直线MN与平面ABCD是否平行。e'f'efOn'm'Xma'd'b'c'cdabnOb'bXapp'a'当平面的某一投影具有积聚性时，则该投影可反映平面和直线的平行关系。2.4.4.1平行问题直线和平面平行若两平面内分别有一对相交直线对应平行，则两平面互相平行。BCAPQEDF2.4.4.1平行问题平面和平面平行【例2-14】已知△ABC和M点，过M点作平面平行于△ABC。abca

b

c

mm

e

ef

fXO【例2-15】判断△ABC和平面DEFG是否平行。XOc'b'a'abcd'g'f'fede'mnn'm'gp'q'qpXO当两平面均垂直于某投影面时，它们有积聚性的投影可直接反映平行关系。2.4.4.1平行问题平面和平面平行PABKABCMN交点

直线和平面的共有点交线

两平面的共有线（两个共有点）P直线和平面相交平面和平面相交2.4.4.2相交问题一般位置直线和特殊位置平面相交

若平面处于特殊位置，其某一投影具有积聚性，则直线与平面的交点可利用直线与平面的积聚性投影相交而直接求得。ABKPHabk2.4.4.2相交问题abpa

b

p

kk

【例2-16】一般位置直线AB与铅垂面P相交，求作交点K。直观判别法可见性判别OX投影面垂直线和一般位置平面相交直线与平面相交，当直线的投影有积聚性时，交点的一个投影已知，另一投影用面上取点的方法求出。Kkdm(n)bABHaCcDMN2.4.4.2相交问题m(n)b