3.4基本不等式课件

*3.4基本不等式*

这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。*思考：这会标中含有怎样的几何图形？思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？探究1*ab1、正方形ABCD的面积S=＿＿＿＿＿２、四个直角三角形的面积和S’

=＿＿３、S与S’有什么样的不等关系？

探究１：S>S′即问：那么它们有相等的情况吗？>(a≠b)*ADBCEFGHba猜想：一般地，对于任意实数a、b，我们有当且仅当a=b时，等号成立。ABCDE(FGH)ab>(a≠b)(a＝b)＝*思考：你能给出不等式的证明吗？证明：（作差法）当且仅当a=b时，等号成立。*知识点1：重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，总有当且仅当a=b时，等号成立文字叙述为:两数的平方和不小于它们积的2倍.适用范围：a,b∈R问题一*问题一替换后得到：即：即：你能证明这个不等式吗？问题二*证明：（做差法）①当且仅当a=b时,①中的等号成立.所以问题二证明不等式：*若a>0，b>0，则当且仅当a=b时等号成立.知识点2：基本不等式在数学中，我们把叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数；文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.适用范围：a>0,b>0*你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?问题三Rt△ACD∽Rt△DCB，ABCDEabO如图,AB是圆的直径,O为圆心，点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.②如何用a,b表示CD?DC=______①如何用a,b表示OD?OD=______*你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?问题三②如何用a,b表示CD?CD=______①如何用a,b表示OD?OD=______③OD与CD的大小关系怎样?OD_____CD＞≥如图,AB是圆的直径,O为圆心，点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.几何解释：半径不小于弦长的一半ADBEOCab*例1（1）用篱笆围一个面积为100㎡的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短是多少？解：设举行菜园的长为m,宽为m,则，篱笆的长为m.由可得等号当且仅当时等号成立。此时，这个矩形的长、宽都为10m，所用篱笆最短为40m;*例1（1）用篱笆围一个面积为100㎡的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短是多少？该题是为定值100，则当时，和取得最小值20所以都是正数，则有若（积为定值），则当时，和取得最小值（基本不等式与最值）*(2)一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大.最大面积是多少？解：设矩形菜园的长为m宽为m,则矩形菜园的面积为㎡由可得当且仅当，即时，等号成立.此时，矩形菜园的长、宽都为9m,菜园的面积最大，最大面积是81㎡.*(2)一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大.最大面积是多少？该题是定值18,则当时,积取得最大值81所以，都是正数，则有若（和为定值）,则当时,积取得最大值（基本不等式与最值）*知识点三：基本不等式与最值已知都为正数，则有（1）若（和为定值），则当时，积取得最大值_______（2）若（积为定值），则当时，和取得最小值_______*变式练习：1.x>0,当x取什么值，的值最小？最小是多少？解：所以当时，,的值最小为2.*2.用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折？解：设矩形的长宽分别为cm,则,

,面积为由得当且仅当时，矩形的长、宽分别为5cm，面积取得最大值为25.*例2某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m³，深为3m.如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？解：设底面的长为xm,宽为ym,水池总造价为Z元.根据题意,有

由容积为4800m³，可得因此由基本不等式与不等式的性质，可得即*当,即时,等号成立.

所以，将水池的地面设计成边长为40m的正方形时总造价最低,最低总造价是297600元.变式练习：做一个体积为32m³，高为2m的长方体纸盒，底面的长与宽取什么值时用纸最少？解：设底面的长、宽分别为m,用纸S㎡.则当且仅当m时，用纸最少为64㎡.*小结：求最值时注意把握“一正，二定，三相等”已知

x,y

都是正数,P,S

是常数.(1)xy=P

x+y≥2P(当且仅当